Relatório F 129 - Estudo de Crateras e Lei de Escala

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Estudo de Crateras: Lei de Escala 
Genario Neves Alves, 235405; Héberson Lucas Soares de Barros, 217627; Matheus de 
Oliveira Gomes, 185127; Turma 6, F 129. 
Introdução: No seguinte experimento, irá dispor-se uma análise sobre as formações de crateras 
derivadas das colisões de uma esfera com areia, discutindo os diâmetros de cada cratera formada 
pelos impactos e a energia cinética da esfera no momento de cada colisão. Estudando os dados 
efetivos a partir da lei de escala, as particularidades da comparação entre as previsões teóricas e o 
tratamento experimental do fenômeno serão apuradas. 
Objetivo: O propósito medular do experimento é descrever equacionalmente a relação entre os 
diâmetros das crateras com a energia cinética da esfera no momento da colisão, tal como indicar se 
a dissipação de energia da esfera se dá através do mecanismo de deformação da areia ou ejeção de 
material. 
Materiais e métodos: No experimento utilizou-se uma esfera constituída por vidro, cuja massa 
fora determinada por uma balança digital. Após abandoná-la de diferentes alturas, medidas por uma 
trena, com o auxílio de um paquímetro, mediu-se os diâmetros das crateras, proporcionadas pelas 
colisões com areia seca, contida em uma caixa plástica. 
Resultados: Para as diferentes alturas de lançamento, foram calculados os valores de energia 
cinética correspondentes. Com isso, tornou-se possível elaborar uma tabela relacionando as duas 
grandezas, bem como a análise gráfica dos entes, confluindo nas figuras 1 𝑒 2 que expressam 
gráficos 𝐸 𝑥 𝐷, sendo o primeiro em escala linear, e o segundo um gráfico log-log. O primeiro 
gráfico permite concluir que a relação entre as grandezas, de fato, constitui uma função potência, 
de expoente 𝑛 ∈]0,1[. O segundo permite estabelecer uma lei de escala entre as medidas, na forma 
𝐷 = 𝑘. 𝐸𝑛, com 𝑛, 𝑘 sendo constantes tais que 𝑘 = 0,095 𝑚/𝐽𝑛 ∧ 𝑛 = 0,20 . Claramente, fica 
estabelecida a lei de escala𝐷 = 0,095. 𝐸0,20,tendo assim a relação matemática entre o diâmetro da 
cratera e sua energia cinética no momento da colisão. 
Discussão: Como 𝑛 = 0,20,o expoente da lei escala está em melhor concordância com o fenômeno 
de ejeção de material, pois este é caracterizado por ter um expoente𝑛 = 1/4, em oposição ao 
processo de deformação da areia, que possui um expoente𝑛 = 1/3 (𝐴𝑀𝐴𝑇𝑂 𝑒 𝑊𝐼𝐿𝐿𝐼𝐴𝑁𝑆,1998). 
Com isso, fora possível expressar a energia liberada no impacto que gerou a cratera 𝐶ℎ𝑖𝑐𝑥𝑢𝑙𝑢𝑏, 
tendo um valor 𝐸 = 1,97.1027 𝐽, aproximadamente 3940 vezes maior que o valor realmente 
admitido 𝐸 = 5.1023 𝐽 (𝑀𝑂𝑅𝐺𝐴𝑁, 1997). Tal deriva, principalmente, das incertezas nas medições 
de 𝑘 𝑒 𝑛, uma vez que [𝑘] = [𝑚]/[𝐽𝑛] ∧ 𝑛 = 𝐿1/𝐿2, ocorrendo incertezas instrumentais no 
cálculo da massa da esfera (balança digital) e altura de lançamento (trena), que influem diretamente 
no valor de 𝑘. Para 𝑛, além dos parâmetros citados para 𝑘, temos a confecção manual e a estimativa 
da reta ao gráfico log-log, que convergem numa imprecisão no valor de 𝐿1 𝑒 𝐿2.Além disso, a 
própria cratera, em si, possui disparidades derivadas de processos geológicos naturais, e de 
processos artificiais oriundos da ação humana. Por fim, a particular medição do diâmetro da cratera, 
possui incertezas. Com tal estabelecido, fica claro a razão das incongruências numéricas tidas. 
Conclusão: Como desenvolvido, a relação matemática entre o diâmetro da cratera e a energia 
dissipada na colisão com areia segue um padrão que pode ser descrito pela lei de potência 𝐷 =
0,095. 𝐸0,20. Ejeções de materiais são caracterizadas por possuírem expoente 𝑛 = 1/4, enquanto 
deformações de areia possuem expoente 𝑛 = 1/3.Como 𝑛 = 0,20, claramente, o mecanismo de 
dissipação de energia presente no experimento é mais coerente com o de ejeção de material. 
 
