Geometria Plana: Triângulos

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA II
PRÉ-VESTIBULAR 81PROENEM.COM.BR
GEOMETRIA PLANA: 
TRIÂNGULOS I03
TRIÂNGULOS
Já vimos que o triângulo é um polígono com três lados. Nosso 
objetivo agora será explorar suas principais propriedades.
CLASSIFICAÇÃO DO TRIÂNGULO QUANTO 
AOS LADOS
Com relação as medidas de seus lados, podemos classifi car 
um triângulo em equilátero, isósceles ou escaleno.  
Triângulo equilátero, quando possui todos lados congruentes.
II II
II
60°
60° 60°
CB
A
Equilátero
Uma observação importante é que quando o triângulo é 
equilátero, ele tem os três ângulos internos com a mesma medida. 
Como a soma dos três é 180º, segue que cada um dos três ângulos 
internos do triângulo equilátero mede 60º.
Triângulo isósceles, quando possui dois lados congruentes.
Isósceles
Vimos que um triângulo isósceles possui dois lados com 
a mesma medida (AB = AC) . O terceiro lado nós chamamos de 
base. E nesse caso, os ângulos adjacentes à base são sempre 
congruentes. Na fi gura, B=A.
Triângulo escaleno, quando possui todos lados com medidas 
diferentes.
III
II
I
A
B C
Escaleno
CLASSIFICAÇÃO DO TRIÂNGULO QUANTO 
AOS ÂNGULOS
Com relação as medidas de seus ângulos, podemos classifi car 
um triângulo em triângulo retângulo, triângulo acutângulo ou 
triângulo obtusângulo. 
• Triângulo retângulo quando possui um ângulo reto;
• Triângulo acutângulo quando possui os três ângulos 
internos agudos;
• Triângulo obtusângulo quando possui um ângulo interno 
obtuso.
Veja as fi guras:
Retângulo Acutângulo Obtusângulo
Em todo triângulo, o maior ângulo está oposto ao maior lado.
Observe o exemplo abaixo:
Na fi gura, o maior ângulo é 100º. O maior lado é o lado 
oposto ao ângulo de 100º, portanto o maior lado é BC.
PROEXPLICA
Base média do triângulo
Base média de um triângulo é o segmento que une os pontos 
médios de dois lados.
BCMN // BC e MN
2
=
01. Sabendo que AB=AC=CD, e que o ângulo ADC=35° calcule 
os valores de x e y.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
 A
rt.
 1
84
 d
o 
C
P.
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR82
MATEMÁTICA II 03 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS I
Resolução:
Como o triângulo ∆ACD é isósceles, temos que o ângulo 
CÂD= 35° e com isso podemos determinar o ângulo ACD. 
Note que ACD = 110º pois a soma dos ângulos internos de 
um triângulo vale sempre 180º.
O ângulo ACB é suplemento do ângulo ACD e portanto 
temos que ACB = 70º.
Note que x =ACB = 70º pois o triangulo ∆ABC é isósceles.
Como a soma dos ângulos internos sempre vale 180º 
temos que BAC = 40º pois ABC + ACB = 70º + 70º = 140º.
O ângulo é externo ao ângulo BÂD = BÂC + CÂD = 40º +
35º = 75º.
Concluímos que, y = 180º – 75º = 105º.
02. Na fi gura, AB=AC e AE=AD. 
Sabendo que BÂD = 42º, calcule a medida do ângulo CDE.
Resolução:
Como AB = AC sabemos que o ângulo ABD = ACD = x, 
e como AE = AD sabemos que AED = ADE = y. Chamando o 
ângulo CDE = k, temos:
Pelo teorema do ângulo externo podemos escrever que 
y=k+x (y é ângulo externo do triângulo CDE).
Como a soma dos ângulos internos vale 180º temos que 
k + x + (180º - y) = 180° (Triângulo ∆ADC).
Substituindo concluímos que 2k – 42º = 0º e portanto 
CDE = k = 21º.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM 
TRIÂNGULO
Dizemos que um triângulo “existe”, quando é possível construí-
lo com as medidas dos três lados dados.
Para que seja garantida a existência do triângulo, seus lados 
devem satisfazer a seguinte condição: cada lado deve ser menor 
que a soma dos outros dois. Dessa forma, considere um triângulo 
cujos lados medem a, b e c. 
a
b
A
B C
Então, só será possível a construção de um triângulo com 
lados a, b e c quando tivermos:
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Note que, as três desigualdades devem ser verifi cadas!
Em alguns casos, ao invés de usarmos as três desigualdades 
acima, é mais útil, e válido de maneira equivalente, dizermos que:
|b – c| < a < b + c
01. Deseja-se construir um triângulo ∆ABC de modo que AB =
7, BC = 2x + 1e AC = 9, todas as medidas em centímetros. Dessa 
forma, determine todos os possíveis valores inteiros de x.
Reslução:
Podemos aplicar a condição de existência de forma 
imediata!
