2 13 exercício keity symon

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
Keith R. Symon 
 
IMPULSÃO DE UM MOTOR A JATO 
 
2.13 – Um motor a jato desenvolve uma impulsão constante máxima 𝐹0, 
sendo usado para impulsionar um avião cuja força de atrito é proporcional 
ao quadrado da velocidade. Se o avião iniciar seu movimento em 𝑡 = 0 a 
velocidade é desprezível e acelerar com a impulsão máxima, determine a 
sua velocidade 𝑣(𝑡). 
 
*Importante: Primeiramente, vamos definir as forças envolvidos, definir a 
equação da força Resultante e posteriormente aplicar a segunda Lei de 
Newton e assim integramos a aceleração e definimos a equação da 
Velocidade. 
A força de Atrito dita no enunciado do exercício, 
𝐹𝑎 = −𝑏𝑣
𝑛=2 
a força Resultante é a somatória das forças envolvidas, então, 
𝐹𝑅 = 𝐹0 + 𝐹𝑎 
substituindo a equação da força de Atrito na força Resultante, teremos, 
𝐹𝑅 = 𝐹0 − 𝑏𝑣
2 
sabemos que a segunda Lei de Newton é dada pela seguinte equação: 
𝐹 = 𝑚.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 , vamos igualar a força resultante na força da segunda Lei de 
Newton e trabalhar a igualdade para integrar, 
 
2 Prof. Diogo Eduardo - Física 
𝑚.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝐹0 − 𝑏𝑣
2 
𝑑𝑣
𝐹0−𝑏𝑣
2 =
1
𝑚
𝑑𝑡 ∫
𝑑𝑣
𝐹0−𝑏𝑣
2 
𝑣
𝑣0
=
1
𝑚
∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
 
∫
𝑑𝑣
𝐹0
𝑏
−𝑣2
 
𝑣
𝑣0
=
𝑏
𝑚
. 𝑡 
para resolver esta integral em relação a 𝑣(𝑡) vamos recorrer as funções 
trigonométricas hiperbólica, definimos, 
𝑣2 =
𝐹0
𝑏
. 𝑡𝑔ℎ2𝜃 𝑣 = √
𝐹0
𝑏
. 𝑡𝑔ℎ 𝜃 𝑑𝑣 = √
𝐹0
𝑏
. 𝑠𝑒𝑐ℎ2𝜃. 𝑑𝜃 
substituindo v e dv, teremos, 
∫
√
𝐹0
𝑏
.𝑠𝑒𝑐ℎ2𝜃
(
𝐹0
𝑏
−
𝐹0
𝑏
.𝑡𝑔ℎ2𝜃)
 
𝜃
0
𝑑𝜃 ∫
√
𝐹0
𝑏
.𝑠𝑒𝑐ℎ2𝜃
𝐹0
𝑏
(1−𝑡𝑔ℎ2𝜃)
 
𝜃
0
𝑑𝜃 
1
√
𝐹0
𝑏
∫ 𝑑𝜃
𝜃
0
 
1
√
𝐹0
𝑏
. 𝜃 =
𝑏
𝑚
. 𝑡 𝜃 = √
𝐹0
𝑏
.
𝑏
𝑚
. 𝑡 
de outro lado, sabemos que: 
𝑣 = √
𝐹0
𝑏
. 𝑡𝑔ℎ 𝜃 𝜃 = 𝑡𝑔ℎ−1 (𝑣. √
𝑏
𝐹0
) 
Igualando os valores de 𝜃 teremos, 
√
𝐹0
𝑏
.
𝑏
𝑚
. 𝑡 = 𝑡𝑔ℎ−1 (𝑣. √
𝑏
𝐹0
) 
𝑣(𝑡) = √
𝐹0
𝑏
. 𝑡𝑔ℎ (
𝑏. 𝑡
𝑚
. √
𝐹0
𝑏
) 
A equação do movimento do motor a jato inclui uma função trigonométrica 
hiperbólica. 
Espero ter ajudado