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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2008
Lista de Exerc´ıcios 2 - Soluc¸a˜o
Questa˜o 1
a. Lembre-se que uma das mais importantes caracter´ısticas de uma func¸a˜o
densidade de probabilidade e´ que sua integral e´ igual a 1 e que tambe´m o valor
de uma func¸a˜o de densidade f(x) e´ a probabilidade de que x acontec¸a, assim a
soma de todas as probabilidades (que se torna uma integral se o conjunto sob
o qual integramos e´ denso) deve ser igual a um. Fique atento, pois voceˆ deve
saber o conjunto preciso no qual a varia´vel aleato´ria e´ definido. Na maioria dos
casos em IR ou IR+.
Enta˜o em nosso caso usamos a condic¸a˜o necessa´ria:R
Ω f(x)dx = 1
Ω e´ o suporte da f.d.p., em outras palavras e´ o conjuto de todos os poss´ıveis
valores da varia´vel aleato´ria associada com f . Em nosso caso e´ IR. Como pode-
mos ver f e´ zero em qualquer lugar, menos no intervalo [1, 3]. Em consequ¨eˆncia
dividimos a integral em duas partes [1,3] e o resto IR/[1, 3] (isto e´ apenas uma
notac¸a˜o para o complemento de [1,3] em IR). E no´s obtemos:R
Ω f(x)dx =
R
[1,3]
f(x)dx+
R
IR/[1,3]
f(x)dx
Por definic¸a˜o f(x) = 0 em IR/[1, 3],em consequ¨eˆncia
R
IR/[1,3]
f(x)dx = 0
E f(x) = cx3 em [1, 3],o que significa que
R
Ω f(x)dx =
R
[1,3]
f(x)dx =R
[1,3]
cx3dx = c[x
4
4 ]
3
1 =
c
4(81− 1) = c20
Finalmente, como
R
Ω f(x)dx = 1 = c20 obtemos que
c = 120 = 0.05
b. Como ja´ dito f(x) e´ a probabilidade de que a v.a. X assuma o exato
valor x. Enta˜o, se queremos a probabilidade de que a v.a. X esteja no conjunto
[1, 2] temos que apenas somar (integrar neste caso) a probabilidade de que cada
valor em [1, 2] (neste caso representado por f(x)). Assim,
P (1 ≤ X ≤ 2) =
R
[1,2]
f(x)dx
Agora apenas devemos calcular a integral usando nosso resultado na questa˜o
a, R
[1,2]
f(x)dx =
R
[1,2]
1
20x
3dx = 180 [x
4]21 =
15
80 = 0.18
1
Questa˜o 2
No´s temos 30 motoristas selecionados aleato´riamente. No´s queremos a prob-
abilidade de que no ma´ximo um motorista na˜o esteja devidamente segurado, em
outras palavras, devemos ter 29 motoristas devidamente segurados. Seja a v.a.
Xi para o motorista i. Xi = 1 para um agente devidamente segurado e 0, caso
contra´rio. Pela definic¸a˜o a probabilidade de que Xi = 0 e´ 0.05.
Ranqueie arbritariamente os motoristas de i=1 ate´ 30. Calculemos a prob-
abilidade pedida: temos dois subcasos que sa˜o partic¸o˜es, ou todos os agentes
sa˜o devidamente segurados ou somente um agente na˜o e´ devidamente segurado.
