Apontamentos de mat financeira - 2021 - Capitulo 1

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Matemática Financeira 
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A NECESSIDADE DE ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Todos os dias nos deparamos com as seguintes palavras: taxa de juros, capital, desconto, 
etc. Estes conceitos surgiram quando o Homem percebeu a existência de uma estreita 
relação entre o dinheiro e o tempo. 
 
Nos antigos costumes, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras 
conveniências emprestadas. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos 
costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. O 
primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocavam 
directamente mercadorias correspondentes a matérias-primas ou a objectos de grande 
necessidade. A primeira unidade de escambo admitida na Grécia foi o boi. Em outros 
lugares era usado colares de pérolas ou de conchas. Após certo período, começou-se por 
trocar faixas de tecido por animais ou objectos. O tecido era a moeda. No Egipto, a 
moeda era o metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata). Desse modo, as 
mercadorias passaram a ser trocadas em função de seu "justo preço". 
 
Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras, as moedas dos 
diferentes países eram trocadas. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram 
conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes 
quantidades. Tem início a actividade de guardar e emprestar dinheiro. Com isto, os 
bancos são criados. O primeiro banco privado foi fundado pelo Duque Vitali em 1157, 
em Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. 
Com a criação dos bancos a Matemática Financeira evoluiu e passou a estar mais 
presente na vida das pessoas. 
 
Hoje ela além de fazer parte de nosso quotidiano, tornou-se uma importante ferramenta 
para todos, já que auxilia na resolução de problemas que envolvem o cálculo do valor de 
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prestações, no pagamento de impostos, rendimento de poupanças e outros. Para tanto, é 
de fundamental importância o entendimento de alguns termos e conceitos. 
 
Formas de Aplicação ou Destino dos Rendimentos 
 
O rendimento que as pessoas dispõem pode ser destinado para o consumo ou aforro 
(poupança). 
 
O consumo consiste na compra de bens para o consumo final. 
 
O aforro consiste em manter na sua forma líquida ou colocar a render juros. A parte de 
rendimento que é mantida na sua forma líquida é designada por capital monetário e o 
processo de manter o capital a render juros é designada por investimento financeiro e o 
rendimento colocado a render juros por capital financeiro. 
 
O capital monetário ou rendimento mantido na sua forma líquida torna-se improdutivo, 
isto é, não produz rendimento adicional e o objectivo principal deste é suportar as 
despesas correntes. Esse processo de manter o rendimento improdutivo é designado por 
entesouramento. 
 
Objecto de Estudo 
 
O objecto de estudo da Matemática Financeira é o tratamento matemático do juro, as suas 
várias aplicações. 
 
O juro é o preço do capital financeiro, ou seja, é o custo pela utilização de recursos 
alheios. 
 
 
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Função Juro 
 
Refere-se a correspondência existente entre o juro e os elementos capital, tempo e taxa de 
juro. Indica as relações matemáticas existentes entre o juro e capital, tempo e taxa de 
juro. 
 
Juro como função de Capital 
 
Para cada variação do capital, mantendo constante o tempo e a taxa de juro, 
corresponderá a um determinado valor de juro. 
J = f (C) juro como função do capital 
 
A relação é positiva, ou seja, um aumento do capital corresponde a um aumento do valor 
do juro, e uma diminuição do capital corresponde a uma diminuição do valor do juro. 
 
Juro com função do Tempo 
 
Para cada variação do tempo, mantendo constante o capital e a taxa de juro, 
corresponderá um determinado valor de juro. 
J = f (T) juro como função do tempo 
 
A relação é positiva também, ou seja, um aumento do tempo corresponde a um aumento 
do valor do juro, e uma diminuição do tempo corresponde a uma diminuição do valor do 
juro. 
 
Juro como função da taxa de juro 
 
Para cada variação da taxa de juro, mantendo constante o capital e o tempo, 
corresponderá a um determinado valor de juro. 
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J = f (i) juro como função da taxa de juro 
 
A relação também é positiva, ou seja, um aumento da taxa de juro corresponde a um 
aumento do valor do juro, e uma diminuição da taxa de juro corresponde a uma 
diminuição do valor do juro. 
 
