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MATEMÁTICA I
PRÉ-VESTIBULAR 65PROENEM.COM.BR
ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO32
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Medir a dispersão é analisar o quanto os valores de um conjunto se afastam de uma regularidade. É verificar o quanto os elementos 
de um conjunto respeitam um padrão. Veremos a seguir os conceitos de variância e desvio padrão, que são medidas de dispersão, que 
indicam a regularidade de um conjunto de dados, em função da média aritmética. 
DESVIO MÉDIO
Se X é a média aritmética de uma amostra de números x1, x2, ... , xn, chama-se desvio absoluto médio o número:
1 2 nx X x X ... x XDam
n
− + − + + −
=
01. A tebela mostra a série de um indicador econômico de um país, em bilhões de US$, nos 12 meses de 2013.
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
21 24 20 23 22 22 18 17 16 17 16 18
a) Calcule a média, a(s) moda(s), a mediana e a maior taxa mensal de crescimento (em porcentagem) dessa série.
b) Sabe-se que, em janeiro de 2014, esse indicador econômico atingiu um valor positivo para o qual a nova série (de janeiro de 2013 
até janeiro de 2014) passou a ter mediana de 18 bilhões de US$, e um número inteiro de bilhões de US$ como média mensal. 
Calcule o desvio médio (DM) dessa nova série.
Dado: Desvio Médio = 
n
i
i 1
x x
n
−
−∑
, sendo X a média aritmética.
Resolução:
a) A média:
12
i
i 1
21 24 20 23 22 22 18 17 16 17 16 18 234x x 19.5
12 12
=
+ + + + + + + + + + +
= = = =∑
A moda:
São os valores: 16, 17, 18 e 22, pois estes valores aparecem duas vezes cada na série apresentada acima.
A mediana:
Colocando os números em ordem crescente, temos:
(16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24)
18 20Md 19
2
+
= =
Maior taxa de crescimento:
Ocorreram aumentos entre:
24 21JAN e FEV .100 14,24%
21
23 20MAR e ABR .100 15%
20
−
⇒ ≅
−
⇒ =
Portanto, a maior taxa mensal de crescimento ocorreu entre Março e Abril.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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MATEMÁTICA I 32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
b) A média:
13
i
i 1
21 24 20 23 22 22 18 17 16 17 16 18 x 234 xx x número inteiro.
13 13
=
+ + + + + + + + + + + + +
= = = ⇒∑
A mediana:
Em ordem crescente, e sabendo que a mediana é 18, temos que em Jan de 2014 o valor é menor ou igual a 18. Portanto, 
considerando estes fatos, temos que x vale 13, pois dará um número divisível por 13.
Observe:
(13, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24) que nos dá mediana 18.
E média mensal:
13
i
i 1
21 24 20 23 22 22 18 17 16 17 16 18 13 247x x 19
13 13
=
+ + + + + + + + + + + +
= = = =∑
Cálculo do Desvio Médio = 
n
i
i 1
x x
n
=
−∑
, sendo X a média aritmética.
n
i
i 1
m
x x
D
n
=
−
=
∑
13 19 2 16 19 2 17 19 2 18 19 20 19 21 19 2 22 19 23 19 24 19
13
6 6 4 2 1 2 6 4 5 36
13 16
− + − + − + − + − + − + − + − + −
= =
+ + + + + + + +
= =
 
VARIÂNCIA
Considere uma amostra representada por {x1, x2, ...., xn} de n observações numéricas. A variância de uma população (Var(x)) é definida por:
2 2 2
1 2 n(x X) (x X) ..... (x X)Var(x)
n
− + − + + −
=
Onde X é a média aritmética da distribuição.
02. Três pessoas irão disputar um emprego em uma empresa multinacional. Após a entrevista, onde os três foram bem, a empresa 
decidiu colocá-los para fazer uma prova sobre assuntos relativos ao trabalho que executarão. Cada candidato fará cinco provas. Ao 
final das cinco provas, os três candidatos tiveram a mesma média, e dessa forma a empresa optou por selecionar o candidato com 
uma maior regularidade de conhecimento sobre os assuntos, contratando então o candidato com a menor variância.
