04 - Métodos de Cálculo de Tensões e Deformações

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MET242 – Transformação Mecânica dos Metais
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MÉTODOS DE CÁLCULO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
INTRODUÇÃO
O emprego dos métodos de cálculo em conformação plástica tem por objetivo determinar os esforços, as tensões e as deformações a que estão submetidas a peça conformada e as ferramentas, a fim de:
 prever possíveis falhas durante o processamento, tais como: imperfeições de escoamento, acúmulo de tensões em regiões críticas, defeitos nos produtos;
 definir o tipo e a capacidade dos equipamentos a empregar;
 definir o número de etapas necessárias ao processamento de uma dada peça metálica.
 Um processo de conformação plástica pode ser analisado como um sistema que envolve parâmetros do material a conformar, do próprio processo e do equipamento, além de características do “tarugo” (metal ainda não deformado) e do produto conformado.
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Ferramentas
Ferramentas
Zona de deformação
Metal não deformado
Produto
Atrito
Fluxo de calor
Sistema de lubrificação
A zona de deformação está relacionada com a distribuição de tensão, deforma-ção, velocidade das partículas e com a pressão global necessária para a opera-ção. 
 Obviamente, as forças aplicadas devem levar o material ao escoamento, mas as tensões não devem criar fraturas localizadas.
 Fenômenos metalúrgicos tais como encruamento, recristalização e fra-tura são importantes, especialmente sob condições de elevadas taxas de defor-mação e/ou elevadas temperaturas. 
 A tensão de escoamento depende fortemente da deformação, da taxa de deformação e da temperatura e assume, geralmente, valores muito difíceis de serem simulados em laboratório.
 O material a ser trabalhado está em contato com ferramentas ou matrizes indeformáveis e o atrito ao longo desta interface, bem como a transferência de calor do material para a matriz são considerações importantes.
Também são importantes os problemas de ordem prática, tais como o desgaste das matrizes, o acabamento superficial do produto e, é claro, sua qualidade mecânico-metalúrgica, como foi mencionado na primeira semana da MET157.
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INTER-RELACIONAMENTO DOS PARÂMETROS DE PROCESSAMENTO
Dados do
material
Velocidade do processo
Tarugo/produto (geometria, volume)
Temperatura das matrizes
Interface / Lubrificação
Taxa de
deformação
Tempo de contato
Distribuição de temperaturas no produto
Tensão de
escoamento
Condições de atrito
Escoamento do metal Esforços / Energia
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HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
 A fim de simplificar os modelos aplicados aos métodos de cálculo, algumas hipóteses devem ser consideradas a respeito do material a conformar, das ferramentas e de algumas variáveis de processamento.
Sobre os materiais a conformar, assume-se que sejam:
 isotrópicos, ou seja, apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todas as direções de solicitação; 
 incompressíveis, não apresentam variação de volume durante o processo. Na realidade, ocorre um pequeno aumento de volume devido ao aumento da densidade de discordâncias;
 contínuos, não apresentam poros ou vazios que comprometam sua continuidade;
 homogêneos e uniformes, apresentam a mesma composição química, morfologia de grãos e distribuição de partículas ao longo de seu comprimento.
Outras hipóteses sobre o material referem-se ao comportamento mecânico, isto é, ao modo de escoamento, no que tange aos campos elástico e plástico e à ocorrência ou não de encruamento.
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Y
Y
Y
Y
Y
Y
Elástico-Plástico com encruamento linear
Rígido-Plástico com encruamento linear
Elástico-Plástico com encruamento normal
Rígido-Plástico com encruamento normal
Elástico - perfeitamente Plástico
Rígido - perfeitamente Plástico
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 O assunto referente à quantificação e ao controle (visando, em geral, à minimização) do atrito existente na interface ferramenta-tarugo será abordado durante o 1.º seminário, no tópico sobre “Atrito e Lubrificação”. (Cap. 3 – Ref. 3)
 Sobre as ferramentas, assume-se que sejam rígidas, ou seja, que não sofram deformações elásticas durante o processo. 
