Distribuição Binominal

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Distribuição Binominal(Bernoulli) e suas aplicações.
Use a distribuição Bernoulli quando um processo aleatório tiver exatamente dois resultados — evento ou não-evento. Por exemplo, no campo de qualidade, um produto pode ser classificado como bom ou ruim.
As variáveis de Bernoulli podem assumir dois valores numéricos 0 ou 1, em que 1 corresponde a um evento e 0 corresponde a um não evento. Uma variável aleatória X segue uma distribuição de Bernoulli se, P(X = 1) = p and P(X = 0) = 1 – p, em que p é a probabilidade de ocorrência de um evento.
A distribuição de Bernoulli é uma distribuição discreta que está relacionada com várias distribuições, como a distribuição binomial, geométrica e binomial negativas. A distribuição de Bernoulli representa o resultado de um ensaio. As sequências de ensaios independentes de Bernoulli geram as outras distribuições — a distribuição binomial modela o número de sucessos em n ensaios, a distribuição geométrica modela o número de falhas antes do primeiro sucesso e a distribuição binomial negativa modela o número de falhas antes do xo sucesso.
Este gráfico mostra uma distribuição binomial que tem um ensaio e uma probabilidade de evento de 0,15. Uma distribuição binomial com 1 ensaio é o mesmo que uma 
Distribuição de Bernoulli
.
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa.
2. O aluno passa ou não em MPIE;
3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas
Genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. Associaremos p, a
Probabilidade de sucesso, ao evento que nos interessa e 1-p, será a
Probabilidade de fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma
V.A. com distribuição de Bernoulli.3
Distribuição de Bernoulli
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1
Se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com
Probabilidade de sucesso p, isto é,
1, se ocorrer “sucesso”
 X=
0, se ocorrer “fracasso”
 E sua função de probabilidade é dada por:
	
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com
Parâmetro p
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X)=p e Var(X)=p(1-p).	
DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL.
Exemplo 2: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e a probabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.
Denotemos:S: sucesso, ocorrer cara (k) 
F:fracasso, ocorrer coroa(c)
P(sucesso)=	P(fracasso)=
={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Xi	é uma variável aleatória Bernoulli. (i=1,2,3).
X	é o número de caras.
DAI TEMOS
P ( X = 0)= P({FFF}) =
 P ( X=1) = P({FFS, FSF, SFF}) =
 P ( X= 2) = P({FSS, SFS, SSF}) = 
 P ( X=3) = P({SSS})= 
A função de probabilidade da v.a. X é dada por:
X 0 1 2 3
	P(X = x) 
P(X = x) = 3
	X px (1-p)3-x , x = 0,1.2.3 onde 3 =	3!
	 0 C. C	X	x!( 3 –x )!