Aula 16 - N+¦meros Proporcionais

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ARITMÉTICA 
NÚMEROS PROPORCIONAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
NÚMEROS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAIS 
Um conjunto de números A é dito 
diretamente proporcional a um outro 
conjunto de números B, se e somente se, os 
quocientes entre os elementos de A e B, 
tomados ordenadamente, forem todos 
iguais. 
Se A = {a, b, c} é diretamente proporcional 
a B = {x, y, z}, então 
a b c
k
x y z
   
 
Exemplo: 
Os conjuntos {4, 12, 10} e {6, 18, 15} são 
diretamente proporcionais, pois 
4 12 10 2
6 18 15 3
   
 
IMPORTANTE: 
Os conjuntos são diretamente 
proporcionais pois de modo a manter o 
quociente constante, o numerador e o 
denominador devem aumentar ou 
diminuir ao mesmo tempo. 
 
NÚMEROS INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS 
Um conjunto de números A é dito 
inversamente proporcional a um outro 
conjunto de números B, se e somente se, os 
produtos entre os elementos de A e B, 
tomados ordenadamente, forem todos 
iguais. 
Se A = {a, b, c} é inversamente 
proporcional a B = {x, y, z}, então 
a x b y c z k      
Exemplo: 
Os conjuntos {2, 5, 4} e {50, 20, 25} são 
inversamente proporcionais, pois 
2 50 5 20 4 25 100      
IMPORTANTE: 
Os conjuntos são inversamente 
proporcionais pois de modo a manter o 
produto constante, se aumentarmos um 
fator o outro deve diminuir 
simultaneamente. 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
Divisão direta 
Dividir o número N em partes diretamente 
proporcionais aos números a, b, c ... é 
encontrar os números x, y, z, .., tais que: 
x y z ... N
x y z
...
a b c
    


  

 
 
Exemplo: 
Dividir o número 320 em partes 
diretamente proporcionais aos números 5, 
7 e 4. 
Resolução: 
Sejam x, y e z as partes desejadas. 
 
 
ARITMÉTICA 
NÚMEROS PROPORCIONAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
x y z 320
x y z
5 7 4
   


 

 
→ Um arti ício prático para a resolução 
desse tipo de sistema é introduzir a razão k 
de proporcionalidade. Assim: 
x = 5k y = 7k z = 4k 
Substituindo na 1° equação: 
5k + 7k + 4k = 320 
16k = 320 
k = 20 
Logo: x = 5k = 100; y = 7k = 140 e z = 4k 
= 80 
 
Divisão inversa 
Dividir o número N em partes 
inversamente proporcionais aos números 
a, b, c, ... é encontrar os números x, y, z, ... 
tais que: 
x y z ... N
x y z
...
1 1 1
a b c
    


   



 
Exemplo: 
Dividir o número 390 em partes 
inversamente proporcionais aos números 
2, 5 e 6. 
Resolução: 
Consideremos as partes como sendo x, y e 
z. Então 
x y z 390
x y z
1 1 1
2 5 6
   


  



 
→ Em primeiro lugar vamos tirar o MMC 
dos denominadores das frações: 
MMC (2, 5, 6) = 30 
1 15 1 6 1 5
; e 
2 30 5 30 6 30

   

 
x y z
15 6 5
30 30 30
  
Em seguida, abandonemos os 
denominadores comuns às frações: 
x y z
15 6 5
  
Agora devemos proceder como na divisão 
direta: 
x = 15k y = 6k z = 5k 
Substituindo na 1* equação: 
15k + 6k + 5k = 390 
26k = 390 
k = 15 
Logo: x = 15k = 225; y = 6k = 90 e z = 5k 
= 75 
 
Divisão direta e inversa 
Dividir o número N em partes diretamente 
proporcionais aos números a, b, c, ... e 
simultaneamente inversamente 
 
 
ARITMÉTICA 
NÚMEROS PROPORCIONAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
proporcionais a  ,  ,  ..., é encontrar os 
números x, y, z, ..., tais que: 
x y z ... N
x y z
...
1 1 1
a b c
  
    


  
   

 
Exemplo: 
Dividir o número 1010 simultaneamente 
em partes diretamente proporcionais a 
números 4; 3; e 5 e simultaneamente 
inversamente proporcionais a 3; 8 e 2. 
Resolução: 
Sejam x, y, z as partes desejadas. Daí: 
x y z 1010
x y z
1 1 1
4 3 5
3 8 2
   


  

  

 
x y z
4 3 5
3 8 2
  Ꝥ 
x y z
32 9 60
24 24 24
  
Em seguida, abandonamos os 
denominadores comuns às frações: 
x y z
32 9 60
  
Agora devemos proceder como na divisão 
direta: 
x = 32k y = 9k z = 60k 
Substituindo na 1ª equação 
32k + 9k + 60k = 1010 
101k = 1010 
k = 10 
Logo: x = 32k = 320; y = 9k = 90 e z= 60k 
= 600 
Observação Importante: 
Se não for citado no exercício se a divisão é 
direta ou inversa, fica subentendido que a 
divisão é direta. 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Determine o valor de y – x de modo que 
as sequências (x. 12, 18) e (12, 16, y) sejam 
diretamente proporcionais. 
2) Sabendo-se que as sucessões (4, x, 20) 
e (25, 10, y) são inversamente 
proporcionais, calcule o valor de 
x
y 
3) As sequências (2, 4, y) e (3, x, 15) são 
diretamente proporcionais. Determine o 
valor de x + y. 
4) As sucessões (4, x, 6) e (15, 20, y) são 
inversamente proporcionais. Determine o 
valor de x + y. 
5) Dividir o número 480 em partes 
diretamente proporcionais a 7, 4 e 5. 
 
 
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NÚMEROS PROPORCIONAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
6) Dividir o número 372 em partes 
inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. 
7) Dividir o número 780 em partes 
diretamente proporcionais a 2, 5 e 8 e 
simultaneamente inversamente 
proporcionais a 3,4 e 6. 
8) Dividir o número 795 em partes 
diretamente proporcionais a 
2 4 3
, e 
3 5 10 
9) Dividir o número 198 em partes 
inversamente proporcionais a 
3 5 3
, e 
4 2 8 
10) Dividir o número 870 em partes 
simultaneamente diretamente 
proporcionais a 
4
2, e 6
3 , e inversamente 
proporcionais a 
2 2
, 6 e 
5 9 . 
11) Determine os valores de x, y e z em 
x y z 580
x y z
43 2
5
   


  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NÚMEROS PROPORCIONAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. 15 7. 160; 300; 320 
2. 2 8. 300; 360; 135 
3. 16 9. 60; 18; 120 
4. 13 10. 135; 6; 729 
5. 210; 120; 150 11. 300; 80; 200 
6. 180; 120; 72