Juro com função de capital, tempo e taxa de juro 
 
Para cada variação simultânea do capital, tempo e a taxa de juro; corresponderá a um 
determinado valor de juro. 
 
J = f (C; T; i) 
 
A relação é positiva também, ou seja, um aumento simultâneo do capital, tempo e taxa de 
juro corresponde a um aumento do valor do juro, e uma diminuição do capital, tempo e 
taxa de juro corresponde a uma diminuição do valor do juro. 
 
Condições Básicas para a existência do juro 
 
Para que exista o juro é necessário que a existência de Capital, Tempo e Taxa de Juro; 
esses valores devem ser positivos e maiores que zero. 
 
Regras da Matemática Financeira1 
 
1. É uma impossibilidade em Matemática Financeira a presença de capital, presença 
de tempo e ausência de juro. A ausência de capital e tempo e presença de juro é 
outra impossibilidade. 
 
1 A Matemática Financeira rejeita certas práticas, mas há que reconhecer que a liberdade negocial entre 
partes, devidamente esclarecidas, é sempre mais forte que qualquer imperativo da matemática. 
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2. Qualquer operação matemática sobre 2 ou mais capitais requer a sua 
homogeneização no tempo. Ou seja, C1 + C2; C1 – C2; C1 = C2, etc, só pode fazer-
se se e só se esses capitais estiverem referidos ao mesmo momento, ou data focal 
(ou seja, quando esses capitais estiverem localizados no mesmo momento). 
3. O juro em cada período de capitalização é igual ao capital no início do período, 
multiplicado pela taxa de juro a vigorar nesse período. 
 
Processo de Capitalização 
 
Consiste em fazer render um determinado capital ao fim de um determinado período. Um 
processo de capitalização é composto por vários sub-processos de capitalização também 
designados por períodos de capitalização (ou períodos de formação de juro). 
 
Em cada sub-processo de capitalização (período de capitalização), encontramos o capital 
inicial periódico, juro periódico e o capital final periódico. 
 
O capital inicial periódico é o rendimento colocado a render juros; o juro periódico é o 
rendimento produzido num determinado período e o capital final periódico é a soma do 
capital inicial periódico e o juro periódico. 
 
Se considerarmos CIK como capital inicial do período K e JK o juro do período K e CFK o 
capital final do período, então:CFK = CIK + JK 
Onde: K = 1,2,3....n 
 
 CIk CFk 
 
 
 Jk 
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No período k (ou qualquer outro período), o capital final desse período (CFk) será igual 
ao capital no início desse período (CIk) mais o juro produzido nesse período (Jk). 
 
 
Casos notáveis de Processos de Capitalização 
 
O juro periódico produzido pode manter-se no processo ou retirado do processo, daí que 
existem dois casos notáveis: 
− 1º- Os juros periódicos saem do processo- aqui o capital inicial periódico 
permanece o mesmo e o juro periódico será constante se a taxa de juro for a 
mesma ao longo do processo. Este tipo de processo é designado por processo de 
capitalização simples. 
− 2º- Os juros periódicos permanecem no processo- aqui os juros periódicos 
permanecem no processo e tem efeitos na produção de outros juros. O capital 
inicial periódico será composto por capital mais juro. Este tipo de processo é 
designado por processo de capitalização composto. Os capitais iniciais periódicos 
são diferentes e crescentes e os juros periódicos também crescentes. 
 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
- Regime de Capitalização Simples; 
- Regime de Capitalização Composto; 
- Regime de Capitalização Dito Simples; 
- Regime Misto. 
 
 
 
 
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Regime de Capitalização simples – Característica Principal 
 
✓ O juro produzido por período sai do processo de capitalização e como 
consequência o capital mantém-se constante em cada período de capitalização e 
igual ao investido no início do processo. 
 