 Sobre o processo, as hipóteses mais importantes referem-se ao coeficiente de atrito, que é assumido como sendo constante ao longo de todo o processo, e à velocidade, que também é assumida constante.
 Quanto à velocidade de deformação, reconhece-se a sensibilidade da tensão de escoamento em relação a ela, por meio da expressão
 Esse assunto já foi mencionado na primeira semana de aula e será, também, bastante detalhado no 1.º seminário. (Item 4.3 – Ref. 3)
 Outros aspectos que interferem nos resultados dos cálculos e que, portanto, também serão abordados no 1.º seminário, referem-se às variáveis metalúrgicas e às limitações de conformabilidade. Tais aspectos são apresentados brevemente nos itens 4.4 e 4.5 da Ref. 3. 
 Como já foi dito, os capítulos 15 da Ref. 1 e 3, 4, 5 e 11 da Ref. 4 constituem excelente fonte de consulta para o 1.º seminário.
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MÉTODOS DE CÁLCULO APLICADOS AOS PROCESSOS DE CONFORMAÇÃO PLÁSTICA
 	As hipóteses anteriormente definidas são hipóteses gerais empregadas na quase totalidade dos métodos desenvolvidos para cálculo de tensões e deformações. As hipóteses particulares de cada método serão proporcionalmente em menor número quanto maior for a precisão do método.
	O método empírico, baseado no “know-how”, tem se mostrado satisfatório naqueles casos em que a resolução dos problemas de transformação mecânica está no âmbito da experiência do pesquisador. Entretanto, os resultados empíricos, apesar de úteis na operação, não levam necessariamente a respostas para novos problemas. Assim, a aplicação de recursos da Mecânica do Contínuo à análise dos processos de Transformação Mecânica dos Metais ganha importância fundamental e se constitui numa disciplina de grande interesse na indústria moderna.
 	Os métodos teóricos que empregam recursos da Mecânica do Contínuo, desenvolvidos para o estudo da transformação mecânica dos metais são os seguintes:
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Num processo de conformação apresentam-se três parcelas de energia:
 a energia uniforme ou de deformação homogênea, relacionada com a modificação das formas e/ou dimensões do corpo metálico
 a energia de atrito relativa à interação existente entre as superfícies da peça trabalhada e das ferramentas
 a energia redundante relacionada às mudanças na direção de escoamento do material durante sua deformação.
	Dessas três parcelas, as duas últimas não contribuem para a qualidade do produto final e dependem diretamente da qualidade e da geometria das ferramentas empregadas.
 Método da Energia Uniforme ou da Deformação Homogênea
 Método do Equilíbrio de Elementos ou Método dos Blocos
 Método do Campo de Linhas de Deslizamento
 Método do Limite Superior de Energia
 Método da Visioplasticidade
 Método da Simulação
 Método dos Elementos Finitos
	Um método será tão mais preciso quanto mais parcelas de energia foremconsideradas durante o cálculo.
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VARIAÇÃO DAS PARCELAS DE ENERGIA EM FUNÇÃO DO ÂNGULO DE CONICIDADE DA FIEIRA DE TREFILAÇÃO.
aótimo
WT
Wp
Wr
Wf
Wf : trabalho necessário para vencer o atrito na interface metal-ferramenta. 
Wr : “trabalho redundante”, devido a processos de cisalhamento interno. Não leva à variação de forma. 
Wp : “trabalho de deformação plástica” ideal. Não depende do ângulo a. 
WT : trabalho total de trefilação em matrizes cônicas.
 	 WT = Wp + Wf + Wr 
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 É o método mais simples e menos preciso de todos, pois assume pelo menos duas hipóteses simplificadoras:
Dividindo pelo volume:
MÉTODO DA DEFORMAÇÃO HOMOGÊNEA
 o coeficiente de atrito é considerado desprezível;
 a geometria das ferramentas não afeta o escoamento do material.
