metodo dos elementos finitos

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O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia
civil
Professor(a): Bruno Henrique Oliveira Mulina (Doutorado)
1)
2)
Vamos lá? A Avaliação Presencial – 1ª Chamada (AP1) é composta por questões objetivas, tem
duração de 1 (uma) hora e corresponde a 60% da média desta disciplina. Não é permitido
consultar o material de estudos ou realizar pesquisas na internet enquanto você realiza a
atividade. Fique atento! Após responder às questões, você só tem uma oportunidade de finalizá-
la, clicando em "enviar". Boa prova!
Alternativas:
I - II.
V
II - IV.
I - III - IV.
II - III - V.
Código da questão: 49752
Resolução comentada:
A afirmação I está correta, uma vez que a tensão de cisalhamento é aplicada
paralelamente à face do elemento. A afirmação II está correta, uma vez que a tensão
2 é aplicada de modo a estender o elemento na direção do eixo z. Caso os nós 1-2-
3-4 estejam engastados, o alongamento do elemento no sentido do eixo z ocasiona
na redução da área transversal no plano xy. A afirmação III está errada, uma vez que
o cisalhamento não reduz as dimensões do elemento, apenas o deformam (um
quadrado se transforma em um losango). A afirmação IV está errada uma vez que a
tensão 2 é uma tensão normal. A afirmação V está errada, pois a deformação deve
alterar a forma, e não o volume do elemento.
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3)
Alternativas:
III - IV.
II - III.
III - IV - V.
I - II - IV.
Somente III.
Código da questão: 49747
O uso de softwares na engenharia civil deve sempre ser feito com cautela. A
responsabilidade civil no caso de um eventual sinistro recai sobre o engenheiro
responsável, por isso é sempre importante pensar, engenhar, além de operar o software.
Sobre o uso de softwares na engenharia civil, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
O software deve ser entendido como uma ferramenta que vai auxiliar o engenheiro.
O uso de softwares deve ser restrito apenas a profissionais experientes.
A compra de um excelente software pode substituir a experiência e bagagem
profissional.
Os softwares baseados em MEF e BIM vão substituir os engenheiros na era da 4ª
revolução industrial.
Os softwares oferecem soluções completas de engenharia, não sendo necessária a
presença de um engenheiro.
Resolução comentada:
A afirmação I está incorreta, pois o conceito de matriz inversa se dá por conta da
matriz identidade, e não por meio da inversão dos elementos (nem do sinal nem da
divisão). Por esse motivo a afirmação II também está errada. A afirmação III está
correta, já que a deformação é obtida pela variação do deslocamento, ou seja, a
derivada. A Afirmação IV está correta, pois para obter a matriz de rigidez K, é
realizado o produto B’*D*B. A afirmação V está correta por descrever as tensões
normal e de cisalhamento.
Resolução comentada:
O software deve ser entendido apenas como uma ferramenta que vai auxiliar o
engenheiro, jamais como uma solução completa de engenharia. Não
necessariamente o uso de softwares deve ser restrito a profissionais experientes,
embora faça-se necessário que o profissional seja engenheiro e possa se
responsabilizar sobre determinado assunto. Os softwares não fornecem soluções
completas, existem diversos fatores que ainda não estão considerados no software e
que o engenheiro precisa avaliar. Os softwares não vão substituir os engenheiros,
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5)
Código da questão: 49770
I. Os métodos de elementos finitos (MEF) e das diferenças finitas (MDF) são amplamente
utilizados para resolver problemas físicos. A escolha destes métodos, com relação aos
métodos analíticos, se deve à facilidade de sua aplicação em sistemas digitais, já que são
fortemente embasadas em técnicas numéricas.
PORQUE
II. Ao estudar os problemas reais, é possível aplicar os métodos analíticos e numéricos. Uma
grande dificuldade nos métodos analíticos é a obtenção da expressão que descreva o
domínio todo. Como os métodos numéricos aplicam o processo de discretização, é
necessário calcular apenas as características daquele elemento de interesse. 
Assinale a alternativa acerca das asserções supracitadas, bem como a relação entre elas:
Alternativas:
A primeira asserção está correta e a segunda asserção está incorreta.
A primeira asserção está incorreta e a segunda está correta.
A primeira e a segunda asserções estão corretas, mas não possuem relação
A primeira e a segunda asserções estão incorretas.