CI1=C0 CI2=CF1=C0 CI3=CF2=C0 CIn=CFn-1=C0 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como o J1 sai do processo, ou seja, é retirado, então: CF1 = CI1 
Ou seja: CF1 = C0 que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2 = C0) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como o J2 sai do processo, ou seja, é retirado, então: CF2 = CI2 
Ou seja: CF2 = C0 que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3 = C0) 
 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como o J3 sai do processo, ou seja, é retirado, então: CF3 = CI3 
Ou seja: CF3 = C0 que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = CI4 = C0) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
No último período o Jn sai do processo juntamente com o capital, ou seja, é retirado 
juntamente com o capital inicial, então: CFn = CIn + Jn 
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Conclusão: 
 
✓ Em cada período de capitalização, o capital mantém-se constante em cada período 
de capitalização e igual ao investido no início do processo: 
 
CI1 = CI2 = CI3 = CI4 = ...... = CIn 
 
✓ Em cada período de capitalização, o juro é constante e incide sobre o capital 
investido no início do processo: 
 
J1 = J2 = J3 = J4 = ..... = Jn= CI*i = C0*i 
 
✓ O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro final do processo 
(ou seja, o juro do último período): 
 
CFn = CI + JF, onde JF = juro do último período 
 
Como o juro periódico é igual em todos os períodos: 
 
JF = JK = CI*i = C0*i 
 
Então, o capital final será dado pela seguinte fórmula: 
 
CFn = CI + CI*i → CF = CI (1+i) = C0 (1+i) 
 
 
 
 
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EXEMPLO: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros a 
uma taxa de juro anual de 20%, com os juros pagos no final de cada ano. Determine: 
 
a) O montante recebido no 1 e 4 ano; 
b) O montante recebido no 5 ano. 
c) O juro acumulado produzido ao longo do processo. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Como os juros são pagos no final de cada ano, então estamos perante o regime de 
capitalização simples, pois os juros são do processo de capitalização periodicamente, ou 
seja, anualmente. 
 
a) O montante recebido em cada período de capitalização é o juro produzido 
nesse período. Assim sendo, é necessário calcular o juro do primeiro e do 
quarto ano: 
J1 =J4= CI*i=100.000*20%=20.000 
b) O montante recebido no 5º ano (último período/ano) é o capital final, ou seja: 
CF = CI (1+i)=100.000 (1+20%)=120.000 
c) Não é possível determinar o juro acumulado porque este regime não acumula. 
 
 
 
 
 
 
 
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Regime de Capitalização composto – Característica Principal 
 
✓ Neste regime os juros não saem do processo de capitalização, mantém-se no 
processo e constituem uma nova parcela para efeitos de cálculo do juro do 
período seguinte. 
 
CI1=C0 CI2=CF1 CI3=CF2 CIn=CFn-1 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como o J1 não sai do processo, ou seja, é capitalizado, então: CF1 = CI1 + J1 
Como J1 = CI1*i = C0*i, então: 
CF1 = CI1 + CI1*i = C0 + C0*i = C0(1+i) 
Ou seja: CF1 = C0(1+i) que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como o J2 não sai do processo, ou seja, é capitalizado, então: CF2 = CI2 + J2 
Como J2 = CI2*i e CI2 = CF1, então: 
CF2 = CI2 + CI2*i = CF1 + CF1*i = CF1(1+i) 
Como CF1 = C0(1+i), então: 
CF2 = CF1(1+i) = [C0(1+i)](1+i) = C0(1+i)
^2 
Ou seja: CF2 = C0(1+i)
^2 que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3) 
 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como o J3 não sai do processo, ou seja, é capitalizado, então: CF3 = CI3 + J3 
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Como J3 = CI3*i e CI3 = CF2, então: 
CF3 = CI3 + CI3*i = CF2 + CF2*i = CF2(1+i) 
Como CF2 = C0(1+i)
^2, então: 
CF3 = CF2(1+i) = [C0(1+i)
^2](1+i) = C0(1+i)^3 
Ou seja: CF3 = C0(1+i)
^3 que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = CI4) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
Mas, como o Jn sai do processo juntamente com o capital/saldo em dívida, então: CFn = 
CIn + Jn 
Como Jn = CIn*i e CIn = CFn-1, então: 
CFn = CIn + CIn*i = CFn-1 + CFn-1*i = CFn-1(1+i) 
Como CFn-1 = C0(1+i)
^n-1, então: 
CFn = CFn-1(1+i) = [C0(1+i)
^n-1](1+i) = C0(1+i)^n 
Ou seja: CFn = C0(1+i)
^n que não será o capital inicial do período seguinte porque não 
existe período seguinte (é o último período). 
 