 Essas duas hipóteses fazem com que tanto a parcela de energia de atrito quanto a de trabalho redundante sejam desprezadas. Isto obviamente acarreta um erro nos resultados, de forma que esse método serve apenas para uma primeira análise, dando uma idéia da ordem de grandeza dos esforços e tensões.
 Entretanto, se o método for aplicado à tração pura de um corpo de prova cilíndrico, podemos verificar que a totalidade do material, desprezando-se os extremos, está livre para deformar, sem que nenhuma restrição lhe seja imposta externamente. Deste modo, até o momento em que se inicia a estricção, o corpo de prova de tração sofre deformação uniforme ou homogênea. 
 O trabalho externo despendido para tracionar uma barra de diâmetro Æi e comprimento li até uma barra de diâmetro Æf e comprimento lf é dado por:
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 Admitindo-se que a tensão aplicada coincida instante a instante com a tensão de escoamento Y, o trabalho interno relaciona-se com o incremento de energia dWi que irá produzir um aumento de comprimento dl no metal:
Como
e V é constante, 
assumindo que o material de partida esteja recozido (ei = 0):
onde
É razoável definir uma tensão de escoamento média
de modo que: 
Igualando We com Wi , obtemos o esforço de tração: 
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 O resultado obtido pode ser extrapolado, como primeira aproximação, para o esforço de trefilação em uma matriz cônica com ângulo pequeno, sem atrito e desprezando-se o trabalho redundante, ou seja, ignorando a maneira como o metal se deforma no interior da matriz. 
 Naturalmente, neste caso, a tensão de trefilação não poderá exceder a tensão de escoamento do material já trefilado, pois, se assim suceder, a fieira passará a funcionar como uma garra de tração.
 Este método pode ser aplicado a outros processos como forjamento, extrusão e laminação. Entretanto é necessário destacar que em proces-sos reais, onde não ocorre deformação homogênea, os valores calculados desta forma constituem mera primeira aproximação. A discrepância com os valores medidos aumenta com a incidência de fenômenos que afastam o processo das condições ideais de deformação homogênea. 
 É freqüente tentar corrigir essas discrepâncias por meio de fatores de correção que consideram a incidência de tais fenômenos, mas neste caso o método passa a ser de natureza semi-empírica e isto indica que é preferível a escolha de outro método, que se aproxime mais do caso real em questão.
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 Também denominado “slab method” ou método de Sachs, considera o atrito na interface tarugo-ferramentas, bem como a geometria das ferramentas, porém, somente como fator geométrico e não como influente na energia de trabalho redundante. 
MÉTODO DOS BLOCOS
 O método consiste na divisão da região de deformação em elemen-tos infinitesimais e na análise do equilíbrio de esforços de um dado elemento na direção de variação predominante das tensões, o que permite calcular a distribuição de tensões em todo o material.
 Para sua utilização, supor-se-á que, em todos os pontos do corpo que está sendo deformado, as direções principais das tensões podem ser consideradas como um sistema coordenado de referência e que o estado de tensões que atua sobre o corpo é tal que as tensões variam predominantemente numa das direções, podendo ser consideradas uniformes nas outras. 
	 Além disso, admitir-se-á que o efeito do atrito está confinado a uma pequena zona na interface de contato com a matriz e que o estado de tensões tangenciais produzido pode ser super-posto ao anterior, sem alterar as direções principais, que permanecem basicamente as mesmas. O coeficiente de atrito é assumido constante.
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 A aplicação das equações de equilíbrio em um bloco (elemento infinitesimal) nas condições mencionadas conduz, geralmente, a uma equação diferencial como esta:
onde x é a coordenada correspondente à direção na qual as tensões variam pre-dominantemente, enquanto sx , sy e sz são as tensões principais corresponden-tes às direções x, y e z.
 	 A função f é linear em sx , sy e sz e inclui o efeito do atrito e a incidência dos parâmetros geométricos do processo. 
 	O efeito do encru-amento pode ser levado em conta na integração da equação diferencial, a qual pode, eventualmente, não admitir uma solução analítica, devendo, então, ser resolvida numericamente.