Enta˜o, a probabilidade total e´
P (X1 = 1, ...,X30 = 1) + P (somente um agente na˜o e´ coberto pelo seguro)
Como os motoristas sa˜o selecionados aleato´riamente as probabilidades asso-
ciadas a eles sa˜o independentes e consequ¨entemente:
P (X1 = 1, ...,X30 = 1) = P (X1 = 1) ∗ P (X3 = 1) ∗ ... ∗ P (X30 = 1)
Como sabemos que P (Xi = 1) = 1− P (Xi = 0) = 0.95
Enta˜o,
P (X1 = 1, ...,X30 = 1) = (0.95)
30
Para a segunda parte, para varrer todos os casos devemos ter que cada
agente pode ser aquele que na˜o foi coberto. Como o problema e´ sime´trico temos
a mesma probabilidade em cada caso. Por exemplo P (X1 = 0,X2 = 1...,X30 =
1) = 0.05∗ (0.95)29e temos exatamente 30 casos. Assim, a probabilidade total
de que na˜o mais de que um motorista na˜o e´ devidamente segurado e´
(0.95)30 + 30 ∗ 0.05 ∗ (0.95)29 = 0.55
Questa˜o 3
a.
Confirma-se a versa˜o generalizada da propriedade usada na questa˜o 1
R
[0,1]
R
[0,1]
f(x, y)dxdy = 1R
[0,1]
R
[0,1]
f(x, y)dxdy =
R
[0,1]
R
[0,1]
2/5(2x+ 3y)dxdy =R
[0,1]
2/5[(x2 + 3yx)]10dy =
R
[0,1]
2/5(1 + 3y)dyR
[0,1]
R
[0,1]
f(x, y)dxdy = 2/5[y + 32y
2]10 = 2/5(1 +
3
2) = 2/5 ∗ 5/2 = 1
Enta˜o, f(x, y) definida em [0, 1] ∗ [0, 1] e´ uma f.d.p. apropriada.
b.
Como sabemos
2
P (x ≤ .5 and y ≤ .5) =
R
[0,.5]
R
[0,.5]
f(x, y)dxdy =R
[0,.5]
R
[0,.5]
2/5(2x+ 3y)dxdy =
R
[0,.5]
2/5[(x2 + 3yx)].50 dy
P (x ≤ .5; y ≤ .5) =
R
[0,.5]
2/5( 14 +
3
2y)dy = 2/5[
1
4y +
3
4y
2].50 = 2/5(
1
8 +
3
16 ) =
1
8
c.
Quando temos a f.d.p. conjunta para um conjunto de varia´veis, para deduzir
a distribuic¸a˜o marginal de uma delas devemos ter que integrar todas as outras.
Temos, neste caso, somente duas varia´veis, enta˜o a distribuic¸a˜o marginal de
X tem a seguinte f.d.p.:
fX(x) =
R
[0,1]
f(x, y)dy =
R
[0,1]
2/5(2x+3y)dy = 2/5[2xy+ 32y
2]10 = 2/5(2x+
3
2)
d.
Podemos enta˜o calcular sua esperanc¸a
E[X] =
Z
[0,1]
xfX(x)dx =
Z
[0,1]
2/5x(2x+
3
2
)dx
= 2/5[
2
3
x3 +
3
4
x2]10 = 2/5(
2
3
+
3
4
) =
17
30
e.
Sabemos que a relac¸a˜o fundamental de probabilidades condicional:
P (A | B) = P (A∩B)
P (B)
Adaptamos a nossa questa˜o para ter A = {y ≤ .5} e B = {x ≤ .5}. Assim,
P (y ≤ .5 | x ≤ .5) = P (x≤.5 e y≤.5)
P (x≤.5)
Como ja´ calculamos o numerador na questa˜o b, devemos apenas calcular
o denominador. Da questa˜o (c.) temos a distribuic¸a˜o marginal de X e con-
sequ¨entemente podemos deduzir P (x ≤ .5) =
R
[0,.5]
fX(x)dx =
R
[0,.5]
2/5(2x +
3
2 )dx = 2/5[x
2 + 32x]
.5
0 = 2/5(
1
4 +
3
4)
P (x ≤ .5) = 2/5( 14 +
3
4) =
2
5
E encontramos que
P (y ≤ .5 | x ≤ .5) = 182
5
= 516
3
e.