Conclusão: 
 
✓ Os capitais periódicos não são iguais, diferente do regime simples. O capital 
inicial do período é igual ao capital final do período anterior: 
 
CI1 ≠ CI2 ≠ CI3 ≠……≠ CIn ou seja, CIk = CFk-1 
 
✓ O juro produzido em qualquer período é diferente do juro produzido no período 
anterior: 
 
J1 ≠J2 ≠ J3 ≠ ........ ≠ Jn 
 
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✓ O juro periódico incide sobre o capital em dívida no início desse período (que é o 
capital final do período anterior): 
 
Jk = CIk * i = CFk-1 * i = C0(1+r)^
k-1 * i 
 
✓ Os juros produzidos ao longo do processo são entregues juntamente com o capital 
inicial no final do processo, isto é, o capital final do processo é igual ao capital 
inicial + o juro total produzido durante o processo. 
 
CFn = C0 + JT 
 
✓ O juro total é igual a diferença entre o capital final do processo e o capital inicial 
do processo: 
 
JT = CFn – C0 = C0 (1+i)
n – C0 = C0 [(1+i)
n – 1] 
 
✓ O capital final do processo é composto por 3 parcelas, o capital inicialmente 
investido, o juro produzido com base no capital inicialmente investido e o juro 
produzido pelo juro capitalizado (juro do juro). O juro do juro é igual ao capital 
final menos capital inicial e menos a soma dos juros produzidos somente com 
base em capital inicial, ou seja: 
 
JJ = Cn – C0 – n * C0 * i. 
 
Por exemplo, no período 2 acima, o J2 = CI2*r, mas como CI2 = CF1 = C0+J1, 
então: J2 = (C0+J1)*i = C0*r + J1*i. 
 
Aqui temos i. juros que são calculados com base em capital inicial (C0*i) e ii. 
juros que são calculados com base em outro juro (J1*i). 
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Assim, o juro sobre juro no período 2 (JJ2) = J2 – C0*i (ou seja, será igual ao juro 
produzido no 2 periodo, retirado o juro calculado apenas com base no capital 
inicial). 
 
EXEMPLO 1: Num empréstimo de MT 200.000,00, pelo prazo de 6 anos, foi acordada 
uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Determine: 
 
a) O juro produzido no 1 e 3 ano; 
b) O juro acumulado no final do empréstimo; 
c) O capital acumulado no final do empréstimo; 
d) O juro sobre juro. 
 
RESULUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15% composto 
a) Jk = CIk*i = CFk-1*i  J1 = CI1*i = 200.000*15% = 30.000 
J3 = CI3*i = CF2*i = Co(1+i)
2*i = 200.000(1+15%)2*15% = 39.675 
O juro do período k é igual ao capital final do período anterior (k-1) multiplicada pela 
taxa de juro do período k. 
b) JT = Co [(1+i)n -1] = 200.000 [(1+15%)6 -1] = 262.612,1531 
O juro acumulado no final do empréstimo é igual ao capital acumulado no final (Cn) 
subtraída pelo capital no início do empréstimo (Co). 
c) CF = Co + JT = 200.000+262.612,1531 = 462.612,1531 ou 
CF = Co(1+i)n = 200.000(1+15%)6 = 462.612,1531 
O capital final é igual ao capital inicial adicionado ao juro acumulado no final do 
empréstimo. 
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d) JJ = JT – C0 – n*C0*i = 462.612,1531 – 200.000 – 6*200.000*15% = 
462.612,1531 – 200.000 – 180.000 = 82.612,1531 
EXEMPLO 2: Um indivíduo depositou, por 10 anos, MT 40.000,00 numa instituição de 
poupança que remunerava a taxa anual composta de 15%. Sabendo que passados 4 anos, 
aquela taxa foi alterada para 20% e a partir do 7 ano para 25%, afectando então todo o 
capital acumulado. Determine: 
 
a) O montante recebido no final da aplicação; 
b) O juro produzido no 5 ano; 
c) O juro produzido no 8 ano. 
 
