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Cristalografia

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Reflexão: elemento plano (fig. b) 
Inversão: elemento centro (fig. c) 
Existe ainda uma quarta operação de simetria resultante da combinação entre a rotação e a inversão, 
denominada de inversão rotatória, cujos elementos são o eixo e o centro (fig. d). 
 
Operações de simetria: 
Rotação: Repetição do objeto 
(motivo) através de uma rotação em 
relação a um eixo. Rotação de 180°, 
120°, 90° e 60° (fig. a). 
Reflexão: Repetição do objeto 
(motivo) através de uma reflexão em 
relação a um plano, resultando em 
duas imagens enantiomorfas 
(espelhadas) do motivo (fig. b). 
Inversão: Repetição invertida do 
objeto (motivo) em relação a um 
centro de simetria resultando em duas 
imagens enantiomorfas invertidas do 
motivo (fig. c). 
Inversão rotatória: Repetição 
invertida do objeto (motivo) através 
de uma rotação em relação a um eixo 
combinada com uma inversão em 
relação a um centro, resultando em 
duas imagens enantiomorfas 
invertidas do motivo. Rotação de 
180° (fig. d). 
 
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SIMETRIA NOS MINERAIS 
 
SIMETRIA DE ROTAÇÃO: processa-se por rotação do objeto em tomo de um eixo 
imaginário que passa pelo seu centro, pela qual as feições do objeto podem ser repetidas 
uma ou mais vezes, durante uma rotação completa de 360°. A simetria de rotação é definida 
pelo número de vezes (n) que ocorrem as repetições durante uma volta completa, o qual 
pode variar entre n = l e n = ∞ (Fig. a, b). Em uma determinada simetria com um específico 
valor de (n), as repetições ocorrem sempre após a rotação de um determinado ângulo (a). 
Simetrias com (n) intermediário entre os dois extremos podem ser observadas nas figuras c, 
d, e. (Fig: simetria 04) 
 
 
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Simetrias intermediárias entre a mínima (n = l) e a máxima (n = ∞): 
(c) Cata-vento exibindo um eixo de simetria quaternário situado no centro do cata-vento e 
perpendicular às suas faces (n = 4 e α = 90°). 
(d) Conjunto de três lagartos relacionados entre si por um eixo de simetria ternário situado 
entre as três cabeças e perpendicular à página (n = 3 e α = 120°). 
(e) Seção basal de um cristal de apatita exibindo um eixo de simetria senária situado no 
ponto central do cristal e perpendicular à página (n = 6 e α = 60°). 
 
SIMETRIA DE ROTAÇÃO NOS MINERAIS 
 
Além da simetria unitária (α = 360°) presente em qualquer objeto, nos Minerais ocorrem apenas 
quatro casos de simetria de rotação, seguintes: 
• Simetria binária (n = 2 e α = 180°, Fig. 2). 
• Simetria ternária (n = 3 e α =120°, Fig. 3). 
• Simetria quaternária (n = 4 e α = 90°,Fig. 4). 
• Simetria senária (n = 6 e α = 60°, Fig. 5) 
As simetrias com (n) = 5, 7 e mais elevadas, não ocorrem nos minerais pois não são 
geometricamente possíveis em uma estrutura cristalina (figura a e b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas 5 figuras abaixo mostrando os casos 
de simetria nos minerais, o motivo está 
representado por uma vírgula. 
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Arranjo de pentágonos com simetria quinária (n = 5) origina um padrão com buracos que tende a 
não ocorrer nas estruturas cristalinas dos minerais (a), ao contrario do conjunto de hexágonos com 
simetria senária (n = 6) que não deixa buracos, tal como nas colméias de abelhas (b). 
 
SIMETRIA DE INVERSÃO ROTATÓRIA 
Enquanto que a Rotação se processa no mesmo plano, a Inversão Rotatória só pode ser 
observada em três dimensões, já que é o resultado da combinação de duas operações 
(rotação e inversão) que não se processam no mesmo plano. Para facilitar a visualização 
dos objetos costuma-se projetá-los para o mesmo plano, conforme mostrado nas figuras 
abaixo. 
 
Inversão rotatória 
binária: rotação 
binária (α = 180°) 
combinada com 
inversão, de modo que 
o objeto e seu inverso 
se sobrepõem em 
projeção. Equivale a 
uma reflexão sobre um 
plano. 
 
