03 - Elasticidade e Plasticidade

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MET242 – Transformação Mecânica dos Metais
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ELASTICIDADE E PLASTICIDADE
							 Analisaremos, agora, as relações entre tensões e deformações, primeiramente, no regime elástico, depois, na transição entre os regimes elástico e plástico e, finalmente, no regime plástico.
ELASTICIDADE LINEAR
Lei de Hooke
e2 e e3 de contração
e1 de tração
Exercício 2.1 (Ref. 3 - p.36)
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Plan1
		Tensão aplicada		Deformação provocada pela tensão nas direções
				1		2		3
		s1
		s2
		s3
Plan2
		
Plan3
		
MBD0003B6BD.unknown
MBD0024EF7E.unknown
MBD0024F1BD.unknown
MBD0024F2D7.unknown
MBD0024F0BC.unknown
MBD0024CCD1.unknown
MBD0024ECA1.unknown
MBD0003C324.unknown
MBD0000FED0.unknown
MBD00038278.unknown
MBD0000F041.unknown
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Caso se deseje obter os valores de s1, s2 e s3 a partir de e1, e2 e e3, basta inverter as equações ao lado, de forma a explicitar s1, s2 e s3 .
O desenvolvimento feito até aqui vale para tensões e deformações principais no regime elástico. 
No entanto, considerando que tensões de cisalhamento não causam deformações lineares em corpos isótropos, pode-se mostrar que equações semelhantes às mostradas acima também são válidas para tensões normais e deformações lineares não principais. 
Existe, também, no regime elástico, uma relação linear entre as tensões tangenciais e as deformações angulares. 
Exercício 2.2 (Ref. 3 - p.36)
	A deformação, em cada direção, será a soma de todas as deformações naquela direção, ou seja:
Esta tarefa fica como exercício.
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DEFORMAÇÃO VOLUMÉTRICA NO REGIME ELÁSTICO
 Como vimos no exercício 2.2, somando membro a membro as três equações 
chega-se a 
ou seja, 
, onde sO é a média aritmética de s1, s2 e s3 .
Observe que a média sO está matematicamente associada à mudança de volume do prisma limitado pelos planos principais. 
Para que D seja nulo (admitindo que n  ½) , deve-se ter sO = 0.
Se s1, s2 e s3 forem positivos, sO também o será. 
A deformação volumétrica, neste caso, será positiva, uma vez que n  0,3 .
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MUDANÇA DE FORMA E DE VOLUME NA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
ESTADO
DE TENSÕES
GENÉRICO
COMPONENTE
HIDROSTÁTICA
COMPONENTE
DESVIADORA
Responsável pela mudança de volume
Responsável pela mudança de forma (deformação plástica)
Exercício 2.3 (Ref. 3 - p.36)
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
Pode-se aceitar que a força F permanece constante durante um alongamento infinitesimal dl.
Neste caso, o trabalho executado será
AO
Supondo que todo o trabalho executado pela força externa é transformado em energia elástica quando o cilindro se alonga de lO até l1 , pode-se escrever
Pode-se decompor a energia elástica nas componentes hidrostática e desviadora:
Energia elástica de distorção
Exercício 2.4 (Ref. 3 - p.36)
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CRITÉRIOS PARA O INÍCIO DA DEFORMAÇÃO PLÁSTICA DE METAIS
 Experimentalmente, observa-se que, quando se carrega um metal além de certo limite, ele não recupera suas dimensões iniciais após o descarrega-mento. 
	Constata-se, também experimentalmente, que durante a deforma-ção plástica não há mudança de volume (D = 0). 
						Além disto, quando se de-forma plasticamente um corpo, a deformação pode continuar ao longo do tempo, uma vez atingido o nível final da solicitação. 
						 O fenômeno denomi-na-se viscoplasticidade e seus efeitos são muito pequenos diante dos da deformação plástica, podendo ser desprezados. 
					 O termo plasticidade reser-va-se aos casos em que a deformação não é função do tempo.
 Será feita, ainda, a suposição de que os corpos apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todas as suas direções (ou seja, são isótropos) e de que a deformação plástica não introduz anisotropia no material que está sendo deformado. 
 Finalmente, aceita-se que a temperatura permanece constante durante a deformação, salvo quando mencionado o contrário.
