Algebra Linear 2

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ALGEBRA LINEAR II
P-1
August 2, 2021
Aldir Antonio de Vasconcellos Neto
Universidade Federal do Espírito Santo - UFES
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Aldir Antonio de Vasconcellos Neto Universidade Federal do Espírito Santo - UFES
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O operador linear P : E → E é uma projeção, se P 2 = P . Podemos demonstrar isso pegando
um vetor v ∈ E . Assim (I −P ) v = v −P v , estaria contido na imagem de (I −P ), isso implica
que v −P v estaria contido no nucleo de P , e então P (v −P v) = 0, ou seja, P v = P 2v . Assim,
podemos dizer que P é uma projeção.
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Chamando de w o vetor formado por |u|v +|v |u, notamos trivialmente que w esta no plano
que tem como vetores diretores u e v , afinal o conjunto {u, v, w} é L.D. E α e β os angulos
formados por w com u e v respectivamente. Podemos calcular α e β.
cosα= 〈w,u〉|w ||u| =
|u|〈v,u〉+ |v |〈u,u〉
|w ||u| =
〈v,u〉+ |v ||u|
|w | (1)
cosβ= 〈w, v〉|w ||v | =
|u|〈v, v〉+ |v |〈u, v〉
|w ||v | =
〈v,u〉+ |v ||u|
|w | (2)
de (1) e (2), podemos dizer que α=β, isso implica que w esta contido na bissetriz do angulo
formado por u e v .
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Pegando v ∈ E , podemos escrever v como uma combinação linear dos auto vetores de
A, afinal os auto vetores de A geram E . Assim, podemos ver que S ({vi }) é um subespaço
invariante por A, afinal, Avi =αvi ∀ i = {i ∈N|i > 0}, pelo enunciado podemos dizer tambem
que S ({vi }) é um subespaço invariante de B , ou seja, B vi = βvi ∀ i = {i ∈N|i > 0}. Agora
podemos calcular AB v e B Av .
AB v = AB (∑λi vi )= A (∑Bλi vi )= A (∑βi vi )=∑λiβiαi vi (3)
B Av = B A (∑λi vi )= B (∑ Aλi vi )= A (∑αi vi )=∑λiβiαi vi (4)
Como (3) e (4) são iguais, podemos dizer que AB = B A
Nota: esse lambda aparece quando definimos v ∈ E , como dito, v =λ1v1 +λ2v2 + ...+λn vn ,
onde esses vetores de 1 a n são os autovetores de A
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Para mostrar que o subespaço A das matrizes anti-simétricas é o complemento ortogonal
do subespaço S das matrizes simétricas em M (n ×n), basta mostrarmos que qualquer
elemento de um desses subespaçoes é ortogonal qualquer elemento do outro subespaço.
Pegando C como sendo uma matriz simetrica, e D como sendo uma ante-simetrica, temos
pela definição de porduto interno do enunciado que
〈C ,D〉 =∑
i j
ci j di j =
∑
i j
c j i
(−d j i )=−∑
i j
c j i d j i =−〈C ,D〉
Se 〈C ,D〉 =−〈C ,D〉, então 〈C ,D〉 = 0 logo, qualquer elemento de um conjunto é ortogonal a
qualquer elemento do outro.
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Escolhendo v ∈ Ei tal que Av =αi v , podemos notar que Ei é o auto-espaço de A que esta
associado com o autovalor αi . Como A e B comutam, temos:
v ∈ E −→ Av =αi v −→ A (B v) = B (Av) = B (αi v) =αi (B v) −→ B v ∈ Ei
Como B é auto-adjunto, existe uma base ortonormal de Ei formada por autovetores de B ,
que podemos ver que são tambem auto vetores de A pela equação acima. Podemos assim
encontrar uma base ortonormal, que são autovetores da matriz A e da matriz B simultanea-
mente.
Se existe uma base comum de auto vetores, então existe para A um α tal que, Avi = αi vi ,
onde vi é um vetor dessa base de auto vetores, o mesmo vale para B , onde B vi = βi vi , as-
sim podemos demonstrar a comutatividade, afinal, AB vi = A
(
βi vi
) = αiβi vi = βiαi vi =
B (αi vi ) = B (Avi ) = B Avi . Ou seja, AB = B A
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