As notas dos candidatos foram:
Candidato 1: 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0. Candidato 2: 6,0; 7,0; 6,0; 5,0; 6,0. Candidato 3: 8,0; 7,0; 6,0; 5,0; 4,0.
Note que as médias dos candidatos são 
1
6 6 6 6 6X 6
5
+ + + +
= = 2
6 7 6 5 6X 6
5
+ + + +
= = 3
8 7 6 5 4X 6
5
+ + + +
= =
Calculemos a variância dos candidatos 1, 2 e 3.
2 2 2 2 2
1
(6 6) (6 6) (6 6) (6 6) (6 6) 0Var (x) 0
5 5
− + − + − + − + −
= = =
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
67
MATEMÁTICA I
2 2 2 2 2
2
(6 6) (7 6) (6 6) (5 6) (6 6) 2Var (x) 0,4
5 5
− + − + − + − + −
= = =
2 2 2 2 2
3
(8 6) (7 6) (6 6) (5 6) (4 6) 10Var (x) 2
5 5
− + − + − + − + −
= = =
Note que o candidato 1, obteve todas as notas são iguais e assim, a variância é igual a 0. Entre os candidatos 2 e 3, não temos todas 
notas iguais. Note que Var2(x) < Var3(x), concluímos que o candidato 2 tem notas mais regulares do que o candidato 3. Como o 
candidato 1 obteve a menor variância, ele será selecionado para ocupar a vaga na empresa.
Desvio Padrão
O desvio padrão é outra forma de analisar a regularidade de um conjunto de valores. 
O desvio padrão de uma população é dado pela raiz quadrada da variância. Logo temos:
2 2 2
1 2 n(x X) (x X) ..... (x X)Var(x)
n
− + − + + −
σ = =
Exemplo:
Voltemos para o exemplo anterior onde calculamos a variância de cada um dos três candidatos. Calculemos agora o desvio padrão 
das amostras das notas dos três candidatos.
Grupo 1: 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0.
Grupo 2: 6,0; 7,0; 6,0; 5,0; 6,0.
Grupo 3: 8,0; 7,0; 6,0; 5,0; 4,0.
No candidato 1, a variância que encontramos foi zero. Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, segue que o desvio padrão 
também é zero. Além disso, todos os valores do candidato 1 são iguais a 6. Sempre que todos os valores forem iguais o desvio padrão 
será zero.
No candidato 2, a variância encontrada foi Var2(x) = 0,4. Logo, o desvio padrão será 2 0,4 0,63σ = ≅ .
No candidato 3, a variância encontrada foi Var3(x) = 2. Logo, o desvio padrão será 3 2 2 1,4σ = = ≅ .
Note que, σ2<σ3. Concluímos então que o candidato 2 tem notas mais regulares do que o candidato 3.
• Quanto mais uniforme forem os valores, mais próximo de zero estará o desvio padrão.
• Quando todos valores são iguais o desvio padrão é zero. Assim a amostra é perfeitamente uniforme.
• Quando estamos interessados em saber qual conjunto de valores possui uma maior regularidade podemos usar tanto a 
variância, como o desvio padrão.
• O desvio padrão é expresso na mesma unidade de medida das variáveis do conjunto.
• Se estivermos interessados em saber com mais precisão o quanto cada conjunto se afastou de uma uniformidade, é melhor 
calcular o desvio padrão, já que ele se encontra na mesma unidade de medida dos dados apresentados.
PROEXPLICA
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR68
MATEMÁTICA I 32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
01. (EPCAR (AFA) ) Um cursinho de inglês avaliou uma turma 
completa sendo que parte dos alunos fez a avaliação A, cujo 
resultado está indicado no gráfico abaixo.
Os demais alunos fizeram a avaliação B e todos tiveram 4 
acertos. Assim, o desvio padrão obtido a partir do gráfico 
acima ficou reduzido à metade ao ser apurado o resultado 
da turma inteira. 
Essa turma do cursinho de inglês tem 
a) mais de 23 alunos. 
b) menos de 20 alunos. 
c) 21 alunos. 
d) 22 alunos. 
