Questoes adicionais lista 1

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Questões adicionais para a lista 1 (entregar junto com a lista 1)
Questão 9
a) Seja o modelo já na forma matricial . Suponha que somente estejamos interessados na estimação de um sub-grupo dos K coeficientes de , digamos, o vetor de ordem , onde . Assim, podemos particionar como 
 = 
 onde é , é , é e é . Com isso, podemos reescrever o modelo como . Sabendo que a matriz é a matriz residual maker da regressão de qualquer variável dependente contra (pois tem a seguinte propriedade: ), mostre que pode ser estimado pela fórmula , onde .
b) Sejam dois modelos já na forma matricial: 
onde é , é , é , é , é um parâmetro escalar e é Usando as propriedades trabalhadas no item a, mostre que necessariamente , lembrando que a matriz é idempotente.
Questão 10
Sejam o modelo , e o conjunto de restrições lineares , onde é , é e é , podendo ser visto como o número de restrições lineares que estamos impondo.
a) Resolva o problema de minimização do quadrado dos resíduos sujeito à restrição , encontrando a fórmula explícita para o estimador restrito (chame-o de ) em função do estimador de MQO irrestrito (minimização sem restrição alguma), o típico.
b) Chamando de os resíduos da minimização restrita do item a, e de os resíduos da minimização irrestrita, mostre que sob a hipótese nula , vale
isto é, para teste de restrições lineares conjuntas, pode-se computar o valor da estatística de teste F tanto pela fórmula da esquerda, usando-se a estimativa , quanto a fórmula da direita, que exige que duas regressões sejam feitas.
Questão 11
Considere os modelos 
 (1)
 (2)
em que e e são . Sejam , , e os vetores correspondentes a cada uma das variáveis. Suponha que , , , e . Sejam e os estimadores de MQO e e os valores de dos modelos (1) e (2), respectivamente
Mostre que , para quaisquer variáveis X e Y (esqueça dos modelos por enquanto).
Suponha . Prove que 
Prove que .
Questão 12
Exercicio para Stata. Dica: parte dos comandos suficientes para a execução deste exercício estão contidos nos do-files enviados sobre o Capitulo 12 do Wooldridge. Este exercício exigirá que vocês recorram ao comando “help” do Stata para verificar como usar e realizar algumas operações matriciais.
Use a base de dados HPRICE1.DTA (ela pode ser encontrada na home page do Wooldridge, como visto nas monitorias).
a) Estime, usando o Stata, o seguinte modelo 
em que price é o preço da casas em milhares de dólares, lotsize é o tamanho do terreno da casa, sqrft é a área da casa e bdrms é o número de quartos desta. Obtenha o valor predito quando: lotsize = 10000, sqrft=2300 e bdrms=4.
b) Estime um intervalo de confiança de 95% para a esperança do preço da casa quando lotsize = 10000, sqrft=2300 e bdrms=4.
c) Estime um intervalo de confiança de 95% para o preço da casa quando lotsize = 10000, sqrft=2300 e bdrms=4. Diferentemente do item anterior, é necessário que você leve em conta a variância do erro individual agora, pois o intervalo de confiança é feito para um valor e não para a esperança do preço nesses valores.
d) Explique em palavras, em poucas linhas, qual a diferença entre os procedimentos do item b e do item c.