 
 
 
Anexo 1 
 
Material Vidro 
Massa (kg) 0,0111 
Diâmetro (m) 0,021 
 Tabela 1: Informações sobre a esfera utilizada no experimento. 
 
Altura h (m) Diâmetro da cratera D (m) 
0,05 0,029 
0,1 0,0336 
0,25 0,0443 
0,5 0,0513 
1 0,0591 
2,5 0,0728 
3,7 0,0773 
 Tabela 2: Relação entre a altura de lançamento da esfera de vidro e o diâmetro da 
cratera formada por ela. 
 
Anexo 2 
 
 Considerando que, no momento anterior ao lançamento, toda energia presente no 
sistema se encontrava na forma de Energia Potencial Gravitacional (𝐸𝑝), no momento em 
que a esfera é lançada toda essa energia se converte em Energia Cinética (𝐸𝑐). Ou seja, 
𝐸𝑝 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ = 𝐸𝑐, onde 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 (𝐾𝑔), 𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (𝑚/
𝑠2), ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠). 
 Desse modo, os valores de Energia Cinética para cada altura de lançamento h estão 
exibidos na Tabela 3. Para isso, foi considerado 𝑚 = 0,0111 𝑘𝑔e 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2. Com esses 
dados, foi confeccionada a Tabela 4, que contém os valores da Energia Cinética para cada 
diâmetro da cratera D. 
 
Altura h (m) Energia Cinética (J) 
0,05 0,005439 
0,1 0,010878 
0,25 0,027195 
0,5 0,05439 
1 0,10878 
 
 
2,5 0,27195 
3,7 0,402486 
 Tabela 3: Relação entre as alturas de lançamento h da esfera de vidro e 
correspondente energia cinética 𝐸𝑐. 
 
Energia Cinética (J) Diâmetro D da Cratera (m) 
0,005439 0,029 
0,010878 0,0336 
0,027195 0,0443 
0,05439 0,0513 
0,10878 0,0591 
0,27195 0,0728 
0,402486 0,0773 
 Tabela 4: Relação entre a energia cinética 𝐸𝑐 da esfera de vidro e o diâmetro D da 
cratera correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo 3 
 A partir dos dados da Tabela 4 confeccionou-se o gráfico do diâmetro D da cratera 
em função da energia cinética 𝐸𝑐calculada em escala linear. O gráfico está exibido na 
Figura 1. 
 
 
 Figura 1: Gráfico que relaciona os diâmetros D das crateras e a energia cinética 
correspondente da esfera de vidro. 
 
 
 
 
Anexo 4 
 Com os mesmos dados utilizados para a confecção do gráfico da Figura 1, aplicou-
se neles a conversão necessária para utilização em um novo gráfico, agora em papel dilog 
(ou log-log). O gráfico está exibido na Figura 2. 
 
 
 Figura 2: Gráfico em escala logarítmica que relaciona os diâmetros D das crateras e 
a energia cinética correspondente da esfera de vidro. 
 
 Ao observar a disposição da reta no gráfico da Figura 1, em escala linear, nota-se 
que, ao invés da relação entre as grandezas D e E (Diâmetro da cratera e Energia Cinética, 
respectivamente) ser do tipo linear, a relação que pode ser observada se assemelha a uma 
do tipo função potência de expoente maior que zero e menor que 1 (Figura 3). Ou seja, uma 
função raíz. 
 
Figura 3: Função raiz ou função potência em que o expoente 0 < 𝑛 < 1.1 
 
Para o gráfico em escala logarítmica da Figura 2, a relação pretendida entre os 
dados pode ser observada. Ou seja, os dados se dispõem próximos à reta traçada. Sendo 
assim, é possível concluir que os diâmetros D das crateras e a correspondente energia 
 
1 CALCULAT. Raíz Quadrada. Disponível em: https://bit.ly/3wdoj0K. Acesso em: 16 
maio 2021. 
 
 
cinética se relacionam por uma Lei de Escala da forma 𝐷 = 𝑘𝐸𝑛, onde 𝑘e 𝑛 são constantes. 
À vista disto, evidencia-se novamente que os dados se comportam com uma função 
potência e a partir do gráfico da Figura 2 é possível encontrar a equação que relaciona D e 
E. 
 