Resolução: 
1ª Solução: 
Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.
Xi fi xi · fi ( xi–x )
2 ( xi–x )
2·fi
 
3 2 6 1 2
4 3 12 0 0
6 1 6 4 4
nA=6 i ix f 24⋅ =∑ 2i i(x x) f 6− =∑
A média no exame A foi
i i
A
A
x f 24x 4.
n 6
⋅
= = =∑
Logo, sabendo que todos os alunos tiveram 4 acertos no 
exame B segue que a média da turma, x, também é 4.
Se DpA é o desvio padrão no exame A, então 
2
Ai i
A
A
(x x ) f
Dp
n
6
6
1.
− ⋅
=
=
=
∑
Chamando de n o número total de alunos, e sabendo que 
o desvio padrão da turma, DpT, é igual à metade do desvio 
padrão no exame A, temos 
2 2
j j2
T
(x x) f 1 6Dp
n 2 n
n 24.
− ⋅  = ⇔ = 
 
⇒ =
∑
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2ª Solução: 
Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.
Xi fi
2
ix
2
i ix f⋅ xi · fi
3 2 9 18 6
4 3 16 48 12
6 1 36 36 6
nA=6
2
i ix f 102⋅ =∑ i ix f 24⋅ =∑
Logo, o desvio padrão no exame A é dado por 
2
i i2
A i i
A A
2
( x f )1Dp x f
n n
1 24102
6 6
1.
 ⋅ = ⋅ ⋅ − 
 
 
= ⋅ − 
 
=
∑∑
Daí, segue que o desvio padrão da turma é igual a
 
1
2
 e, 
portanto, sen é o número de alunos da turma, então 
2 21 1 (4n) 1 616n 6 n 24.
2 n n 4 n
   = ⋅ + − ⇔ = ⇔ =   
   
3ª Solução: 
Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.
Xi fi xi · fi
2
i(x x)−
2
i i(x x) f−
3 2 6 1 2
4 3 12 0 0
6 1 6 4 4
nA=6
i ix f 24⋅ =∑ 2i i(x x) f 6− =∑
A média no exame A foi
i i
A
A
x f 24x 4.
n 6
⋅
= = =∑
O desvio padrão no exame A é dado por 
2
i i
A
A
(x x) f
Dp
n
6
6
1.
−
=
=
=
∑
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
69
MATEMÁTICA I
Logo, o desvio padrão da turma é igual a T
1Dp .
2
=
Por outro lado, sabendo que todos os alunos que fizeram o exame B tiveram 4 acertos, é imediato que a média no exame B foi XB=4, 
Bx 4,= e o desvio padrão DpB = 0.
Em consequência, sendo nB o número de alunos que fizeram o exame B e A Bx x x,= = temos 
22 2 2 2
2 A A B B B
T
A B
n Dp n Dp 6 1 n 01Dp
n n 2 n
1 6
4 n
n 24.
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇔ = 
+  
⇔ =
⇔ =
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Dado os valores abaixo, calcule o desvio médio e o desvio padrão desse grupo de dados:
20; 14; 15; 20; 27; 30
02. Observe a distribuição de frequências dado na tabela abaixo e calcule o desvio padrão:
Dados observados 50 100 150
Frequência 20 50 10
03. Dado o conjunto abaixo, determine o valor aproximado do desvio médio:
9 5 7 2 3 4 1 6 12 4 8 6 3 7 15
04. Dado o conjunto abaixo, determine o valor aproximado da variância:
2 4 7 9 2 4 3 5 4 3 2 6 1 5 3 7 6 4 9 3 6 5 8 1 2
05. Dado o conjunto abaixo, determine o valor aproximado do desvio padrão:
10 15 25 17 31 11 16 21 13 20 23 16 19 22 14
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (ENEM PPL) Um fiscal de certa empresa de ônibus registra o 
tempo, em minuto, que um motorista novato gasta para completar 
certo percurso. No Quadro 1 figuram os tempos gastos pelo 
motorista ao realizar o mesmo percurso sete vezes. O Quadro 
2 apresenta uma classificação para a variabilidade do tempo, 
segundo o valor do desvio padrão.