 		Equações deste tipo apresentam-se em processos em estado plano de deformações (laminação de chapas, estiramento de placas por forjamento) e em processos de simetria axial (trefilação, extrusão).
 É importante observar que, embora não seja encontrada, nos casos reais, a situação de equilíbrio na zona de deformação, a hipótese de equilíbrio de blocos pode ser considerada como válida. 
 Apesar de se basear num estado de tensões fictício, os resultados obtidos com a sua aplicação constituem uma aproximação bastante razoável para a solução de muitos problemas práticos. 
 Como exemplo de aplicação, analisaremos um processo de trefilação plana de tiras através de uma matriz com ângulo total 2a , sem atrito:
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2a
x
dx
hf
hi
w
si = 0
 O equilíbrio de forças, na direção x, contém duas componentes:
Devido às tensões longitudinais:
Devido à pressão da matriz nas interfaces
2.
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	A condição de equilíbrio de forças na direção longitudinal estabelece:
que tem a forma característica das equações diferenciais obtidas por este método.
	Resta, então, estabelecer condições de contorno adequadas e resolvê-la.
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S
	O critério de von Mises estabelece, para o estado plano de deformação:
Então:
	No presente caso, s1 = sx e, para ângulos pequenos, aceita-se sy = -p .
Assim: 
Para calcular a constante de integração, basta recorrer à condição de contorno: 
h = hi  si = 0
	Tais efeitos, bem como o encruamento, serão considerados no estudo dos processos e o métododos blocos levará, então, a resultados mais precisos. 
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MÉTODO DO CAMPO DE LINHAS DE DESLIZAMENTO
	Foi a primeira abordagem à análise dos processos de transformação mecânica dos metais que não utilizou a hipótese de deformação homogênea. O método, por isso, exige um desenvolvimento matemático e geométrico muito mais complicado do que o empregado nos dois métodos anteriores, mas leva a resulta-dos muito mais precisos, embora ele somente se aplique a situações de estado plano de deformação.
	A teoria do campo de linhas de deslizamento baseia-se no fato de que qualquer estado genérico de tensões em deformação plana consiste na soma de 2 estados de tensão: um, de pressão hidrostática, e outro, de cisalhamento puro.
: tensão referente à aplicação do esforço externo
s3
: tensão resultante do atrito ferramenta/metal
s1
: tensão resultante da reação ao alargamento, por parte do me- tal fora da zona de deformação 
 O critério de Tresca estabelece que o escoamento se dá quando 
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Portanto, no momento do escoamento, 
Pressão hidrostática
p
Cisalha-mento puro
k
k é a tensão-limite de escoamento em cisalhamento puro.
(lembrando que s2 é de compressão e, por convenção, negativa)
e
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é do tipo
constituem um sistema “estaticamente determinado”, com condições de contorno.
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	Se a este sistema de três equações, forem acrescentados o resultado da análise da velocidade de deformação para o estado plano de deformação e a condição de incompressibilidade, respectivamente,
e
,
a solução referente a esse sistema estaticamente determinado estará perfeita-mente equacionada, tanto em termos de tensões (com as três primeiras equações) como em termos de velocidades (com as duas últimas). 
	Entretanto, geralmente as condições nos limites da zona de deformação definem sistemas estaticamente indeterminados e, então, a solução matemática direta é, senão impossível, muito difícil. 
				 Adota-se, então, o “método inverso”, isto é, procura-se propor um campo de linhas de deslizamento tal que a distribuição de velocidades seja compatível com as condições existentes nos limites da zona de deformação e, então, completa-se a sua definição ajustando-o às condições limites para as tensões.
		 Inúmeros trabalhos publicados na literatura, especialmen-te até 1970, propõem campos de linhas de deslizamento para as mais diversas aplicações. O trabalho n.º 3, citado no pé da página 459 da Ref. 1 (Dieter), traz vários exemplos e referências bibliográficas sobre o tema.
