EAE325Lista6

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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 0325 - Econometria II
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
Lista de Exercícios 6 - Data de Entrega: 28/11
Você deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questão sem provar.
Questão 1
Considere o seguinte modelo de equações simultâneas:
Ct = α0 + α1yt + u1t
It = β0 + β1∆yt + u2t
yt ≡ Ct + It +Gt
Determine quais variáveis são endógenas e exógenas. Escreva as condições
de identificação das diferentes equações. Elas são sobreidentificadas, subidenti-
ficadas ou exatamente identificadas?
Questão 2
Considere o modelo de três equações:
y1 = β13y3 + γ12x2 + u1
y2 = β21y1 + β23y3 + γ21x1 + γ22x2 + u2
y3 = γ33x3 + u3
no qual y1, y2, y3 são endógenos e x1, x2, x3 são exógenos. Discuta a identifi-
cação de cada uma das equações do modelo baseado nas condições de ordem e
posto. Agora suponha que você queira estimar a primeira equação por míni-
mos quadrados em dois estágios, mas você tem apenas um progama de mínimos
quadrados ordinários disponível. Explique cuidadosamente, passo por passo,
como você estimaria β13, γ12 , var(u1).
Questão 3
Considere o modelo:
y1 = αy2 + δx+ u1
y2 = βy1 + γx+ u2
1
no qual x é exógeno e os termos de erro u1 e u2 tem média zero e não são
serialmente correlacionados.
a) Escreva as equações na forma reduzida expressando-as em termos dos
parâmetros estruturais.
b) Mostre que, se γ = 0, então β pode ser identificado. Os parâmetros α e
δ são identificados neste caso? Por quê?
c) No caso em que γ = 0, qual fórmula você usaria para estimar β? Qual a
variância assintótica do seu estimador de β?
Questão 4
Considere o seguinte modelo de regressão
y∗i = x
0
iβ + εi, i = 1, ..., n
no qual
εi|xi ∼ N (0, 1)
Todas as hipóteses usuais são satisfeitas. Entretanto, y∗i é uma variável
latente. Nós observamos somente
yi =
½
1 se y∗i ≥ 0
0 caso contrário
a) Derive a função de log verossimilhança lnL com base numa amostra de n
observações independentes e identicamente distribuídas.
b) Mostre que
H =
∂2 lnL
∂β∂β0
= −
nX
i=1
λi (λi + x
0
iβ)xix
0
i
para
λi =
qiφ (qix
0
iβ)
Φ (qix0iβ)
e
qi = 2yi − 1
c) Prove que
E
·
∂2 lnL
∂β∂β0
¯¯¯¯
X
¸
=
nX
i=1
λ0iλ1ixix
0
i
para
λ1i =
φ (x0iβ)
Φ (x0iβ)
2
e
λ0i =
−φ (x0iβ)
Φ (−x0iβ)
d) Derive a distribuição assintótica de βˆ
MLE
.
e) Derive a distribuição assintótica dos efeitos marginais γˆ = φˆ
³
x0iβˆ
´
βˆ.
f) Explique detalhadamente como você testaria a hipótese de que
β1 + β
2
2 = 0
Questão 5
Ache o sinal da derivada de V ar (Z|Z > C) com relação à C para os seguintes
modelos:
(a) Z ∼ N (0, 1)
(b) Z ∼ K1Z−α, K1 > 0, Z > K2 > 0, α > 2
(c) Z ∼ θe−Zθ, θ > 0, Z ≥ 0
(d) Z ∼ U (0, 1)
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