Quadro 1
Tempos
(em minuto)
48 54 50 46 44 52 49
Quadro 2
Variabilidade
Desvio padrão do
tempo (min)
Extremamente baixa 0 < σ ≤ 2
Baixa 2 < σ ≤ 4
Moderada 4 < σ ≤ 6
Alta 6 < σ ≤ 8
Extremamente alta σ > 8
Com base nas informações apresentadas nos quadros, a 
variabilidade do tempo é 
a) extremamente baixa.
b) baixa.
c) moderada.
d) alta.
e) extremamente alta.
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MATEMÁTICA I 32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
02. (UPE) Numa competição esportiva, cinco atletas estão 
disputando as três primeiras colocações da prova de salto em 
distância. A classificação será pela ordem decrescente da média 
aritmética de pontos obtidos por eles, após três saltos consecutivos 
na prova. Em caso de empate, o critério adotado será a ordem 
crescente do valor da variância. A pontuação de cada atleta está 
apresentada na tabela a seguir: 
Atleta Pontuação - 
1º salto
Pontuação - 
2º salto
Pontuação - 
3º salto
A 6 6 6
B 7 3 8
C 5 7 6
D 4 6 8
E 5 8 5
Com base nas informações apresentadas, o primeiro, o segundo e 
o terceiro lugares dessa prova foram ocupados, respectivamente, 
pelos atletas 
a) A; C; E
b) B; D; E
c) E; D; B
d) B; D; C
e) A; B; D
03. (UPE) Os dois conjuntos P e L, de 12 valores cada, representam, 
respectivamente, as idades das atletas das equipes de vôlei 
feminino da Seleção Brasileira nos Jogos Olímpicos de Pequim, em 
2008 e nos Jogos Olímpicos de Londres, em 2012, respectivamente.
P: 21, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 28, 28, 31, 32, 38
L: 21,22, 23, 24, 25, 26, 27, 27, 27, 30, 30, 32
Com base nessas informações, analise as seguintes afirmativas:
I. A moda do conjunto P tem duas unidades a menos que a moda 
do conjunto L.
II. A mediana do conjunto L é igual a 25,5 anos.
III. Como é de 27 anos a idade média no conjunto P, então o desvio 
médio desse conjunto é de 3,5 anos.
Está CORRETO o que se afirma, apenas, em 
a) I b) II c) III d) I e II e) I e III
04. (UEG) Os números de casos registrados de acidentes 
domésticos em uma determinada cidade nos últimos cinco anos 
foram: 100, 88, 112, 94 e 106. O desvio padrão desses valores é 
aproximadamente 
a) 3,6 b) 7,2 c) 8,5 d) 9,0 e) 10,0
05. (UPE) O quadro abaixo mostra o número de gols marcados em 
cada uma das partidas do grupo do Brasil na primeira fase da Copa 
do Mundo de 2014.
Partida Gols marcados
Brasil × Croácia 4
México × Camarões 1
Brasil × México 0
Croácia × Camarões 4
Camarões × Brasil 5
Croácia × México 4
O desvio médio de gols marcados por partida nos jogos desse 
grupo foi de, aproximadamente, 
a) 3,0 b) 2,0 c) 1,7 d) 1,5 e) 1,2
06. (ENEM PPL) Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma competição de salto em distância. Segundo o 
regulamento dessa competição, a medalha de ouro será dada ao atleta mais regular em uma série de três saltos. Os resultados e as 
informações dos saltos desses cinco atletas estão no quadro.
Atleta 1º salto 2º salto 3º salto Média Mediana Desvio padrão
I 2,9 3,4 3,1 3,1 3,1 0,25
II 3,3 2,8 3,6 3,2 3,3 0,40
III 3,6 3,3 3,3 3,4 3,3 0,17
IV 2,3 3,3 3,4 3,0 3,3 0,60
V 3,7 3,5 2,2 3,1 3,5 0,81
A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta número 
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
07. (ENEM) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o 
desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 e o valor obtido para 
o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 
60 kg por hectare (10 000 m2).