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s1 = - p + k
s2 = - p
s3 = - p - k
 A teoria do campo de linhas de deslizamento para deformação plana permite a determinação das tensões num corpo deformado plasticamen-te, mesmo quando a deformação ao longo deste corpo não é uniforme.
		 Além de exigir condições de deformação plana, esta teoria pressupõe um material rígido idealmente plástico, isotrópico, contínuo e homogêneo. 
			 Para tal material, não susceptível a encruamento, k é constante a cada ponto, mas p pode variar.
 			O estado de tensões a cada ponto poderá ser caracterizado pelo módulo de p e pela direção de k .
 As linhas de tensão cisalhante máxima (linhas de deslizamento) situam-se em duas direções mu-tuamente ortogonais a e b e, na direção tangente a cada um de seus pontos, a deformação cisa-lhante é máxima e a deformação linear é nula. 
Equações diferenciais
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	As linhas de deslizamento indicam a direção de k a cada ponto e, por meio da rotação da linha de deslizamento entre um ponto e outro do campo, podem-se deduzir as variações no módulo de p.
 				 	 Note que as linhas de desliza-mento a que nos referimos aqui são apenas construções geométricas que definem as direções características de equações diferenciais parciais hiperbólicas para a tensão sob condições de deformação plana.
 			 Estas linhas de deslizamento nada têm a ver com as linhas de deslizamento observadas na micrografia da superfície de um metal deformado plasticamente. 
sx = - p - ksen2f
sz = - p
sy = - p + ksen2f
txy= kcos2f
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p + 2kf = x = constante ao longo de uma linha a
p - 2kf = h = constante ao longo de uma linha b
Tais equações constituem parte do citado sistema hiperbólico, assim denominado devido ao método empregado na sua elaboração e às propriedades da sua solução, que leva a duas equações, uma para cada tipo de linha de deslizamento, conhecidas como equações de Hencky:
que permitem calcular a variação do módulo da pressão hidrostática p com a mudança de direção das linhas de deslizamento (nas quais a tensão de cisalhamento é máxima e igual a k).
				 Além da distribuição de pressões, é necessá-rio verificar as condições limites das velocidades de deformação, determinando-se os valores das velocidades para toda a malha de linhas de deslizamento, com um hodógrafo de velocidades calculado a partir das equações de Geiringer, que são obtidas pela combinação das equações referentes às velocidades Vx e Vy :
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e
, com as equações encontradas: 
sx = - p - ksen2f
sy = - p + ksen2f
txy= kcos2f
O resultado é, novamente, um sistema hiperbólico de equações diferenciais com derivadas parciais para as velocidades, cujas características coincidem com as das linhas de deslizamento,
e cuja solução leva às equações de Geiringer:
e
,
ao longo de uma linha de deslizamento a :
ao longo de uma linha de deslizamento b :
sendo Va e Vb as componentes do vetor velocidade nas direções tangenciais, no ponto considerado, à linha a e à linha b , respectivamente. 
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 Na construção do campo de velocidades, deve ser atendida a condição de que a dissipação de potência nas zonas plásticas deve ser positiva e, assim, verificar a consistência das tensões e do campo de velocidades, estabelecidos de acordo com as condições de contorno.
 Essa condição, em notação tensorial, pode ser representada da seguinte maneira:
O que equivale a
O uso adequado deste produto de tensores (  matrizes), considerando os valores das tensões (normais e cisalhantes) e das velocidades de deformação (lineares e angulares) determinados em cada ponto da malha de linhas de deslizamento, e integrados ao longo de toda a zona de deformação leva a valores precisos dos esforços necessários para a deformação plástica em estado plano de deformação.