Inversão rotatória ternária: rotação 
ternária (α = 120°) combinada com 
inversão, gerando 3 objetos no 
hemisfério superior e três objetos 
invertidos no hemisfério inferior não 
coincidentes em projeção. Equivale a 
uma rotação ternária mais uma inversão. 
 
Inversão rotatória quaternária: 
rotação quaternária (α = 90°) combinada 
com inversão, gerando dois objetos no 
hemisfério superior e dois obj etos 
inversos no hemisfério inferior. Não 
equivale a nenhuma operação ou 
combinação de operações de simetria. 
 
Inversão rotatória senária: rotação 
senária (α = 60°) combinada com 
inversão, gerando 3 objetos no 
hemisfério superior e três objetos 
invertidos no hemisfério inferior 
coincidentes em projeção. Equivale a 
uma rotação ternária mais uma reflexão 
em um plano perpendicular ao eixo 
ternário. 
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32 CLASSES CRISTALINAS 
 
Rotation axis only 1 2 3 4 6
Rotoinversion axis only 1 (= i ) 2 (= m) 3 4 6 (= 3/m)
Combination of rotation axes 222 32 422 622
One rotation axis ⊥ mirror 2/m 3/m (= 6) 4/m 6/m
One rotation axis || mirror 2mm 3m 4mm 6mm
Rotoinversion with rotation and mirror 3 2/m 4 2/m 6 2/m
Three rotation axes and ⊥ mirrors 2/m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m
Additional Isometric patterns 23 432 4/m 3 2/m 
2/m 3 43m
Increasing Rotational Symmetry
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SISTEMA ISOMÉTRICO 
Eixos de Simetria, Planos de Simetria, Inversão e Rotoinversão 
 
 1 2 3 4 6 m i 3 4 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOTAÇÃO CRISTALOGRÁFICA 
 
Lei da racionalidade dos índices (Lei de Haüy, 1784) 
As relações paramétricas que definem as orientações das faces possíveis dos 
cristais correspondem sempre a números racionais (inteiros), os quais são 
geralmente pequenos. Ex: 1:2, 2:1, 2:3, 1:∞, etc. (nunca 1:2½) 
 
RELAÇÕES AXIAIS São as dimensões dos eixos cristalográficos (EC) dos 
minerais (dimensões da cela unitária) geralmente são referidas de forma 
proporcional (relativa, não absoluta) e o EC “b” representa a unidade. 
Relação axial = a : b : c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARÂMETROS As faces dos cristais são definidas através de suas 
interseções com os EC, ou seja as distâncias proporcionais que as faces 
cortam os três EC. Considerando as dimensões absolutas dos eixos (ou relações 
axiais) como unidades: 
1. Se uma face corta os 3 eixos parâmetro = 1 
2. Se as distâncias de corte não forem proporcionais uns dos parâmetros ≠ 1 
3. Se a face é paralela a um eixo parâmetro será ∞ 
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Índices de Miller 
São 3 ou 4 números inteiros gerados através da inversão dos parâmetros 
cristalográficos. Podendo-se eliminar os denominadores das frações. 
 
 
Parâmetros Inversão / eliminação das frações 
Índices 
de Miller 
1 a, 1 b, ∞ c 1/1, 1/1, 1/∞ 1a, 1b, 0c 110 
1 a, 1 b, ⅓ c 1/1, 1/1, 1/⅓ 1a, 1b, 3c 113 
2 a, 1 b, 1 c 1/2, 1/1, 1/1 1/2a, 2/2b, 2/2c 122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Índices de Miller 
 
Cálculo dos Índices de Miller a partir dos cortes das faces nos eixos 
cristalográficos 
 
Exemplo 1: a = 8,88Å; b = 5,45Å; c = 7,15Å Cela unitária (sistema monoclínico) 
 
 Face 1: a = 35,52 mm; b = 10,90 mm; c = 7,15 mm 
Face 2: a = 13,52 mm; b = 8,18 mm; c = 10,73 mm 
Face 3: a = 6,66 mm; b = 16,35 mm; c = 7,15 mm 
 
ceixo
1cfacec
beixo
b1faceb
aeixo
1afacea(faces) IM === 
 
1
7,15
7,15c;2
5,45
10,90b;4
8,88
35,52a :1 Face ====== 1c 2b; 4a; 
( ) ( )124==×




 4c2ba14c
1
1b;
2
1a;
4
1 
----------------------------------------------------------------------------------- 
5,1
7,15
10,73c;5,1