RESULUÇÃO: Dados: Co = 40.000, i1 = 15%, n = 10, i2 = 20%, i3 = 25% 
a) Neste exercício, como estamos na presença de várias taxas de juros, 
primeiro devemos determinar o valor acumulado nos primeiros 4 anos 
em que vigora a taxa de 15%: CF4 = Co(1+15%)
4; 
Depois temos que calcular o valor acumulado nos 2 anos seguintes em 
que vigora a taxa de 20%. No entanto, valor inicial deste período (2 
anos) é igual ao valor final dos primeiros 4 anos, assim: CI = 
Co(1+15%)4. 
CF6 = CI(1+20)
2 = Co(1+15%)4(1+20%)2 
Por fim, temos que calcular o valor acumulados dos últimos 4 anos, 
em que vigora a taxa de 25%. O valor inicial deste último período (4 
anos) é igual ao valor final dos primeiros 6 anos, assim CI = 
Co(1+15%)4(1+20%)2. 
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CF10 = CI(1+25%)
4 = Co(1+15%)4(1+20%)2(1+25%)4 = 
40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)4 = 245.954,0039 
b) J5 = CF4*i2 = 40.000(1,15)4*20% = 13.992,05 
c) J8 = CF7*i3 = 40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)*25% = 31.482,1125 
 
Regime de capitalização “dito simples” – características 
 
É um processo convencional, sem sustentação teórica, e que mais se pratica dada a 
facilidade de entendimento, mesmo por pessoas pouco versadas em matemática 
financeira. Contém em si características que são relativas ao regime simples e outras que 
são relativas ao regime composto. 
 
- O capital inicial de qualquer período é igual ao capital final do período anterior: 
CIK = CFK-1 (características do regime composto); 
- O juro de qualquer período incide sobre o capital investido no início do processo: 
JK = C0 * i (características do regime simples), “violando” a 3ª regra da 
matemática financeira já referida, fazendo com que não se produzam os juros de 
juros; 
 
CI1=C0 CI2=CF1 CI3=CF2 CIn=CFn-1 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como o J1 não sai do processo, então: CF1 = CI1 + J1 
Como J1 = C0*i, então: 
CF1 = CI1 + C0*i = C0 + C0*i = C0(1+i) 
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Ou seja: CF1 = C0(1+i) que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como o J2 não sai do processo, então: CF2 = CI2 + J2 
Como J2 = C0*i e CI2 = CF1 = C0(1+i), então: 
CF2 = CF1+ C0*i = C0(1+i) + C0*i = C0(1+i+i) = C0(1+2*i) 
Ou seja: CF2 = C0(1+2*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3) 
 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como o J3 não sai do processo, então: CF3 = CI3 + J3 
Como J3 = C0*i e CI3 = CF2 = C0(1+2*i), então: 
CF3 = CF2+ C0*i = C0(1+2*i) + C0*i = C0(1+2*i+i) = C0(1+3*i) 
Ou seja: CF2 = C0(1+3*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = CI4) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
Mas, como o Jn sai do processo juntamente com o saldo em dívida, então: CFn = CIn + Jn 
Como Jn = C0*i e CIn = CFn-1=C0[1+(n-1)*i], então: 
CFn = CFn-1 + C0*i = C0[1+(n-1)*i] + C0*i = C0[1+(n-1)*i + i] = C0(1+n*i) 
Ou seja: CFn = C0(1+n*i) que não será o capital inicial do período seguinte porque não 
existe período seguinte (é o último período). 
 