A primeira e a segunda asserções estão corretas e a segunda justifica a primeira.
Código da questão: 49744
Os estudos relacionados ao comportamento dos elementos obtidos pela discretização
do domínio de interesse são realizados primeiramente com o uso de coordenadas naturais.
E, depois, conforme as funções de transformação entre as coordenadas naturais e gerais, as
expressões obtidas para um único elemento podem ser estendidas ao problema todo.
I. Um elemento isoparamétrico é aquele que permite a transformação de um sistema de
coordenadas em outro por meio de uma função polinomial de primeira ordem. 
PORQUE
II. A transformação entre sistemas de coordenadas isoparamétricas usando um polinômio
de primeira ordem aumenta o grau das funções interpoladoras devido ao produto das
funções interpoladora e de transformação.
Assinale a alternativa acerca das asserções supracitadas, bem como a relação entre elas.
Alternativas:
A primeira e a segunda asserção estão incorretas.
A primeira asserção está incorreta e a segunda está correta.
A primeira asserção está correta, e a segunda está incorreta.
A primeira asserção está correta e a segunda justifica a primeira.
A primeira asserção está incorreta e a segunda está correta.
sempre será necessário ter um responsável por tomar as decisões corretas no
projeto; além de calcular, é necessário interpretar os números. A compra de um
software complexo não pode substituir anos de experiência e bagagem profissional.
Resolução comentada:
A primeira asserção está correta, já que os métodos numéricos MDF e MEF são
amplamente usados na solução de problemas reais, principalmente pela facilidade
em desenvolver os problemas por meio de softwares. A segunda asserção está
errada, já que, por conta do processo de discretização, todos os dados relativos a
todos os elementos pertencentes ao domínio devem ser obtidos, já que o do MEF
ou a MDF é o resultado dos efeitos de um elemento sobre o outro, sendo então
dependentes do comportamento de todos os elementos. Assim, é necessário
calcular todos os elementos.
Resolução comentada:
A primeira asserção está correta, já que, utilizar um polinômio de primeiro grau para
converter sistemas de coordenadas é o mesmo que multiplicar por um fator linear e
somar uma constante. Por esse motivo a ordem das funções interpoladoras não se
altera, definindo então um elemento isoparamétrico. A segunda asserção está
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Código da questão: 49759
Dentre as etapas no desenvolvimento de modelos numéricos, algumas devem ser
seguidas. A sequência das etapas a serem executadas permite distinguir cada relação
importante, como as funções de interpolação, condições de contorno e matriz de rigidez.
Com relação a esses elementos, podemos definir:
I. As funções de interpolação definem como a variável a ser estudada se comporta dentro
de cada elemento.
II. As matrizes de rigidez definem as condições a serem aplicadas nas faces de cada
elemento.
III. O método de resíduos ponderados é uma técnica aplicada para solução dos problemas
por meio dos métodos de elementos finitos.
IV. A formulação analítica do problema considera que o comportamento a ser estudado é
descrito por meio de uma sequência de subtrações.
V. As matrizes elementares destacam o comportamento de cada elemento do problema
discretizado.São verdadeiras apenas as asserções:
Alternativas:
Somente V.
III - IV.
I - III - V.
Somente III.
I - II - IV.
Código da questão: 49742
Em estudo, Azevedo (2003) concluiu que a metodologia de integração numérica da
quadratura de Gauss é vantajosa e apresenta facilidades no processo de análise de
estruturas pelo método de elementos finitos. O autor também apresenta um desafio a ser
superado na metodologia apresentada. 
AZEVEDO, A. F. M. Métodos dos Elementos Finitos. Portugal: Faculdade de Engenharia da
Universidade do Porto Portugal, 2003. Disponível em:
http://alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed/doc/Livro_MEF_AA.pdf.
Acesso em: 16 set. 2019.
Sobre o desafio a ser enfrentado na metodologia de integração numérica da Quadratura de
Gauss, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
Devem ser incluídos em um programa de computador destinado à análise de estruturas
pelo MEF.
errada, uma vez que, conforme explicado na justificativa da primeira asserção, usar
um polinômio de primeira ordem não afeta o grau da função interpoladora ao
converter entre os sistemas de coordenadas.
Resolução comentada:
A asserção I está correta, já que as funções de interpolação permitem definir como
as variáveis estudadas se comportam conforme aplicação de uma condição de
contorno. 
