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Universidade de Sa\u2dco Paulo - Departamento de Economia
EAE 0325 - Econometria II
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
Lista de Exerc´\u131cios 2 - Data de Entrega: 04/09
Voce\u2c6 deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questa\u2dco sem provar.
Questa\u2dco 1
Suponha que X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´\u131nua que tem func¸a\u2dco densidade
de probabilidade (f.d.p.)
f(x) =
½
cx3 para 1 \u2264 x \u2264 3
0 caso contra´rio
a) Qual o valor de c para que f(x) seja uma f.d.p.?
b) Qual a probabilidade do intervalo 1 \u2264 x \u2264 2 ?
Questa\u2dco 2
Suponha que 5% dos motoristas na\u2dco sa\u2dco segurados. De uma amostra de 30
motoristas aleatoriamente selecionados qual e´ a probabilidade de que na\u2dco mais
que 1 motorista na\u2dco tenha seguro?
Questa\u2dco 3
Suponha que um teste de matema´tica X tenha sua pontuac¸a\u2dco compreendi-
dade entre 0 e 1. Similarmente, um teste de portugue\u2c6s Y tenha amplitude entre
0 e 1. Suponha que a distribuic¸a\u2dco conjunta de X e Y e´ dada como a seguir:
f(x, y) = 2/5 [2X + 3Y ] para 0 \u2264 x \u2264 1 e 0 \u2264 y \u2264 1
a) Mostre que f(x, y) e´ uma func¸a\u2dco de densidade conjunta
b) Encontre f(x, y)P (x \u2264 0, 5 e y \u2264 0, 5)
c) Encontre a distribuic¸a\u2dco marginal da varia´vel aleato´ria X
d) Encontre o valor esperado de Y
e) Qual e´ a probabilidade de y \u2264 0, 5 dado que x \u2264 0, 5
f) X e Y sa\u2dco independentes? Explique.
1
Questa\u2dco 4
Seja \u3b2\u2c60 e \u3b2\u2c61 o intercepto e o coeficente de inclinac¸a\u2dco, respectivamente, da
regressa\u2dco de yi em xi, usando n observac¸o\u2dces.
a) Seja c1 e c2 com c2 6= 0, constantes. Seja \u3b2\u2dc0 e \u3b2\u2dc1 a inclinac¸a\u2dco e o intercepto
da regressa\u2dco de c1yi em c2xi. Mostre que \u3b2\u2dc1 = (c1/ c2)\u3b2\u2c61 e \u3b2\u2dc0 = (c1)\u3b2\u2c60.
b) Seja, agora, \u3b2\u2dc0e \u3b2\u2dc1 da regressa\u2dco (c1+ yi) em (c2+xi) (sem restric¸o\u2dces em
c1 ou c2). Mostre que \u3b2\u2dc1 = \u3b2\u2c61 e \u3b2\u2dc0 = \u3b2\u2c60 + c1 \u2212 c2\u3b2\u2c61.
Questa\u2dco 5
Seja \u3b2\u2c60 e \u3b2\u2c61 o intercepto e a inclinac¸a\u2dco da regressa\u2dco de yi em xi. Mostre
que \u3b2\u2c60 e \u3b2\u2c61 sa\u2dco estimadores na\u2dco viesados de \u3b20 e \u3b21.
Questa\u2dco 6
A experanc¸a condicional de uma varia´vel aleato´ria X dado outra v.a. Y e´
definida como:
E [X | Y ] =
Z +\u221e
\u2212\u221e
xg(x | y) dx
onde g(x | y) = f(x, y)/f(y) e f(x, y) e´ a distribuic¸a\u2dco conjunta de X e Y e
f(y) e´ a distribuic¸a\u2dco marginal de Y .
Suponha que f(x, y) = 2x para 0 \u2264 x \u2264 1 e 0 \u2264 y \u2264 1.
a) Encontre a me´dia de X e Y .
b) Encontre a varia\u2c6ncia de X e Y .
c) Encontre a covaria\u2c6ncia de X e Y .
d) Encontre a me´dia condicional de X dado Y .
Questa\u2dco 7
Duas v.a. independentes X1 e X2 sa\u2dco normalmente distribu´\u131das N(m, s
2).
Sabemos que s2 = 50, mas na\u2dco sabemos a me´dia m. O seguinte estimador de
m e´ proposto:
X =
X1 +X2
2
a) X e´ um estimador na\u2dco viesado de m?
b) Qual a varia\u2c6ncia desse estimador?
2
Questa\u2dco 8
Seja X uma v.a. com me´dia µ e varia\u2c6ncia \u3c32 de tal forma que E
h
(X \u2212 µ)3
i
exista. O valor da raza\u2dco
E[(X\u2212µ)3]
\u3c33
e´ frequ¨entemente usado como medida de
assimetria. Calcule-o para as seguintes distribuic¸o\u2dces:
a) f(x) = (x+ 1)/2 para \u22121 < x < 1, e 0 caso contra´rio
b) f(x) = 1/2 para \u22121 < x < 1, e 0 caso contra´rio
Questa\u2dco 9
Seja X um v.a. com func¸a\u2dco geradora de momentos Mx(t) para \u2212h < t < h.
Prove que:
P (X \u2265 a) \u2264 exp(\u2212at)Mx(t), 0 < t < h
e
P (X \u2264 a) \u2264 exp(\u2212at)Mx(t), \u2212h < t < 0
Dica: Use a desigualdade de Chebyshev.
3