Esta e´ uma questa˜o cla´ssica, dada a f.d.p. de uma distribuic¸a˜o conjunta
voceˆ e´ inquirido a responder se eles sa˜o independentes. Ha´ dois me´todos para
resolver a questa˜o. O mais geral e´ ver se
f(x, y) = fX(x) ∗ fY (y)
Onde f(, ) e´ a f.d.p. conjunta e fX (resp fY ) e´ a f.d.p. marginal de X que
na˜o depende de y (respectivamente a f.d.p. marginal de Y na˜o depende de x).
Podemos enta˜o calcular:
f(x, y)/fX(x) =
2/5(2x+3y)
2/5(2x+ 32 )
= (2x+3y)
(2x+ 32 )
E´ imposs´ıvel eliminar a varia´vel x da fo´rmula e em consequ¨eˆncia as varia´veis
na˜o podem ser independentes
O outro me´todo e´ menos geral, mas e´ mais pro´ximo do esp´ırito da questa˜o.
Calculamos P (y ≤ .5 | x ≤ .5) = 516 , podemos calcular P (y ≤ .5) =R
[0,.5]
2/5(1 + 3y)dy = 2/5[y + 32y
2].50 = 2/5(
1
2 +
3
4 ) =
1
2
Se X e Y fossem independentes ter´ıamos que P (y ≤ .5 | x ≤ .5) = P (y ≤ .5)
o que na˜o e´ o caso e enta˜o, as duas varia´veis na˜o sa˜o independentes.
Questa˜o 4
a. Esta questa˜o e´ u´til para os casos onde voceˆ tem que mudar as unidades de
medida ou reescalar algumas varia´veis na regressa˜o, evitando refazer a regressa˜o
novamente.
Por definic¸a˜o, regredindo y em x produz uma inclinac¸a˜o βˆ1 e um intercepto
βˆ0 tal que:
βˆ1 =
S
(yi−y¯)(xi−x¯)S
(xi−x¯)2 e βˆ0 = y¯− βˆ1x¯
Suponha que ao inve´s de regredir c1yi em c2xi, apenas os coloquemos nas
fo´rmulas acima, enta˜o teremos os seguintes intercepto e inclinac¸a˜o:
β˜1 =
X
i
(c1yi − ( 1n
P
j c1yj))(c2xi − ( 1n
P
j c2xj))X
i
(c2xi − ( 1n
P
j c2xj))
2
=
P
c1(yi − y¯)c2(xi − x¯)P
(c2)2(xi − x¯)2
=
P
c1(yi − y¯)(xi − x¯)P
c2(xi − x¯)2
=
c1
c2
P
(yi − y¯)(xi − x¯)P
(xi − x¯)2
que e´ exatamente c1
c2
βˆ1
4
e β˜0 = c1y¯− β˜1c2x¯ = c1y¯− c1c2 βˆ1c2x¯ = c1y¯− c1βˆ1x¯ = c1(y¯− βˆ1x¯) que e´ igual
a c1βˆ0
b. Aqui supomos que estamos fazendo uma translac¸a˜o das varia´veis, pode
ocorrer no caso ao regredir y em x haja um erro sistema´tico em y, c1, e em x,
c2. Na˜o ha´ necessidade de rodar novamente a regressa˜o se usamos o seguinte
resultado.
Seguindo os mesmos passos, temos que mudar as varia´veis na definic¸a˜o da
inclinac¸a˜o e do intercepto, o que produz:
β˜1 =
X
i
{(yi + c1)− 1n
P
j(yj + c1)} ∗ {(xi + c2)− 1n
P
j(xj + c2)}X
i
{(xi + c2)− 1n
P
j(xj + c2)}2
=
P
((yi + c1)− (y¯ + c1))((xi + c2)− (x¯+ c2))P
((xi + c2)− (x¯+ c2))2
=
P
(yi − y¯)(xi − x¯)P
(xi − x¯)2
= βˆ1
E, β˜0 = (y¯+ c1)− β˜1(x¯+ c2) = (y¯+ c1)− βˆ1x¯− βˆ1c2 = (y¯− βˆ1x¯)+ c1− βˆ1c2
enta˜o usando o fato de que βˆ0 = (y¯ − βˆ1x¯) temos finalmente que
β˜0 = βˆ0 + c1 − βˆ1c2
Nota: na questa˜o a. usamos o fato de que a me´dia de (c1y1, c1y2, ...c1yn) e´
c1y¯. Enquanto na questa˜o b. a me´dia de (c1 + y1, c1 + y2, ...c1 + yn) e´ c1 + y¯.