A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 é 
a) 20,25. b) 4,50. c) 0,71. d) 0,50. e) 0,25.
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32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
71
MATEMÁTICA I
08. (ENEM 2ª APLICAÇÃO) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do 
tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos 
organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas
Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos)
Equipes Média Moda Desvio-Padrão
Equipe I 45 40 5
Equipe II 45 41 4
Equipe III 45 44 1
Equipe IV 45 44 3
Equipe V 45 47 2
Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe 
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
09. (ENEM) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso o candidato deveria obter média 
aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No 
quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana 
e o desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
Matemática Português Conhecimentos Gerais Média Mediana Desvio Padrão
Marco 14 15 16 15 15 0,32
Paulo 8 19 18 15 18 4,97
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é 
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
d) Paulo, pois obteve maior mediana.
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
10. (FGV) Uma lista de quatro números inteiros tem média 7 e diferença entre o maior e o menor dos números igual a 24. A moda e a 
mediana da lista são, ambas, iguais a 8. Assim, o desvio padrão da lista é igual a 
a) 69 b) 70 c) 71 d) 72 e) 73
11. (UDESC) Sejam a e b ∈ . O valor do desvio padrão, de modo que o conjunto de dados ordenados {14, 17, 22, a, b, 37} tenha média e 
mediana iguais a 24, é: 
a) 59 b) 62 c) 58 d) 57 e) 19
3
12. Os tempos gastos por cinco operários para fazer um trabalho foram: 7 minutos, 11 minutos, 8 minutos, 14 minutos e 10 minutos. 
Nessas condições,a mediana e o desvio padrão são, respectivamente
a) a) 9,5 e 2,25. b) b) 9,5 e 2,45. c) c) 10 e 2,25. d) d) 10 e 2,45.
13. (ENEM) O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, 
quatro atletas da categoria até 66kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” 
antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto 
aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.
Atleta 1ª pesagem (kg) 2ª pesagem (kg) 3ª pesagem (kg) Média Mediana Desvio-padrão
I 78 72 66 72 72 4,90
II 83 65 65 71 65 8,49
III 75 70 65 70 70 4,08
IV 80 77 62 73 77 7,87
Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta.
A primeira luta foi entre os atletas 
a) I e III. b) l e IV. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV.
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR72
MATEMÁTICA I 32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
14. (UFPR) Considere as seguintes medidas descritivas das notas 
finais dos alunos de três turmas:
TURMA NÚMERO DE 
ALUNOS
MÉDIA DESVIO 
PADRÃO
A 15 6.0 1.31
B 15 6.0 3.51
C 14 6.0 2.61
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:
1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas 
dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais 
heterogêneas.
2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação 
diferente.
3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em 
torno da média.
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
15. (UFPEL) Em um concurso, as notas finais dos candidatos 
foram as seguintes:
Número de Candidatos Nota Final
7 6,0
2 7,0
1 9,0
Com base na tabela anterior, é CORRETO afirmar que a variância 
das notas finais dos candidatos foi de: 
a) 0,75
b) 0,65
c) 0,65.
d) 0,85.
e) 0,85
16. (FGV) O gráfico a seguir indica a massa de um grupo de objetos.
Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa 4 kg cada, sabe-se 
que a média não se altera, mas o desvio padrão se reduz à metade 
do que era. Assim, é correto afirmar que n é igual a 
a) 18. b) 15. c) 12. d) 9. e) 8.
17. (UFPR) Os dados abaixo representam o tempo (em segundos) 
para carga de um determinado aplicativo, num sistema 
compartilhado.
Tempo (s) No de observações
4,5 5,5 03
5,5 6,5 06
6,5 7,5 13
7,5 8,5 05
8,5 9,5 02
9,5 10,5 01
Total 30
Com base nesses dados, considere as afirmativas a seguir:
1. O tempo médio para carga do aplicativo é de 7,0 segundos.
2. A variância da distribuição é aproximadamente 1,33 segundos 
ao quadrado.
3. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
4. Cinquenta por cento dos dados observados estão abaixo de 6,5 
segundos.