Observe:
|9 – 7| < 2x + 1 < 9 + 7
|+ 2| < 2x + 1 < 16
2 < 2x + 1 < 16
2 – 1< 2x < 16 – 1
1 < 2x < 15
1 15x
2 2
< <
Os valores inteiros que x pode assumir formam o conjunto 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Apenas com as medidas dos lados de um triângulo 
podemos classifi cá-lo quanto aos ângulos? A resposta é sim! 
Veremos abaixo como isso é possível.
Num triângulo qualquer, basta elevarmos ao quadrado a 
maior medida do lado desse triângulo e compararmos com a 
soma do quadrado da medida dos outros dois lados.
Assim, é possível encontrar três resultados:
Se a² > b² + c² → Triângulo obtusângulo 
Se a² < b² + c² → Triângulo acutângulo
Se a² = b² + c² → Triângulo retângulo
PROEXPLICA
01. Dado um triângulo com as medidas dos lados abaixo 
indicados, classifi que quanto aos ângulos:
a) 3 cm, 5 cm, 6 cm
b) 4 cm, 5 cm, 6 cm
c) 6 cm, 8 cm, 10 cm
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
 A
rt.
 1
84
 d
o 
C
P.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
03 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS I
83
MATEMÁTICA II
Em cada um dos casos, basta elevar o maior lado ao 
quadrado e comparar com a soma dos quadrados das 
medidas dos outros dois lados.
a) 6² > 5² + 3²
36 > 25 + 9
36 > 34 →Triângulo obtusângulo
b) 6² < 5² + 4²
36 < 25 + 16
36 < 41 →Triângulo acutângulo
c) 10² = 6² + 8²
100 = 36 + 64
100 =100 →Triângulo retângulo
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Um triângulo isósceles tem um lado medindo 10 cm e o outro com 
24 cm. Determine o comprimento do terceiro lado.
02. Calcule a medida do lado de um triângulo equilátero com perímetro 
igual a 81 cm.
03. Encontre o valor do maior lado de um triângulo isósceles onde um 
lado mede o dobro do outro e seu perímetro é igual a 100 cm.
04. Dado um triângulo com os lados medindo 24 cm, 18 cm e 16 cm, 
classifi que-o quanto aos ângulos.
05. Dado dois lados de um triângulo, 20 cm e 29 cm, determine o valor 
do terceiro lado para que ele seja um cateto de um triângulo retângulo.
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. Na fi gura abaixo, o ângulo θ mede:
a) 94°
b) 93°
c) 91°
d) 92°
e) 80º
02. Na fi gura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY.
Se o ângulo  mede 40°, então o ângulo XYZ mede:
a) 40°
b) 50°
c) 60°
d) 70°
e) 90°
03. As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
04. Na fi gura AB = BD = CD. Então:
a) y = 3x
b) y = 2x
c) x + y = 180°
d) x = y
e) 3x = 2y
05. No retângulo a seguir, o valor, em graus, de α + β é: 
a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 220
06. Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um pentágono regular. 
A soma dos ângulos     M N P Q R+ + + + é: 
a) 360º
b) 330º
c) 270º
d) 240º
e) 180º
 As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:
40°
�
�
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
 A
rt.
 1
84
 d
o 
C
P.
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR84
MATEMÁTICA II 03 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS I
07. (IFAL 2016) Na fi gura a seguir, calcule o ângulo α
Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo. 
a) 30°. b) 33°. c) 37°. d) 38°. e) 42°.
08. (CP2 2014) Observe as duas fi guras abaixo:
Dado que a fi gura 1 possui 3 triângulos, quantos triângulos possui 
a fi gura 2? 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12
09. Observe a fi gura. Nela, a, 2a, b, 2b, e x representam as medidas, 
em graus, dos ângulos assinalados. O valor de x, em graus, é: 
a) 100
b) 110
c) 115
d) 120
e) 135
10. Um triângulo com lados medindo 2 · 1050, 10100 – 1 e 10100 + 1:
a) é isósceles
b) é retângulo
c) tem área 10150 – 1
d) tem perímetro 4 · 1050
e) é acutângulo
11. Eva é aluna do curso de Construção Naval do campus Ipojuca 
e tem mania de construir barquinhos de papel. Durante a aula de 
desenho técnico, resolveu medir os ângulos do último barquinho 
que fez, representado na imagem a seguir. Sabendo que as retas 
suportes, r e s são paralelas, qual a medida do ângulo α destacado?
a) 52° b) 60° c) 61° d) 67° e) 59°
em graus, dos ângulos assinalados.O valor de x, em graus, é: 
12.
O triângulo PMN acima é isósceles de base MN. Se p, m e n são os 
ângulos internos do triângulo, como representados na fi gura, então 
podemos afi rmar que suas medidas valem, respectivamente, 
a) 50°,65°, 65°
b) 65°,65°, 50°
c) 65°,50°, 65°
d) 50°,50°, 80°
e) 80°,80°, 40°
13.