PRESSUPOSTOS
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COMPORTAMENTO À TRAÇÃO
s1
e1
sB
B
F
A
Y
O
D
E
C
0,2%
s0,2%
Tensão convencional × deformação convencional
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CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO
Tração pura:
Critério de Tresca:
		 a deformação plástica iniciar-se-á quando a máxima tensão de cisalhamento, associada ao estado de tensões causado pelo carregamento externo (tmax), atingir um valor crítico, característico de cada material. 
Sendo um critério geral, deve valer para a tração pura, onde, no mo-mento do escoamento, tem-se s1 = Y , s2 = s3 = 0 .
Assim, obtém-se o valor de to (= Y/2) para o material em análise, já que Y pode ser obtido a partir de um ensaio de tração.
s1 – s3 = Y
A expressão usual para o Critério de Tresca será, então, 
Pode-se demonstrar que o critério não é afetado pela superposição de estados hidrostáticos de tensão.
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Sendo um critério geral, deve valer para a tração pura, onde, no mo-mento do escoamento, tem-se s1 = Y , s2 = s3 = 0 .
A expressão usual para o Critério de Von Mises será, então, 
Critério de Von Mises:
Pode-se demonstrar que o critério não é afetado pela superposição de estados hidrostáticos de tensão.
Exercícios 2.5, 2.6 e 2.7 (Ref. 3 - p.36)
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RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO NO REGIME PLÁSTICO
 Enquanto no regime elástico, como mostrado, a deformação final depende somente do estado final de tensões, o mesmo não ocorre na deformação plástica, onde o estado final de deformações depende:
 do estado final de tensões;
 da seqüência de estados de tensão seguida para se chegar ao estado final de tensões;
 da história do material até o início da seqüência acima.
TENSÃO E DEFORMAÇÃO EFETIVAS
 Dois estados de tensão são mecanicamente equivalentes quando produzem o mesmo efeito em um material, com relação à ocorrência do escoamento plástico.
Define-se tensão efetiva como uma grandeza cuja magnitude seja a mesma para esses estados equivalentes, mesmo que as tensões individuais sejam diferentes:
A deformação efetiva é obtida a partir do trabalho plástico realizado:
Exercício 2.8 (Ref. 3 - p.37)
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LEIS DE LEVY-MISES
Levy (1871) e Von Mises (1913), levando em conta que a responsável pela defor-mação plástica é a componente desviadora do estado de tensões e supondo que se possa desprezar a deformação elástica frente à deformação plástica sofrida pelos metais, formularam uma lei para a relação entre tensão e deformação plástica:
Uma comparação entre as leis de Levy-Mises e as equações correspondentes ao regime elástico
	 mostra uma semelhança entre elas. 
	 				 No regime plástico, substitui-se n por ½ e 1/E por dee/se . A semelhança, porém, é meramente formal.
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SEQÜÊNCIA PARA USO DAS
LEIS DE LEVY-MISES
Deve ser dado o estado inicial de tensões e deformações (s1, s2, s3) e (e1, e2, e3).
Incrementa-se ligeiramente, segundo a sequência de estados de tensão desejada, os valores de s1, s2, s3 até s1’, s2’, s3’ .
Deve ser dada a curva se  ee para o material. A partir de s1, s2, s3 calcula-se se e, a partir de s1’, s2’, s3’ calcula-se se’. Com os valores de se e se’ e com a curva se  ee , avalia-se dee .
Calculam-se de1, de2, de3, considerando, nas equações de Levy-Mises, o valor de dee encontrado, bem como se = se’ , s1 = s1’ , s2 = s2’ e s3 = s3’ .
Adiciona-se: e1 + de1 , e2 + de2 , e3 + de3 , chegando ao estado de deforma-ções e1’, e2’, e3’ .
Dá-se novo incremento a s1’, s2’, s3’ até s1”, s2”, s3” segundo a sequência de estados de tensão desejada, repetindo-se as etapas 3, 4 e 5, até obter-se e1”, e2” e e3” .
Repetem-se os incrementos de tensão até atingir o estado final de tensão, quando, então, obter-se-á o estado final de deformação.
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APLICAÇÕES DAS LEIS DE LEVY-MISES
ENSAIO DE TRAÇÃO:
Sabe-se que, em qualquer instante, s1 0; s2 = s3 = 0
ENSAIO DE TORÇÃO:
Na superfície da peça, temos: s1 = -s3; s2 = 0
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PROCESSAMENTO EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO:
O estado plano de deformação é caracterizado pelo fato de a deformação ocorrer paralelamente a um plano dado.