Conclusão: 
 
Os capitais periódicos não são iguais, igual ao regime composto e diferente do 
regime simples. O capital inicial do período é igual ao capital final do período 
anterior: 
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CI1 ≠ CI2 ≠ CI3 ≠……≠ CIn ou seja, CIk = CFk-1 
 
✓ Os juros produzidos periodicamente são iguais e são todos calculados sobre o 
capital inicialmente investido (igualao regime simples): 
 
J1 = J2 = J3 = ........ = Jn 
 
✓ O juro periódico incide sobre o capital inicialmente investido: 
 
Jk = C0 * i 
 
- O juro total do processo é igual a pura soma dos juros produzidos ao longo do 
processo: JT = ∑ C0*i = n * C0 * i 
 
- O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro total: CFn = Cn = 
C0 + n * C0 * i = C0 (1 + n * i) 
 
- Quando são dadas várias taxas ao longo do processo de capitalização: CFn = Cn = 
C0 + J1 + J2 + J3 + Jn = C0 + C0*i1 + C0*i2 + C0*i3 +...+ C0*in = 
= C0 (1 + i1 + i2 + i3 +....+ in) 
 
EXEMPLO: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros a 
uma taxa de juro anual de 20%, com os juros (sem juros de juros) pagos no final da 
aplicação. Determine: 
 
a) O montante recebido no 1 e 4 ano; 
b) O montante recebido no 5 ano. 
c) O juro acumulado produzido ao longo do processo. 
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d) Os juros de juros produzidos ao longo do processo. 
e) O montante recebido no 5 ano, considerando que no primeiro ano vigorou 
a taxa de 20%, no segundo 21%, terceiro 22%, quarto 24% e no quinto 
ano 25%. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Não é possível determinar o montante recebido periodicamente uma vez 
que neste regime os juros são acumulados e entregues no final do 
processo. 
b) O montante recebido no 5 ano (último período) é o capital final, ou seja: 
CF = CI (1+n*r) =100.000 (1+5*20%) =200.000. 
c) JT = n * C0 * r = 5*100.000*20%=100.000,00. 
d) Neste regime não há lugar a produção de juros de juros. 
e) CF= C0 (1 + r1 + r2 + r3+..+rn)=100.000*(1+21%+22%+23%+24%+25%)= 
 = 215.000 
 
Regime misto – Características 
 
É uma situação em que ou funcionam os regimes composto e simples em simultâneo ou 
funcionam os regimes dito simples e simples em simultâneo. Implica que uma parte de 
juros seja retirado do processo e o remanescente seja recapitalizado ou simplesmente 
acumulado. 
 
 
 
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Duas hipóteses podem acontecer neste tipo de regime: 
 
1. Tratar-se de levantamento de uma parte de juros e a parte remanescente ser 
recapitalizado ou acumulado; o processo continuará até ao penúltimo período 
e sendo que no último período levantar-se-á a totalidade dos juros juntamente 
com o montante acumulado no início desse último período. 
 
2. Tratar-se de pagamento de imposto pela retenção na fonte – implica que 
apenas serão recapitalizados ou acumulados uma parte de juros até ao final do 
processo de capitalização. 
 
Se considerarmos: 
α – percentagem dos juros pagos/retirados (que saem do processo); e 
β – percentagem dos juros remanescentes (retidos/mantidos no processo) 
α + β = 1 ou α + β = 100% 
 
Fórmulas para a 1ª Hipótese: 
 
Regime Composto, com pagamentos periódicos de parte de juros 
Cn = C0 (1 + β*r)
n-1*(1+r) Capital Final 
JK = C0 (1 + β*r)
k-1* r Juro Periódico Produzido 
JKα = α * C0 (1 + β*r)
k-1* r Juro Periódico Pago 
JKβ = β * C0 (1 + β*r)
k-1* r Juro Periódico Retido 
 
Graficamente (regime composto com pagamento parcial de juros): 
 
