lista 3

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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE324- Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
Monitores
Heitor Sandes Pellegrina
Alessandro Casalecchi
Lista 3
Questão 1
Considere o modelo de regressão:
yt = xt� + "t; t = 1; :::; T
no qual xt é 1x1. Seja x = [x1; :::; xT ]0; " = ["1; :::; "T ]
0. Assuma que
E [" j X] = 0 e que E [""0 j X] = �2I.
Ao longo desse problema derive os resultados condicionados em x. Seja
�x = 1=T
P
xt e de…na �y similarmente.
a) Considere o estimador �� = �y=�x. Mostre que �� é linear e não viesado.
Calcule sua variância e compare com a variância do estimador de mínimos
quadrados.
b) Suponha que você decida usar as primeiras � < T observações e rodar
M.Q.O.. Mostre que o estimador resultante ��� é linear e não viesado, mas não
possui a menor variância.
c) Derive o estimador lineara com variância mínima (não necessariamente
não viesado).
Questão 2
Considere o modelo
ln(crimes) = �1 + �2ln(matricula) + "i
que relaciona o número anual de crimes em um campus universitário (crimes)
ao número de estudantes matriculados (matricula).
a) Qual o sinal esperado de �2?
b) Qual a interpretação para o comportamento de �2?
c) Teste: H0 : �2 = 1 contra Ha : �2 > 1 a nível de signi…cância de 5%
usando o seguinte resultado (erros padrões entre parênteses):
ln(crimes) = �6; 6
(1;03)
+ 1; 3
(0;11)
ln(matricula) n = 200
1
d) Podemos usar o resultado de (c) para inferir que o crime é um problema
maior em campus maiores?
Questão 3
Suponha que você tenha yi = � + �xi + "i onde yi é o salário de alguém
recém-graduado e xi é o salário conseguido por ele em seu útlimo estágio antes
de graduar-se. Nossa amostra contém 100 graduados. Também admitimos que
"i~N
�
0; �2
�
e que "i e xi são independentes para cada (i; j) em f1; :::; ng2.
Queremos estimar o intercepto e a inclinação de M.Q.O.e então testar:
i.)se existe uma relação linear entre o salário de estagiário e o salário de
graduado. � = 0?
ii) se existe um intercepto ou não.� = 0?
Para responder as seguintes questões, você sabe que:X
yi = 700:000
X
xi = 200:000
X
xiyi = 130:000:000
a) Dê a fórmula dos estimadores de M.Q.O.da inclinação e do intercepto
(não precisa provar)
b) Prove que a distribuição de �^; �^ dado (x1; :::; xn) segue uma distribuição
normal.
c) Qual a média e variância de cada um deles?
d) Suponha que �2 = 25 é dado. Dê um intervalo de 5% de con…ança para
� e �.
e) Faça um teste de � = 0 contra � 6= 0 com um nível de 5%. Rejeitamos
ou aceitamos � = 0?
f) Faça um teste de � = 0 contra � 6= 0 com um nível de 5%. Rejeitamos ou
aceitamos � = 0?
Questão 4
Suponha que y segue um modelo linear de probabilidade. Escreva sua função
de log-verossimilhança e explique porque pode ser difícil obter o estimador de
máxima verossimilhança.
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