Exercícios de Econometria II

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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 0325 - Econometria II
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
Lista de Exercícios 5 - Data de Entrega: 30/10
Você deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questão sem provar.
Questão 1
Na regressão de mínimos quadrados de y em uma constante e X, para calcu-
lar o coeficiente de regressão de X, podemos primeiro transformar y em desvios
em relação à média y¯ e, do mesmo modo, transformar cada coluna de X em
desvios em relação à média da respectiva coluna; em seguida, regride-se o y
transformado no X transformado sem constante. Conseguimos assim o mesmo
resultado se apenas transformássemos o y? E se apenas transformássemos X ?
Justifique sua resposta.
Questão 2
Um conjunto de dados consiste de n observações de Xn e yn. O estimador de
mínimos quadrados baseado nessas n observações é bn = (X 0nXn)−1X 0ny. Outro
conjunto de observações, xs e ys, é disponibilizado. Prove que o estimador de
mínimos quadrados calculado usando essas observações adicionais é:
bn,s = bn + [1/(1 + x0s(X
0
nXn)
−1xs)](X 0nXn)
−1xs(ys − x0sbn)
Note que o último termo é εs, o resíduo da predição de ys usando os coefi-
cientes baseados em Xn e bn. Conclua que o novo conjunto de dados muda o
resultado do estimador de mínimos quadrados se, e somente se, as novas obser-
vações não podem ser perfeitamente previstas usando a informação já disponível.
Questão 3
Considere o modelo de regressão:
yt = xtβ + εt, t = 1, ..., T
no qual xt é 1x1. Seja x = [x1, ..., xT ]0, ε = [ε1, ..., εT ]
0. Assuma que
E [ε | X] = 0 e que E [εε0 | X] = σ2I.
Ao longo desse problema derive os resultados condicionados em x. Seja
x¯ = 1/T
P
xt e defina y¯ similarmente.
1
a) Considere o estimador β∗ = y¯/x¯. Mostre que β∗ é linear e não viesado.
Calcule sua variância e compare com a variância do estimador de mínimos
quadrados.
b) Suponha que você decida usar as primeiras τ < T observações e rodar
M.Q.O.. Mostre que o estimador resultante β∗∗ é linear e não viesado, mas não
possui a menor variância.
c) Derive o estimador lineara com variância mínima (não necessariamente
não viesado).
Questão 4
Suponha que você tenha a seguinte especificação de regressão yi = x0iβ + εi,
a qual satistaz as hipóteses de Gauss-Markov. (Note que xi não é um escalar).
No entanto, ao invés dos dados originais i = 1, ..., N você tem J grupos de
diferentes tamanhos. O primeiro grupo tem 1 pessoa, o segundo grupo tem 2
pessoas, e o jth grupo tem j pessoas com
JP
j=1
j = N. Tudo que você tem são as
médias dos grupos: y¯j e x¯j .
a) Ache o estimador GLS e determine os pesos para estimar mínimos quadra-
dos ponderados.
b) Suponha que depois de você achar βˆGLS você calcula o R
2usual de GLS.
Você também estima por OLS a partir dos dados originais. Mas o R2 de GLS
é muito menor que o de OLS. O que você pode concluir? Você achou um
contraexemplo ao teorema de Gauss-Markov?
Questão 5
Considere o modelo yt = µ + εt, t = 1, ..., T , εt i.i.d., E [εt] = 0, V [εt] =
σ2 + δ2, cov [εt, εs] = δ
2 para s 6= t. O estimador eficiente de µ é GLS. Calcule
a eficiência relativa de OLS definida por
V (µˆOLS)
V (µˆGLS)
2