CI1=C0 CI2=CF1 CI3=CF2 CIn=CFn-1 
 
 
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 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como do J1 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J1” é retirado) então só 
ficará “β*J1”, assim: CF1 = CI1 + β*J1 = C0 + β*C0*i = C0(1+ β*i) 
Ou seja: CF1 = C0(1+ β*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como do J2 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J2” é retirado) então só 
ficará “β*J2”, assim: CF2 = CI2 + β*J2 
Como CI2 = CF1 = C0(1+ β*i), e J2 = CI2*i=CF1*i = C0(1+ β*i) * i, então: 
CF2 = C0(1+ β*i) + β*C0(1+ β*i)*i = C0(1+ β*i)(1+ β*i) = C0(1+ β*i)
^2 
Ou seja: CF2 = C0(1+ β*i)
^2 que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3) 
 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como do J3 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J3” é retirado) então só 
ficará “β*J3”, assim: CF3 = CI3 + β*J3 
Como CI3 = CF2 = C0(1+ β*i)
^2, e J3 = CI3*i=CF2*i = C0(1+ β*i)
^2 * i, então: 
CF3 = C0(1+ β*i)
^2 + β*C0(1+ β*i)^2 *i = C0(1+ β*i)^2(1+ β*i) = C0(1+ β*i)^3 
Ou seja: CF3 = C0(1+ β*i)
^3 que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = CI4) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
Mas, como o Jn sai do processo juntamente com o capital/saldo em dívida, então: CFn = 
CIn + Jn 
Como Jn = CIn*i (no último período não pagamento parcial do juro) e CIn = CFn-1, então: 
CFn = CIn + CIn*i = CFn-1 + CFn-1*i = CFn-1(1+i) 
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Como CFn-1 = C0(1+ β*i)
^n-1, então: 
CFn = CFn-1(1+i) = [C0(1+ β*i)
^n-1](1+i) = C0(1+ β*i)^n-1(1+i) 
Ou seja: CFn = C0(1+ β*i)
^n-1(1+i) que não será o capital inicial do período seguinte 
porque não existe período seguinte (é o último período). 
 
Regime Dito Simples, com pagamentos periódicos de parte de juros 
Cn = C0 [1 + (n-1)β*r+r] Capital Final 
JK = C0*r Juro Periódico Produzido 
JKα= C0*r*α Juro Periódico Pago 
JKβ= C0*r*β Juro Periódico Retido 
 
Graficamente (regime dito simples com pagamento parcial de juros): 
 
CI1=C0 CI2=CF1 CI3=CF2 CIn=CFn-1 
 
 
 No período 1 No período 2 No período 3 No período “n” 
 
No período 1: 
CF1 = CI1+J1 
Mas, como do J1 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J1” é retirado) então só 
ficará “β*J1”, assim: CF1 = CI1 + β*J1 = C0 + β*C0*i = C0(1+ β*i) 
Ou seja: CF1 = C0(1+ β*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF1 = CI2) 
 
No período 2: 
CF2 = CI2+J2 
Mas, como do J2 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J2” é retirado) então só 
ficará “β*J2”, assim: CF2 = CI2 + β*J2 
Como CI2 = CF1 = C0(1+ β*i), e J2 = β*C0*i, então: 
CF2 = C0(1+ β*i) + β*C0*i = C0(1+ β*i + β*i) = C0(1+ 2*β*i) 
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Ou seja: CF2 = C0(1+ 2*β*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF2 = CI3) 
No período 3: 
CF3 = CI3+J3 
Mas, como do J3 uma parte dos juros são retirados (ou seja, “α*J3” é retirado) então só 
ficará “β*J3”, assim: CF3 = CI3 + β*J3 
Como CI3 = CF2 = C0(1+ 2*β*i), e J3 = β*C0*i, então: 
CF3 = C0(1+ 2*β*i) + β*C0*i = C0(1+ 2*β*i + β*i) = C0(1+ 3*β*i) 
Ou seja: CF2 = C0(1+ 3*β*i) que será o capital inicial do período seguinte (CF3 = C4) 
 
No período “n”: 
CFn = CIn+Jn 
Mas, como o Jn sai do processo juntamente com o saldo em dívida, então: CFn = CIn + Jn 
Como Jn = C0*i e CIn = CFn-1=C0[1+ β*(n-1)*i], então: 
CFn = CFn-1 + C0*i = C0[1+ β*(n-1)*i] + C0*i = C0[1+ β*(n-1)*i + i] 
Ou seja: CFn = C0[1+ β*(n-1)*i + i]que não será o capital inicial do período seguinte 
porque não existe período seguinte (é o último período). 
 