Note tambe´m que todos
P
sa˜o de 1 ate´ n.
Questa˜o 5
Nesta questa˜o e´ omitida as hipo´teses ba´sicas em uma regressa˜o. Sejam elas
enta˜o:
i. O modelo verdadeiro e´yi = β0 + β1xi + �i
ii. (�i)i∈[1,n] e iid e E[�i] = 0
iii. Ou xi e´ fixo, ou E[�i | xj ] = 0, ∀(i, j) ∈ [1, n]2
Neste exerc´ıcio iremos comec¸ar com o caso mais simples: onde xi sa˜o fixos.
Sabemos que βˆ1 =
S
(yi−y¯)(xi−x¯)S
(xi−x¯)2 e βˆ0 = y¯− βˆ1x¯, e temos que provar que
E[βˆ1] = β1 e E[βˆ0] = β0.
Usemos primeiro usar i. na fo´rmula de βˆ1. Temos que: βˆ1 =
S
(β0+β1xi+�i−y¯)(xi−x¯)S
(xi−x¯)2
e y¯ = β0 + β1x¯+ �¯. Consequ¨entemente,
5
βˆ1 =
P
(β0 + β1xi + �i − β0 − β1x¯− �¯)(xi − x¯)P
(xi − x¯)2
=
P
(β1(xi − x¯) + �i − �¯)(xi − x¯)P
(xi − x¯)2
=
P
β1(xi − x¯)2 +
P
�i(xi − x¯)−
P
�¯(xi − x¯)P
(xi − x¯)2
Enta˜o,
E[βˆ1] = E[
P
β1(xi − x¯)2 +
P
�i(xi − x¯)−
P
�¯(xi − x¯)P
(xi − x¯)2
]
= E[
P
β1(xi − x¯)2P
(xi − x¯)2
] +E[
P
�i(xi − x¯)P
(xi − x¯)2
] +E[
P
�¯(xi − x¯)P
(xi − x¯)2
]
como xi sa˜o fixos podemos retira´-los da esperanc¸a.
E[βˆ1] =
S
β1(xi−x¯)2S
(xi−x¯)2 +
(xi−x¯)S
(xi−x¯)2E[�i] +
(xi−x¯)S
(xi−x¯)2E [¯�] como por definic¸a˜o
E[�i] = 0 e pela linearidade da esperanc¸a E [¯�] =
1
n
P
E[�i] = 0 conclu´ımos
que E[βˆ1] =
S
β1(xi−x¯)2S
(xi−x¯)2 = β1 e que βˆ1 e´ um estimador na˜o viciado de β.
Para o estimador do intercepto o racioc´ınio e´ mais simples, E[βˆ0] = E[y¯]−
E[βˆ1x¯] = E[β0 + β1x¯+ �¯]− x¯E[βˆ1] = β0 + x¯E[β1] + 0− x¯E[βˆ1]
Como vimos E[βˆ1] = β1 e β1 e´ uma constante enta˜o E[β1] = β1 (usamos o
mesmo para β0)
Enta˜o, E[βˆ0] = β0 que significa que βˆ0 e´ tambe´m um estimador na˜o viciado.
Nota: Para resolver este tipo de questa˜o veja se voceˆ sabe a diferenc¸a entre
um estimador (p.ex.:βˆ1) que e´ uma v.a. em func¸a˜o de (xi,�i) e que o valor
verdadeiro e´ β1 que e´ uma constante derivada do modelo verdadeiro.
Questa˜o 6
a.