No quadrilátero ABCD, o valor de y - x é igual a 
a) 2x
b) 2y
c) x
2
d) 
y
2
14. (CFTRJ 2014) Na fi gura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é 
um triângulo equilátero. 
Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 
68 cm, qual é a medida do lado BC? 
a) 118 cm
b) 126 cm
c) 130 cm
d) 142 cm
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
 A
rt.
 1
84
 d
o 
C
P.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
03 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS I
85
MATEMÁTICA II
15. (ESPM 2013) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um 
triângulo equilátero e BDF é um triân gulo isósceles, onde AF = AB. 
A medida do ângulo α é:
 
a) 120°
b) 135°
c) 127,5°
d) 122,5°
e) 110,5°
16. Sejam UVW um triângulo isósceles com base VW; E e F dois 
pontos nos lados UV; e UW, respectivamente, tais que as medidas 
dos segmentos de reta VW, WE, EF e FU são iguais.
Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a medida do 
ângulo VÛW é 
a) menor do que 21°.
b) maior do que 21° e menor do que 25°.
c) maior do que 25° e menor do que 27°.
d) maior do que 27° e menor do que 32°.
17. (IFSC 2015) Considerando um triângulo isósceles com perímetro 
de 70 m, cujo lado maior mede 50% a mais que a medida de um dos 
lados homólogos, é CORRETO afirmar que o lado maior mede:
a) 10 m
b) 20 m
c) 30 m
d) 25 m
e) 18 m
18. (CFTRJ 2013) Considerando que, na figura a seguir, o 
quadrado ABDE e o triângulo isósceles BCD (BC=CD) têm o 
mesmo perímetro e que o polígono ABCDE tem 72cm de perímetro, 
qual é a medida de BC? 
a) 15,5 cm
b) 16 cm
c) 17,4 cm
d) 18 cm
19. (ENEM PPL 2012) Um professor, ao fazer uma atividade de 
origami (dobraduras) com seus alunos, pede para que estes 
dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura a 
seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente 
de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a nova posição do vértice 
A do triângulo ABC.
Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos 
de triângulos isósceles os triângulos 
a) CMA e CMB.
b) CAD e ADB.
c) NAM e NDM.
d) CND e DMB.
e) CND e NDM.
20. (UECE 2017) No plano, seja XYZW um quadrado e E um ponto 
exterior a esse quadrado tal que o triângulo YZE seja equilátero. 
Assim, é correto afirmar que a medida do ângulo XÊW é 
a) 45°. b) 40°. c) 35°. d) 30°. e) 20º
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. Durante uma queda de luz Carla e Sabrina resolveram 
brincar fazendo desenhos com as sombras das mãos. Para isso 
pegaram duas lanternas diferentes apontando os feixes de luz 
para parede BC. Márcio que estava no andar superior observou 
tudo. A figura a seguir mostra a 
visão que Márcio tinha da situação. 
dados: o ângulo entre as duas paredes 
CD e BC é 90° e BC = BC, sendo d 
o ponto onde Carla está o ponto 
onde se encontra Sabrina. Também 
sabemos que BEC vale 75°. 
Encontre o valor do ângulo ˆECD .
02. (UECE 2017-ADAPTADA) No triângulo isósceles XOZ, cuja base é o 
segmento XZ, considere os pontos E e U respectivamente nos lados OZ 
e XZ, tais que os segmentos OE e OU sejam congruentes. Se a medida 
do ângulo XÔU é 48 graus, então calcule a medida do ângulo ZÛE.
03. (UECE 2015) Seja AEC um triângulo isósceles (as medidas 
dos lados AE e AC são iguais) e O um ponto do lado AC tal que a 
medida do ângulo EÔC é 120 graus. Se existe um ponto B, do lado 
AE, tal que o segmento OB é perpendicular ao lado AE e a medida 
do ângulo EÔB seja igual a 40 graus. Calcule a medida do ângulo 
OÊC, em graus.
04. (CFTRJ 2012) No triângulo ABC de lados medindo AB = x – 7, 
BC = x e AC = x + 2, sendo x um inteiro positivo menor que 20, e os 
ângulos internos α, β e θ, tais que α<β<θ<90°. 
a) Faça o desenho do triângulo ABC, indicando seus vértices e 
ângulos internos. 
b) Determine os possíveis valores de x. 
05. Existe ou não um triângulo com lados medindo 3 cm, 2 cm e 7 
cm? Justifique sua resposta. 
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
 A
rt.
 1
84
 d
o 
C
P.
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR86
MATEMÁTICA II 03 GEOMETRIA PLANA: TRIÂNGULOS I
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. D
02. D
03. E
04. A
05. D
06. E
07. B
08. C
09. D
10. B
11. E
12. A
13. C
14. B
15. C
16. C
17. C
18. D
19. D
20. D
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. ˆECD 60º=
02. ZÛE = 24°
03. OÊC = 5º
04.x = 16 ou x = 17 ou x = 18 ou x = 19. 
05. Não existe, pois 7>2+3.
ANOTAÇÕES
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
 A
rt.
 1
84
 d
o 
C
P.