			 No presente caso, ocorre apenas no plano 1-3 e não na direção 2.
		Esse tipo de deformação é observado na laminação de placas e chapas largas (largura maior que cerca de 6 vezes a espessura) e, também, no forjamento de placas largas.
Neste caso, e2 = 0 , ou seja, de2 = 0 .
Como o volume se mantém constante, e1 = –e3 .
Como s3 é de compressão e s1 , se for de tração, é menor (em módulo) do que s3, conclui-se que aparece uma tensão de compressão, ao longo da direção 2, que evita a ocorrência de e2. 
 A tensão s2 origina-se do fato de que o metal, ao ser comprimido, tende a aumentar a sua largura, mas o material que não está sendo comprimido, fora da ação das matrizes, se opõe ao alargamento.
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Considerando o critério de von Mises
e as equações obtidas para o estado plano de deformação 
o que equivale a dizer que
ou seja, a tensão necessária para deformar um material no estado plano de deforma-ção é 15% maior do que sob compressão pura. 
Exercício 2.9 (Ref. 3 - p.37)
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		 				 sofrendo o mesmo alongamento. As áreas de suas seções transversais são iguais. Qual parte da carga é suportada pela barra de cobre e qual pela barra de alumínio? 
Exercício 2.1
As duas barras abaixo
Como o alongamento é o mesmo e as seções transversais são idênticas, podemos escrever:
são submetidas a F = 30.000 kgf, 
Dados: 	ECu = 11.000 kgf/mm2	EAl = 7.000 kgf/mm2
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Exercício 2.2
Inverter as equações abaixo, 
(deformação volumétrica)
(constante de Lamé)
(módulo de rigidez)
expressando s1, s2 e s3 em função de e1, e2 e e3 .
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Exercício 2.3
 Dado um pequeno cubo onde agem s1 = 40 kgf/mm2, s2 = 20 kgf/mm2 e s3 = 6 kgf/mm2, achar as componentes hidrostática e desviadora do estado de tensões vigente.
componente hidrostática:
componente desviadora:
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Exercício 2.4
No momento em que um metal inicia sua deformação plástica sob tração simples, tem-se: 
Para torção, no mesmo momento:
Comparando os valores medidos experimentalmente para Ytr e Yto, chega-se à conclusão que Ytr  1,73 Yto.
Comparar os valores da energia elástica total e de distorção no momento do escoamento nos dois casos.
Dados: n = 0,3 ; E = 21.000 kgf/mm2.
Para tração:
Para torção:
Energia elástica de distorção
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Exercício 2.5
Seja Y a tensão de escoamento à tração de um metal. Qual s1 devo aplicar a este metal para que ele escoe, de acordo com TRESCA, nos casos abaixo?
Tração pura (s1 0; s2 = s3 = 0)
Torção (s1 = -s3; s2 = 0)
Tração biaxial simétrica (s1 = s2 ; s3 = 0)
Tração biaxial assimétrica (s1 = 2s2; s3 = 0)
Tração triaxial (s1 = 2s2 = 2s3)
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Exercício 2.6
Repetir o problema anterior, aplicando von Mises. 
Tração pura (s1 0; s2 = s3 = 0)
Torção (s1 = -s3; s2 = 0)
Tração biaxial simétrica (s1 = s2 ; s3 = 0)
Tração biaxial assimétrica (s1 = 2s2; s3 = 0)
Tração triaxial (s1 = 2s2 = 2s3)
Comparar as previsões dos dois critérios.
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Exercício 2.7
Mostrar que a superposição de um estado hidrostático de tensões a um estado
vigente de tensões não altera as previsões dos critérios de TRESCA e de VON
MISES.
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Exercício 2.8
Para tração, temos:
Para torção, temos:
TRAÇÃO
TORÇÃO
Foram obtidos os gráficos abaixo:
Qual é a relação deles para um gráfico se x ee?
Comente a validade da posição relativa desses gráficos.
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Exercício 2.9
Deseja-se executar o forjamento abaixo em condições de atrito nulo (s1 = 0) e estado plano de deformação (e2 = 0). 
Se s1 = -0,2s3 , qual será o novo valor de s3 para iniciar o processo?
E se s1 = +0,2s3 ?
 Fim deste tópico
				 O limite de escoamento sob compressão pura do aço SAE 1112 é 70 kgf/mm2. 
				 De acordo com o critério de von Mises, qual deve ser o valor de s3 para que a operação se inicie?
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