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
18. (UFPR) O serviço de atendimento ao consumidor de uma 
concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes 
via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram 
anotados os números de chamadas durante um período de sete 
dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:
Dia Número de chamadas
domingo 3
segunda 4
terça 6
quarta 9
quinta 5
sexta 7
sábado 8
Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as 
seguintes afirmativas:
I. O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6.
II. A variância dos dados é 4.
III. O desvio padrão dos dados é 2 .
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa I é verdadeira.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
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32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
73
MATEMÁTICA I
19. (FGV) Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a 
zero. Podemos concluir que: 
a) a média também vale zero.
b) a mediana também vale zero.
c) a moda também vale zero.
d) o desvio padrão também vale zero.
e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
20. O quadro nos mostra o número de defeitos por carro de uma 
determinada marca, numa frota de 40 carros.
Defeito por carro (x1) 0 1 2 3 4 5
Frequência (fi) 6 9 7 4 9 5 
O desvio padrão dos defeitos dessa frota é aproximadamente
a) 0,58 b) 1,22 c) 1,40 d) 1,67 e) 1,83
APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UNICAMP) Para um conjunto X = {x1, x2, x3, x4} a média 
aritmética de X é definida por:
( ) ( )
1 2 3 4
2 2
1 4
X X X XX
4
e a variância de X é definida por :
1V X – X ... X – X
4
+ + +
=
 = + +  
Dado o conjunto X = { 2, 5, 8, 9}, pede-se:
a) Calcular a média aritmética de X.
b) Calcular a variância de X.
c) Quais elementos de X pertencem ao intervalo [(média aritmética 
de x) - ( V ); (média aritmética de x) + ( V )]? 
02. (FGV)
a) Considere n números reais não nulos x1, x2, x3, ..., xn. Em que 
condição a variância desses números é nula. Justifique.
b) Dados três números reais x1, x2 e x3 qual o valor de m que 
minimiza a expressão: 
3
2
i
i 1
(x m) ?
=
−∑
 
03. (UNB) O vento solar é uma emissão contínua, em todas as 
direções, de partículas carregadas que têm origem na coroa solar. 
As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. 
A velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s.
Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons 
e elétrons em todo o espaço do sistema solar. Esse plasma de 
partículas carregadas é comumente denominado mar de prótons, 
ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem 
alterações em suas trajetórias devido à presença do campo 
magnético terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, a 
densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por 
centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo 
vento solar tem efeitos profundos, uma vez que as partículas e a 
radiação solar interagem com os gases presentes na atmosfera, 
tais como H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2.
planeta distância média do Sol, em 
106 km
Mercúrio 57,9
Vênus 108
Terra 150
Marte 228
Júpiter 778
Saturno 1.430
Urano 2.870
Netuno 4.500
Plutão 5.900
Tendo como referência o texto e os dados na tabela acima, julgue 
os itens a seguir.
a) A elipse definida pela equação 16x2 + 25y2 = 400 pode ser 
representada, no plano complexo, pelo conjunto dos pontos 
z = (x, y) tais que |z – 3| + |z + 3| = 10.
b) O desvio padrão da sequência numérica formada pelas 
distâncias médias de Vênus, Terra e Marte ao Sol é superior 
a 50 ×106. 
04. (FGV) A tabela mostra a série de um indicador econômico de 
um país, em bilhões de US$, nos 12 meses de 2013.
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
21 24 20 23 22 22 18 17 16 17 16 18
a) Calcule a média, a(s) moda(s), a mediana e a maior taxa mensal 
de crescimento (em porcentagem) dessa série.
b) Sabe-se que, em janeiro de 2014, esse indicador econômico 
atingiu um valor positivo para o qual a nova série (de janeiro de 
2013 até janeiro de 2014) passou a ter mediana de 18 bilhões 
de US$, e um número inteiro de bilhões de US$ como média 
mensal. Calcule o desvio médio (DM) dessa nova série.
Dado:
Desvio Médio
n
i
i 1
| x x |
,
n
=
−
=
Σ
 sendo x a média aritmética. 