Estamos dando a distribuic¸a˜o conjunta de (X,Y). Se queremos a me´dia de
cada uma das varia´veis, enta˜o temos que achar a distribuic¸a˜o conjunta de cada
uma. Para fazer isso temos que integra sobre a varia´vel na˜o requerida. Por
exemplo, queremos a distribuic¸a˜o marginal de X sobre f(x,y) temos apenas que
integrar f(x,y) sobre y...e o contra´rio se queremos a distribuic¸a˜o marginal de Y.
Assim,
fX(x) =
R
[0,1]
f(x, y)dy =
R
[0,1]
2xdy = [2xy]10 = 2x
fY (y) =
R
[0,1]
f(x, y)dx =
R
[0,1]
2xdx = [x2]10 = 1 Note que Y tem uma
distribuic¸a˜o uniforme sobre [0,1].
6
Podemos inferir a me´dia:
E[X] =
R
[0,1]
xfX(x)dx =
R
[0,1]
2x2dx = 2/3[x3]10 = 2/3
E[Y ] =
R
[0,1]
yfY (y)dy =
R
[0,1]
ydy = 1/2
b.
No´s temos que aplicar a definic¸a˜o: (Lembre-se E[h(X)] =
R
h(x)fX(x)dx
para qualquer func¸a˜o cont´ınua h)
V [X] = E[X2]−E[X]2 =
R
[0,1]
x2fX(x)dx− (2/3)2 = 1/2− 4/9 = 1/18
V [Y ] = E[Y 2]−E[Y ]2 =
R
[0,1]
y2fY (y)dy − (1/2)2 = 1/3− 1/4 = 1/12
c.
Lembre-se da definic¸a˜o: cov(X,Y ) = E[XY ]−E[X]E[Y ]
cov(X,Y ) =
R
[0,1]
R
[0,1]
xyf(x, y)dxdy − (2/3 ∗ 1/2) =
R
[0,1]
R
[0,1]
2x2ydxdy −
1/3 =
R
[0,1]
[x2y2]10dx− 1/3 = 1/3− 1/3 = 0
As varia´veis sa˜o na˜o correlacionados!
d.
Dada a definic¸a˜o,
E[X | Y ] = R
[−∞,+∞] xg(x | y)dx =
R
[−∞,+∞] x(
f(x,y)
fY (y)
)dx =
R
[0,1]
x(2x1 )dx =R
[0,1]
2x2dx
E[X | Y ] = 23
Note que nossa varia´vel x e´ definido em [0,1], o que significa que sua f.d.p.
assume valor 0 fora de [0,1].
Questa˜o7
O estimador e´ na˜o viciado se sua esperanc¸a e´ igual ao valor verdadeiro.
E
¡
X¯
¢
= E
·
X1 +X2
2
¸
=
1
2
(E [X1] + E [X2])
por linearidade do operador E (.). Como X1 e X2 seguem ambos a mesma
distribuic¸a˜o N
¡
m, s2
¢
, enta˜o E [X1] = E [X2] = m. Assim,
E
¡
X¯
¢
= m
Para resolver este tipo de problema voceˆ precisa lembrar-se de como calcular
a variaˆncia de uma combinac¸a˜o linear de v.a.. Suponha que X e Y sao v.a. com
variaˆncias conhecidas V (X) and V (Y ) . Qual e´ a variaˆncia de V (aX + bY )?
(Onde a e b sa˜o fixos).