Anexo 5 
 
 A partir do gráfico log-log, é possível determinar os valores das constantes 𝑘e 𝑛. 
Para 𝑘, basta igualarmos 𝐸 = 0, ou seja, quando 𝑛 = 0. É possível obter esse valor através 
da análise visual do gráfico da Figura 2 ao prolongar a reta feita até que ela passe sobre o 
ponto 𝑃(1, 𝐷). Fazendo isso, é possível obter o valor de 𝑘 = 9,5 ∗ 10−2 = 0,095 𝑚/𝐽𝑛. 
 As unidades de medida para 𝑘 foram obtidas na relação 𝑚 = 𝑘 ∗ 𝐽𝑛 → 𝑘 = 𝑚/𝐽𝑛, 
com 𝑛 adimensional. 
 Para a constante𝑛, foi utilizada a relação 𝑛 =
𝐿2
𝐿1
=
3,5
18,6
 
𝑐𝑚
𝑐𝑚
= 0,18817204 ≈ 0,20.Para 
encontrar as medidas de 𝐿1e 𝐿2utilizou-se uma régua milimetrada. A análise feita pode ser 
vista na Figura 4. 
 Com as constantes 𝑘 e 𝑛, a equação que representa a relação de Lei de Escala 𝐷 =
𝑘𝐸𝑛fica 𝐷 = 0,095 ∗ 𝐸0,20. 
 
 
 Figura 4: Análise do gráfico da Figura 3 para calcular as constantes 𝑘e 𝑛. 
 
São cinco os diferentes processos pelos quais a energia cinética de impacto pode 
ser distribuída. Entre eles estão a deformação e a ejeção de um material. 
O valor de 𝑛 encontrado acima é mais consistente com a formação da cratera por 
ejeção de material. Isso se dá porque quando o fenômeno é caracterizado pelo processo de 
ejeção de material o expoente é 
1
4
= 0,25, que é mais próximo do encontrado neste 
experimento (𝑛 = 0,20) em comparação ao valor do expoente na caracterização por 
deformação que é 
1
3
= 0,32. Assim, o processo mais provável pelo qual a energia da esfera 
é consumida é a ejeção de material. 
 
 
2 AMATO, Joseph C.; WILLIAMS, Roger E.. Crater formation in the laboratory : an introductory 
experiment in error analysis. American Journal Of Physics, [S.L.], v. 66, n. 2, p. 141-143, fev. 1998. 
American Association of Physics Teachers (AAPT). 
 
 
Anexo 6 
 
De acordo com Morgan3, em seu artigo “Size and morphology of the Chicxulub impact crater” 
a energia liberada em tal impacto foi de 5*1023 J. Utilizando a lei da escala que obtemos 
experimentalmente, podemos comparar os valores e avaliar a precisão e qualidade de nosso 
modelo. Considerando que a cratera tem aproximadamente 180 Km, temos: 
 
𝐷 = 𝑘𝐸 𝑛 
 
Utilizando a expressão para a lei de escala que obtivemos no anexo 5 e substituindo o valor 
de D em metros, temos: 
 
1,8 ∗ 10 5 = 9,5 ∗ 10−2𝐸 0,20 
𝐸 0,20 = 
1,8 ∗ 10 5
9,5 ∗ 10−2
 
𝑙𝑜𝑔 𝐸 = 
𝑙𝑜𝑔 
1,8∗10 5
9,5∗10−2
0,23
⇒ 𝑙𝑜𝑔 𝐸 =27,29369087 
𝐸 = 1027,29369087 → 𝐸 = 1,966486045 ∗ 1027J 
Arredondando, E = 1,97*1027 J 
 
Assim, comparando os valores percebemos uma diferença de 3 ordens de grandeza (cerca 
de 3940 vezes) na Energia liberada, sendo maior em nosso modelo. Entretanto vale ressaltar 
que dadas as proporções do impacto, essa diferença é relativamente aceitável. Além disso, 
vale ressaltar que existem muitas variáveis envolvidas, tais como a massa e velocidade do 
objeto que colidiu com a Terra, a profundidade do impacto, a quantidade de matéria e energia 
ejetada, o tempo, já que o impacto ocorreu há 65 milhões de anos a erosão da superfície, 
devido a água do mar e as intempéries que ocorreram nesse período, dentre outros. Todos 
esses fatores impedem que conheçamos o verdadeiro tamanho da cratera, e que dificultam 
a elaboração de um modelo exato e preciso. 
 
Anexo 7 
 
Como relatado no anexo 6, há uma enorme quantidade de fatores que podem afetar a 
qualidade do modelo e o quanto ele reflete a realidade. Dentre estes, os principais são a 
precisão das medidas, tanto com a trena e a régua quanto com o paquímetro, especialmente 
este último, uma vez que as crateras não possuem bordas claramente definidas e o solo. A 
areia que foi utilizada é bastante homogênea, se comparada com o solo terrestre, que é muito 
mais diverso, apresentando variações de relevo, compactação e composição. 
Podemos apontar também as medições realizadas no papel milimetrado como uma fonte de 
incerteza, já que esta depende dos olhos de quem está analisando e medindo e também da 
régua estar sendo posicionada corretamente. Há ainda dos arredondamentos referentes aos 
cálculos para encontrar as variáveis k e n. 
 
3 MORGAN et al. Size and morphology of the Chicxulub impact crater. Nature Magazine. v. 
390, dez. 1997.