SISTEMA DE COTROLE E SERVOMECANISMOS

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Aula 06 – Resposta Dinâmica de Sistemas Lineares de Segunda Ordem 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 1 
 
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE 
 
AULA 06 – RESPOSTA DINÂMICA DE SISTEMAS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 
 
Na aula anterior estudamos os sistemas lineares de primeira ordem, esta aula será dedicada ao 
estudo de sistemas lineares de segunda ordem. 
1. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
Um sistema de segunda ordem sem zeros possui função de transferência dada por: 
 
 
 
0
2
2 1 0
Y s b
G s
R s a s a s a
 
 
 (1) 
Outra forma de representar um sistema de segunda ordem, que recebe o nome de forma padrão, é 
apresentada na Equação 2. 
 
 
 
2
2 22
n
n n
Y s
G s
R s s s

    
 (2) 
onde 
n
 é a frequência natural e 

é o coeficiente de amortecimento. 
O valor de 

caracteriza o comportamento do sistema, se 
10  
, os polos do sistema são 
complexos conjugados e se situam no semi-plano esquerdo do plano complexo s. O sistema é então 
chamado subamortecido e a resposta transitória é oscilatória. Se 
0 
, a resposta transitória não 
decai e o sistema é dito sem amortecimento ou oscilatório. Se 
1 
, o sistema é denominado 
criticamente amortecido. Finalmente, os sistemas superamortecidos ou sobreamortecidos possuem 
1 
. 
A Figura 1 resume a classificação dos sistemas de segunda ordem e a localização de seus polos 
no plano complexo. As respostas ao degrau desses sistemas obedecem à Figura 2. 
 
Figura 1: Quadro resumo – Tipos de sistemas de segunda ordem 
 
  0 jnj
nj 0 1 j 21nj n 21nj   1 j 2  n  1 j 21n n     21n n    
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Figura 2: Resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem 
2. ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO DA RESPOSTA TRANSITÓRIA 
Nesta seção iremos estudar a resposta transitória de um sistema de segunda ordem subamortecido 
sem zeros a uma entrada degrau, esse tipo de sistemas é um dos mais comuns e diversos exemplos 
reais podem ser modelados ou simplificados a esta estrutura. A Figura 3 apresenta a resposta típica 
de um sistema subamortecido a uma entrada degrau. Também é possível observar na Figura 3 as 
especificações de desempenho do sistema, como por exemplo, tempo de subida, tempo de 
assentamento, sobressinal, tempo de pico, que serão apresentados em detalhes a seguir. 
0 
 
0 1, 
 
0 2, 
 
0 3, 
 
0 4, 
 
0 5, 
 
0 6, 
 
0 7, 
 
0 8, 
 
0 9, 
 
1 
 
2 
 
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Figura 3: Especificações de desempenho da resposta transitória 
As principais características da resposta transitória de um sistema de controle a uma entrada em 
degrau unitário são: 
 
rT
, tempo de subida: intervalo de tempo necessário para que a resposta ao degrau passe de 
10% para 90% de seu valor final, geralmente referido a sistemas superamortecidos. Outra 
definição para o tempo de subida é o intervalo de tempo necessário para que a resposta ao 
degrau atinja o valor final pela primeira vez, geralmente referido a sistemas subamortecidos; 
 
pT
, tempo de pico: instante de tempo em que ocorre o primeiro pico da resposta; 
p
d
T



 (3) 
 
tp
M
, valor de pico, ultrapassagem, sobressinal ou overshoot: valor máximo de pico da 
curva de resposta, medido a partir da unidade. Caso o valor final da resposta em regime 
estacionário diferir da unidade, é comum utilizar o conceito de ultrapassagem percentual 
 
tp
M %
; 
21
tp
M e





 (4) 
 % 100, (Para quando a entrada diferir do valor unitário)t
t
p
p
M y
M
y




 (5) 
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 onde: 
y
 representa o valor de estado estacionário ou valor de regime permanente, ou 
 ainda, valor final de 
 y t
. 
 
sse
, erro de estado estacionário ou erro em regime permanente: definido como a diferença 
entre o valor final desejado e o efetivamente alcançado pelo sistema em regime permanente, 
será discutido na seção seguinte; 
 
sT
, tempo de assentamento ou tempo de acomodação: intervalo de tempo necessário para 
que o sinal de saída se estabilize dentro de uma faixa percentual de seu valor final, indicada 
por 

, geralmente, utiliza-se 
2% 
 ou 
5% 
. O tempo de assentamento está relacionado 
à maior constante de tempo presente no sistema de controle; 
 
4
Critério dos 2%sT 

 (6) 
 