Fórmulas para a 2ª Hipótese: 
 
Nesta hipótese apenas a fórmula de cálculo do capital final (ou acumulado) é que muda, o 
resto mantém-se inalterado, ou seja: 
 
Cn = C0 (1+ β*r)
n para o Regime Composto, com pagamentos periódicos de parte de juros 
Cn = C0 (1 + nβ* r) para o Regime Dito Simples, com pagamentos periódicos de parte de 
juros 
 
EXEMPLO: Num empréstimo de MT 200.000,00 pelo prazo de 6 anos, foi acordada 
uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Considerando que 
30% dos juros periódicos saem do processo, sendo a restante capitalizada, determine: 
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a) O juro produzido no 1 e 4 ano; 
b) O juro pago no 1 e 4 ano; 
c) capital acumulado no final do empréstimo 
 
 
RESOLUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15%, α = 30%, β = 70% 
a) Jk = Co(1+β*i)k-1*i 
 J1 = Co(1+0,7*15%)
1-1*15% = Co*15% = 200.000*15% = 30.000 
J4 = Co(1+0,7*15%)
4-1*15% = 200.000(1+0,7*15%)3*15% = 
40.476,98 
Aqui pretende-se determinar o montante de juro produzido periodicamente (a soma do 
juro pago e o juro retido). 
b) J1pago = α* J1produzido = 30%*30.000 = 9.000 
J4pago = 30%*J4produzido = 30%*40.476,98 = 12.143,09 
Neste caso, pretende-se saber o valor do juro que foi pago, ou seja, do montante de juro 
produzido qual o montante que foi pago no primeiro e no quarto ano. 
c) CF6 = CI6+Jult = CI6+CI6*i = CF5+CF5*i = Co(1+β*i)5+Co(1+β*i)5*i = 
Co(1+β*i)5(1+*i) = 200.000(1+0,7*15%)5(1+15%) = 378.912,7562 
 
 
 
 
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NOTA1: 
Para se determinar o capital final (ou acumulado) neste regime misto é necessário 
considerar que em todos os períodos (excepto o último), a taxa de juro será 
multiplicada pela percentagem dos juros que ficam retidos no processo (β). No 
último período, o juro é calculado com base na totalidade da taxa de juro. 
 
Regimes de Capitalização – Quadro Resumo 
 
 Simples Composto Dito simples 
CIK C0 CFK-1 CFK-1 
JK C0 * i CIK * i C0 * i 
CFn C0 (1+i) C0 (1+i)
n C0 (1+n*i) 
JT ------- C0 [(1+i)
n-1] C0 * n * i 
JJ ------- Cn - C0 - C0 * n * i -------- 
 
 
NOTA2: 
 n, i (ou seja, o tempo e a taxa de juro) devem vir expressos na mesma 
unidade de tempo que é o período de capitalização, ou seja, se período de 
capitalização for mensal, n e i, deverão vir expressos em meses (ou seja, 
devem ser convertidos para meses); se o período de capitalização for anual, n 
e i, deverão vir expressos em anos (ou seja, devem ser convertidos para anos). 
 Cálculo do juro quando o tempo vem dado em dias (e a taxa de juro é anual): 
J = 
365
r *t *C0 , onde n = 
365
t
 para o ano civil e dividir por 360 para o ano 
comercial 
 
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 Cálculo do juro quando o tempo vem dado em meses (e taxa de juro é anual): 
J = 
12
r *t *C0 , onde n =
12
t
 
 Deve-se utilizar o ano comercial (360) somente quando for indicado, pois que, 
nos casos em que nada se diz, utiliza-se o ano civil (365). 
 
NOTA 3: 
 
 Na presença de um exercício, o primeiro passo será identificar o período de 
capitalização (ou seja, o período de formação de juros). ESTE DEVE SER O 
NOSSO PRIMEIRO DADO. 
 Para este primeiro capítulo, se não nos derem o período de capitalização, 
subentende-se que este coincide com o período da taxa de juro, ou seja, se a 
taxa de juro for anual o período de capitalização será anual, se for trimestral 
o período de capitalização também será trimestral. 
 Se não nos derem o período da taxa de juro, subentende-se que o período é 
anual.