05. (UNIFESP) A tabela indica o quadro de medalhas dos seis 
países primeiros colocados nos jogos Pan-Americanos realizados 
na cidade de Lima, que terminaram em agosto de 2019. Essa 
edição marcou a conquista do maior número de medalhas pelo 
Brasil, desde sua primeira participaçãonos jogos.
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MATEMÁTICA I 32 ESTATÍSTICA: MEDIDAS DE DISPERSÃO
a) Admita um novo critério para a classificação dos países no 
quadro de medalhas, em que a medalha de bronze vale 1 ponto, 
a de prata vale 2 pontos e a de ouro vale 3 pontos, ordenando-
se os países pelo total de pontos obtidos com suas medalhas. 
Por esse novo critério, Argentina, Brasil, Cuba e EUA passam a 
totalizar 200, 326, 191 e 621 pontos, respectivamente. Calcule 
a pontuação do México e do Canadá pelo novo critério, e 
compare a classificação desses seis países no critério atual 
com o novo critério.
b) Sabe-se que os jogos Pan-Americanos acontecem de quatro 
em quatro anos e que na edição do Rio de Janeiro, em 2007, 
o Brasil conquistou 157 medalhas. Considerando-se o total de 
medalhas conquistadas pelo Brasil nas últimas cinco edições 
desses jogos que aconteceram no século XXI, a mediana e 
a moda são, ambas, iguais a 141, e a média é igual a 146,6. 
Determine a sequência crescente do total de medalhas 
conquistadas pelo Brasil nessas cinco edições dos jogos e 
calcule o desvio padrão entre o maior (em Lima) e o menor (em 
Santo Domingo) número de medalhas conquistadas.
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01.B
02.A
03.A
04.C
05.C
06.C
07.E
08.C
09.B
10.E
11.D
12.D
13.C
14.D
15.E
16.A
17.D
18.B
19.D
20.D
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. a) 6 b) 7,5 c) 5 e 8
02. a) Como a variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios individuais, 
e estas quantidades são, necessariamente, não negativas, a variância será nula se, e 
somente se,
a) 1 2 3 n1 2 3 n
(x x x x )x x x x
n
+ + +…+
= = =…= =
b) 1 2 3
(x x x )m
3
+ +
=
03. 
a) Correto. Sabendo que z = x + yi, vem 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
| z 3 | | z 3 | 10 | x 3 yi | | x 3 yi | 10
(x 3) y (x 3) y 10
x 6x 9 y 10 x 6x 9 y
x 6x 9 y 100 20 x 6x 9 y x 6x 9 y
5 x 6x 9 y 25 3x
25x 150x 225 25y 625 150x 9x
16x 25y 400.
− + + = ⇔ − + + + + =
⇔ − + + + + =
⇔ − + + = − + + +
⇒ − + + = − + + + + + + +
⇔ + + + = +
⇒ + + + = + +
⇔ + =
b) Incorreto. Temos que a média aritmética das distâncias médias de Vênus, Terra e Marte 
ao Sol é dada por 
6 6108 150 228x 10 162 10 km.
3
+ +
= × = ×
Assim, como 
3
2 6 2 6 2 6 2
i
i 1
12
12
(x x) [(108 162) 10 ] [(150 162) 10 ] [(228 162) 10 ]
(2916 144 4356) 10
7416 10 ,
=
− = − × + − × + − ×
= + + ×
= ×
∑
segue que o desvio padrão populacional é
n
2
i
i 1
12
12 12 6
(x x)
n
7416 10
3
2472 10 km 2500 10 km 50 10 km.
=
−
σ =
×
=
= × < × = ×
∑
04. 
a) A média: 19,5
A moda: São os valores: 16, 17, 18 e 22.
A mediana: 19
Maior taxa mensal de crescimento: ocorreu entre Março e Abril.
b) m
36D
13
=
05. a) México: 346; Canadá: 286
Em consequência, pelo novo critério, Brasil e México trocariam de posição, assim 
como Argentina e Cuba. Os demais países permaneceriam na mesma posição.
b) x=123 
 Dp=24
ANOTAÇÕES