3
Critério dos 5%sT 

 (7) 
 
 Ganho DC, valor da saída do sistema para quando o tempo tende ao infinito, ou seja, s tende 
a zero: 
 
0
Ganho DC lim
s
G s


 (8) 
As constantes 
d
 e 

, podem ser deduzidas por meio da representação no plano s dos polos do 
sistema, como apresentado na Figura 4. 
dj
j
 21n n
 n
 
Figura 4: Representação de um polo complexo qualquer no plano s 
3. ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO (ess) 
Todo sistema físico real é passível de erro, e este por sua vez tem origem devido aos mais diversos 
fatores, como por exemplo, atrito e outros tipos de variação no sinal de entrada. Estudaremos os 
principais erros de estado estacionário, posição, velocidade e aceleração. 
Primeiramente faz-se necessário conhecer a definição de tipo de sistema. Esta forma de 
classificação está diretamente relacionada à capacidade de um sistema de seguir uma entrada de 
referência. 
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O tipo de sistema é dado pela multiplicidade de polos na origem, ou seja, a quantidade de polos de 
um sistema localizados na origem do plano s (
0s 
). Tendo como referência a função de 
transferência apresentada na Equação 9, definimos que o sistema apresentado é do tipo N. 
 
    
    1 2
1 1 1
1 1 1
a b m
N
n
K T s T s T s
G s
s T s T s T s
  

  
 (9) 
Portanto, se o expoente de s for igual a 0, classifica-se o sistema como sendo do Tipo 0. Se o 
expoente for 1, como sendo do Tipo 1 e assim por diante. 
Erro estático de posição Kp: Define-se o erro de estado estacionário de posição como sendo o erro 
que um sistema apresenta a uma entrada degrau, seu valor é dado por: 
 
0
1
, para lim
1
ss p
s
p
e K G s
K 
 

 (10) 
Erro estático de velocidade Kv: Define-se o erro de estado estacionário de velocidade como sendo 
o erro que um sistema apresenta a uma entrada rampa, seu valor é dado por: 
 
0
1
, para limss v
s
v
e K sG s
K 
 
 (10) 
Erro estático de aceleração Ka: Define-se o erro de estado estacionário de aceleração como sendo 
o erro que um sistema apresenta a uma entrada parábola, seu valor é dado por: 
 2
0
1
, para limss a
s
a
e K s G s
K 
 
 (10) 
A Tabela 1 resume o valor do erro de estado estacionário para cada uma das entradas típicas de 
acordo com o tipo de sistema. 
Tabela 1: Constantes de erro em estado estacionário 
 
 Entradas Constantes de erro 
estático 
Tipo (N) Degrau (
1 s
) Rampa (
21 s
) Parábola (
31 s
) 
0 1
1 pK
 

  
 
0
limp
s
K G s


 
1 0 1
vK
  
 
0
limv
s
K sG s


 
2 0 0 1
aK
 
 2
0
lima
s
K s G s

Aula 06 – Resposta Dinâmica de Sistemas Lineares de Segunda Ordem 
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4. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Dada a F(s) abaixo, de um sistema de segunda ordem, obter 

,
n
,
d
,
 2%sT
,
pT
 e 
 %pM
: 
 
2
81
9,5 81
F s
s s

 
 
2. Dada a F(s) abaixo, de um sistema de segunda ordem, obter 

,
n
,
d
,
 2%sT
,
pT
 e 
 %pM
: 
 
2
2
2
F s
s s

 
 
3. Dada a F(s) abaixo, de um sistema de segunda ordem, obter 

,
n
,
d
,
 2%sT
,
pT
 e 
 %pM
: 
 
2
10
3 10
F s
s s

 
 
4. Um sistema com realimentação unitária negativa tem como função de transferência no ramo 
direto: 
 
 2 2
12
7 6
G s
s s s

 
 
a) Qual o tipo de sistema? 
b) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada degrau? 
c) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada rampa? 
d) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada parábola? 
5. Um sistema com realimentação unitária negativa tem como função de transferência no ramo 
direto: 
 
2
5
5 6
G s
s s

 
 
a) Qual o tipo de sistema? 
b) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada degrau? 
c) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada rampa? 
d) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada parábola? 
6. Um sistema com realimentação unitária negativa tem como função de transferência no ramo 
direto: 
 
 2
5
5 6
G s
s s s

 
 
a) Qual o tipo de sistema? 
b) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada degrau? 
c) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada rampa? 
d) Qual o erro de estado estacionário para uma entrada parábola? 
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7. Para o sistema apresentado a seguir determine o erro de estado estacionário para uma entrada 
degrau e para uma entrada rampa.