Exercícios de Econometria II

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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0325 - Econometria II
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
Lista de Exerc´ıcios 3 - Data de Entrega: 18/09
Voceˆ deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questa˜o sem provar.
Questa˜o 1
Calcule P (6 ≤ x ≤ 8) e P (6 ≤ x ≤ 8) se X e´ normalmente distribu´ıda
com me´dia 7 e variaˆncia 25 e tamanho da amostra 100. Explique porque as
probabilidades diferem. (Note que x refere-se a me´dia amostral).
Questa˜o 2
Suponha que Y1 e Y2 sa˜o v.a. independentes com me´dia µ, mas variaˆncias
V (Y1) = σ
2
1, V (Y2) = σ
2
2 conhecidas. O valor de µ e´ desconhecido e e´ proposto
estimar µ por uma me´dia ponderada de Y1 e Y2, ie, por αY1 + (1− α)Y2. Qual
valor de α produz o estimador com a menor variaˆncia poss´ıvel na classe dos
estimadores na˜o viesados? Qual a intuic¸a˜o ao usar tal valor de α?
Questa˜o 3
Suponha que
Yi = β0 + β1Xi + εi
e que o termo de erro satisfac¸a as hipo´teses usuais do modelo de regressa˜o
linear cla´ssico discutidas em sala. Para uma amostra de 500 observac¸o˜es foi
encontrado:P
Xi = 3.000P
Yi = 1.400P
XiYi = 18.000P
X2i = 66.000P
Y 2i = 7.200
Encontre os estimadores de mı´nimos quadrados ordina´rios de β0 e β1?
Questa˜o 4
Qual dos seguintes estimadores para a me´dia de uma distribuic¸a˜o e´ mais
eficiente:
1
a) (4x1 + 12x2 + 3x3)/19
b) (x1 + x2 + x3)/3
Questa˜o 5
Questo˜es sucintas
(a) O que acontece ao intercepto e inclinac¸a˜o estimados de M.Q.O. quando
todas observac¸o˜es da varia´vel independente sa˜o ideˆnticas? Qual a intuic¸a˜o para
esse resultado?
(b) Suponha que voceˆ esta´ construindo um modelo que explica o comporta-
mento da poupanc¸a agregada em func¸a˜o do n´ıvel de taxa de juros. Voceˆ deve
retirar amostras de um per´ıodo de flutuac¸a˜o de taxa de juros ou de um per´ıodo
onde as taxas de juros sa˜o relativamente constantes. Explique.
(c) A v.a. Y tem me´dia 1 e variaˆncia 4. Seja Z = 0.5(Y − 1). Qual e´ a
me´dia e variaˆncia de Z?
(d) Suponha que voceˆ quer estimar o efeito da regia˜o de um estudante sobre
seu desempenho escolar. Em particular voceˆ quer saber se estudantes de regio˜es
pobres tendem a tirar piores notas na escola. Suponha que voceˆ tenha dados
sobre notas de estudantes e da regia˜o de onde os estudantes vivem e quer medir o
efeita da renda da regia˜o sobre o desempenho escolar. Se voceˆ rodar a regressa˜o
do desempenho sobre a renda da regia˜o do estudante e na˜o incluir a renda
familiar no modelo, enta˜o voceˆ conseguira´ um estimador viesado do efeito causal.
Qual a direc¸a˜o voceˆ acha que o vie´s tera´?
Questa˜o 6
Considere o seguinte modelo de regressa˜o linear cla´ssico sem intercepto (i.e.
sem constante):
yi = αxi + ui
para i = 1, ..., n.
Todas as hipo´tese de M.Q.O. padra˜o sa˜o satisfeitas. (E [ui] = 0, E
£
u2i
¤
=
0, cov(ui, uj) = 0 para todo i 6= j):
a) Encontre a forma do estimador de Mı´nimos Quadrados desse modelo, i.e.,
ache o valor que minimiza a soma de u2i
b) Mostre que esse estimador e´ linear na varia´vel dependente yi
c) Mostre que esse estimador e´ na˜o viesado
d) Assuma que xi 6= 0 e que a me´dia x 6= 0. Considere o estimador de α
chamado α :
α =
y
x
Mostre que esse estimador na˜o e´ viesado e e´ linear em yi
e) Derive a variaˆncia de ambos estimadores (αMQO e α). Compare essas
variaˆncias. Voceˆ poderia ter inferido o resultado sem qualquer ca´lculo?
2
Questa˜o 7
Suponha que FY |x(y | x) = (2y+4x)/(1+4x) e que fx(x) = (1+4x)/3 para
0 < x < 1 e 0 < y < 1. Encontre a densidade condicional para X dado que
Y = y.
Question 8
Suponha que 3 varia´veis aleato´rias, X1,X2 eX3, provenham de uma amostra
aleato´ria de uma distribuic¸a˜o uniforme no intervalo 0 < x < 1. Encontre
E
h
(X1 − 2X2 +X3)2
i
.
Questa˜o 9
Seja X uma v.a. com me´dia µ, variaˆncia σ2 e func¸a˜o geradora de momentos
Mx(t). Seja c uma constante positiva, e seja Y uma v.a. com func¸a˜o geradora
de momentos My(t) = exp [c (Mx(t)− 1)]. Encontre expresso˜es para a me´dia e
a variaˆncia de Y em termos da me´dia e variaˆncia de X.
Questa˜o 10
Voceˆ retira uma amostra aleato´ria de tamanho n de uma populac¸a˜o que e´
descrita como
Yi = β + εi
com P (εi = 1) = P (εi = 1) = 1/2.
a) Mostre que Y = 1/n
P
Yi, e´ um estimador na˜o viesado de β.
b) Essa parte e´ adicional. Na˜o se preocupe com ela!!
Suponha que voceˆ saiba que β = 0 ou β = 2, mas na˜o sabe qual e´ o valor
verdadeiro. Considere o seguinte estimador:
βˆ = 0 se qualquer Yi = −1,
βˆ = 2 se qualquer Yi = 3, e
βˆ = Y caso contra´rio.
βˆ e´ um estimador melhor que Y . Por queˆ?
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