7
V (aX + bY ) = a2V (X) + b2V (Y ) + 2ab ∗ cov (X,Y )
Aplicando esta regra a V
¡
X1
2 +
X2
2
¢
no´s obtemos:
V
¡
X¯
¢
= V
µ
X1
2
+
X2
2
¶
=
1
4
V (X1) +
1
4
V (X2) + 2 ∗
1
2
∗ 1
2
∗ cov (X1,X2)
Como X1 e X2 sa˜o independentes, cov (X1,X2) = 0 e como V (X1) =
V (X2) = s
2
V
¡
X¯
¢
=
s2
2
= 25
Questa˜o 8
a) Os primeiros dois momentos de X sa˜o dados por
µ =
Z 1
−1
xf (x) dx =
Z 1
−1
x
µ
x+ 1
2
¶
dx =
x3
6
+
x2
4
º1
−1
=
1
6
+
1
4
−
µ
−1
6
¶
−1
4
=
1
3
E
¡
X2
¢
=
Z 1
−1
x2f (x) dx =
Z 1
−1
µ
x3 + x2
2
¶
dx =
x4
8
+
x3
6
º1
−1
=
1
8
+
1
6
−
µ
1
8
¶
+
1
6
=
1
3
Assim,
σ2 = E
¡
X2
¢
− µ2 = 1
3
−
µ
1
3
¶2
=
2
9
e
σ3 =
Ã√
2
3
!3
=
2
√
2
27
Calculando agora o terceiro momento central de X, temos que
E (X − µ)3 =
Z 1
−1
(x− µ)3 f (x) dx
Mas
(x− µ)3 f (x) =
¡
x3 − 3x2µ+ 3xµ2 − µ3
¢µx+ 1
2
¶
=
µ
x3 − x2 + x
3
− 1
27
¶µ
x+ 1
2
¶
=
µ
x4
2
− x
3
2
+
x2
6
− x
54
¶
+
x3
2
− x
2
2
+
x
6
− 1
54
=
x4
2
− 2x
2
3
+
4x
27
− 1
54
8
Em consequ¨eˆncia,
E (X − µ)3 =
Z 1
−1
µ
x4
2
− 2x
2
3
+
4x
27
− 1
54
¶
dx
=
x5
10
− 2x
3
9
+
2x2
27
− 1x
54
º1
−1
=
µ
1
10
− 2
9
− 1
54
¶
−
µ
− 1
10
+
2
9
+
1
54
¶
= − 13
135
Finalmente,
E (X − µ)3
σ3
= − 13
135
27
2
√
2
= −0.9192
b) Neste caso, a func¸a˜o de densidade e´ sime´trica em torno de 0, enta˜o e´
direto mostrar que o coeficiente da assimetria e´ 0. A esperanc¸a e´
µ =
Z 1
−1
xf (x) dx =
Z 1
−1
x
1
2
dx =
x2
4
º1
−1
=
1
4
− 1
4
= 0
e o terceiro momento central e´ tambe´m 0
E (X − µ)3 =
Z 1
−1
x3
1
2
dx =
x4
8
º1
−1
=
1
8
− 1
8
= 0
Questa˜o 9
a) Defina a func¸a˜o
I{et(X−a)≥1} =
½
1 se et(X−a) ≥ 1
0 caso contra´rio
Por construc¸a˜o,
I{et(X−a)≥1} ≤ et(X−a)
Tirando a esperanc¸a de ambos os lados da inequac¸a˜o acima, segue-se que
E
h
I{et(X−a)≥1}
i
= P
h
et(X−a) ≥ 1
i
≤ E
h
et(X−a)
i
Finalmente, como 0 < t < h, note que
et(X−a) ≥ 1⇔ t (X − a) ≥ 0⇔ (X − a) ≥ 0
Assim,
P [(X − a) ≥ 0] ≤ E
h
et(X−a)
i
9
ou, de maneira alternativa,
P [X ≥ a] ≤ E
h
et(X−a)
i
= e−atE
£
etX
¤
= e−atMX (t)
b) Da parte (a)
P
h
et(X−a) ≥ 1
i
≤ E
h
et(X−a)
i
Para −h < t < 0, note que
et(X−a) ≥ 1⇔ t (X − a) ≥ 0⇔ (X − a) ≤ 0
Assim,
P [(X − a) ≤ 0] ≤ E
h
et(X−a)
i
ou, de maneira alternativa,
P [X ≤ a] ≤ e−atMX (t)
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