A asserção II está incorreta, pois as matrizes de rigidez definem o comportamento
global do problema, e não as condições de contorno (aplicadas às faces).
A asserção III está correta, já que o método dos resíduos ponderados é um dos
principais para solução do MEF. 
A asserção IV está incorreta, pois a formulação analítica prevê que a função original
seja um polinômio de mesma ordem que a equação diferencial. Por exemplo, uma
equação diferencial de segunda ordem é originada de um polinômio de segundo
grau. 
A asserção V está correta, já que as matrizes elementares descrevem o
comportamento físico e as respostas para cada elemento. Essa matriz depois será
usada para construir a matriz de rigidez.
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9)
Otimização da posição dos pontos utilizados na definição de valores da função.
Possuem caráter polinomial.
Fornecer maior precisão nos resultados.
É a escolha do número de pontos para que estejam adequados conforme a necessidade
pretendida.
Código da questão: 49760
Usando a quadratura de Gauss de um ponto, calcule:
Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de I.
Alternativas:
2
1
0
Código da questão: 49762
O método dos elementos finitos (MEF) é uma das técnicas utilizadas para resolver
problemas físicos descritos por equações diferenciais complexas. Para resolver estes
problemas, o domínio de interesse é discretizado, e cada elemento criado é considerado
como um elemento com características constantes, com comportamento das variáveis
envolvidas descritos principalmente por polinômios de primeira ordem. A partir do estudo
do comportamento de cada elemento, um sistema de equações é desenvolvido, sendo as
Resolução comentada:
A integração numérica tem como desafio a escolha do número de pontos que sejam
adequados, conforme a necessidade pretendida.
Resolução comentada:
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variáveis deste sistema referentes ao comportamento físico dos elementos. Porém, esse
processo gera um conjunto de erros que afeta na obtenção da solução real do problema.
Entre as fontes de erro existentes no desenvolvimento do MEF, uma que não pode ser
alterada pelo usuário é:
Alternativas:
O refinamento de malha pelo método h, aplicados às regiões críticas do domínio.
A malha criada, já que dependendo do tipo de elemento escolhido, o erro pode ser
maior ou menor.
O erro de discretização, já que dentro de cada elemento as propriedades físicas são
constantes.
O erro de arredondamento dos cálculos matemáticos realizados nos sistemas digitais.
O erro relacionado às funções de interpolação, podendo usar funções de grau maior.
Código da questão: 49765
Sobre a Quadratura de Gauss, considere as seguintes afirmações:
( ) É um dos métodos de integração muito utilizado no método dos elementos finitos.
( ) Fornece maior precisão nos resultados e otimiza a posição dos pontos utilizados na
definição de valores da função. 
( ) O intervalo [-1,1] corresponde a uma mudança da variável x para ɛ (adimensional). 
( ) A sua metodologia possui a vantagem de ser facilmente incluído em um programa de
computador destinado à análise de estruturas pelo método de elementos finitos.
( ) É um método que demonstra complexidade para integrais em duas e três dimensões.
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.
Alternativas:
F – V – V – V – V.
F – V – F – V – F.
V – V – V – V – F.
F – V – F – V – V.
V – V – F – V – F.
Código da questão: 49763
Resolução comentada:
Os erros apresentados no MEF são consequência de todo o processo de
discretização e aproximação dos fenômenos físicos. Porém, esse tipo de erro pode
ser minimizado com o uso de técnicas direcionadas a cada fonte de erro (suavização
para os erros de discretização, aumento de grau das funções interpoladoras, refino e
remalhagem). A única fonte de erro que não é consequência das escolhas do usuário
é o erro de arredondamento, que é consequência da construção e modo de
manipulação dos dados pelo computador responsável pela execução das equações
envolvidas.
Resolução comentada:
A quadratura de Gauss é um dos métodos de integração muito utilizado no método
dos elementos finitos. Fornece maior precisão nos resultados e otimiza a posição
dos pontos utilizados na definição de valores da função. O intervalo [-1,1]
corresponde a uma mudança de variável x para ɛ (adimensional). 
A metodologia da quadratura de Gauss apresenta a vantagem de ser facilmente
incluído em um programa de computador destinado à análise de estruturas pelo
método de elementos finitos.
E apresenta um método que demonstra facilidade para integrais em duas e três
dimensionais.
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