	Em resumo, o procedimento para a solução de um problema com este método é dado pela seqüência de etapas e pelo fluxograma a seguir: 
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SEQÜÊNCIA DE ANÁLISE E DECISÃO NA APLICAÇÃO DO MÉTODO
Verificar as condições limites das tensões e construir um campo de linhas ortogonais (a e b), aplicando as propriedades das linhas de deslizamento;Calcular as tensões em cada interseção das linhas, aplicando as equações de Hencky;
Verificar as condições limites das velocidades de deformação, determinando os valores das velocidades para toda a malha de linhas com auxílio do hodógrafo de velocidades e baseando-se nas propriedades das equações de Geiringer; se o campo de velocidades não satisfizer as condições nos limites, o campo de linhas deve ser modificado para nova verificação;
Calcular a potência dissipada; se a potência não for maior ou igual a zero, o campo de linhas deve ser novamente modificado para atender a essa condição e às anteriores, referentes às tensões e às velocidades de deformação.
É interessante concluir que este método, que combina a análise de tensões com a de velocidades, ajusta-se bem aos processos quasi-estacionários (ou sejam, com movimento constante na zona de deformação), tais como a trefilação, a extrusão e a laminação, embora com a restrição de que o processo se dê em condições de estado plano de deformação.
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Condições-limite das tensões
Condições-limite das velocidades
Construção de um campo de linhas de deslizamento e cálculo das tensões
Cálculo das velocidades associadas
Modificação do Campo de Linhas de Deslizamento
SOLUÇÃO COMPLETA
s
n
n
n
s
s
PONTOS DE PARTIDA
FLUXOGRAMA PARA APLICAÇÃO DO MÉTODO
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	Um dos trabalhos mais antigos nesta área, realizado por Hill e Tupper em 1948, propõe um campo de linhas de deslizamento para o estiramento de uma fita metálica através de uma matriz em forma de cunha, sem atrito, para pequena redução, numa situação similar à do caso usado como exemplo nos métodos anteriores.
 A tensão de estiramento média para este caso foi obtida integran-do-se a distribuição de pressão ao longo da zona de deformação:
 O esforço de trefilação é:
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PROPRIEDADES DAS LINHAS DE DESLIZAMENTO
Ao longo da linha, a pressão p varia proporcionalmente ao ângulo f formado pela tangente à linha, em cada ponto, com o eixo dos x;
O ângulo f e a pressão p se alteram de um mesmo valor ao se mudar de uma linha da família b a outra linha da mesma família, ao longo de uma linha a qualquer; (esta propriedade é demonstrada no 1.º teorema de Hencky)
Se o valor da pressão p é conhecido em um ponto da rede de linhas, pode-se calcular os seus valores em todos os outros pontos;
Se uma linha qualquer é uma linha reta, os valores de p, f, sx, sy, txy e das duas constantes de Hencky (h e x) são fixos ao longo dessa linha;
Se um segmento qualquer de uma linha de uma família é uma reta, todos os segmentos correspondentes dessa linha, cortados pelas linhas da outra família, são segmentos retos;
Os segmentos de reta correspondentes de uma família, cortados pelas linhas de outra família têm o mesmo comprimento;
Movendo-se ao longo de uma linha qualquer, os raios de curvatura das linhas da outra família variam, nos pontos de interseção, com a distância percorrida; (esta propriedade é demonstrada no 2.º teorema de Hencky)
O raio de curvatura de uma linha diminui movendo-se ao longo de sua parte côncava;
Se as derivadas das tensões ao longo de uma linha são descontínuas, então a curvatura das linhas da outra família é descontínua através da primeira.
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MÉTODO DO LIMITE SUPERIOR
 para um estado real de tensões |sij|, aplicado a um elemento do corpo, tem-se a deformação |deij|
 para um outro estado de tensões |s*ij|, fictício e admissível, pode-se, então, afirmar que:
	A técnica do limite inferior baseia-se no teorema do trabalho máximo, que pode ser assim enunciado:
	Como temos constatado, não existem soluções exatas para os problemas de conformação plástica de metais, o que torna inevitável a adoção de aproxima-ções e hipóteses simplificadoras.
			 Entretanto, já vimos que a precisão dos resulta-dos de um dado método é tão maior quanto menor a necessidade do uso de tais aproximações.
	 A análise de limites é uma técnica promissora que vem sendo empregada cada vez mais freqüentemente e constitui-se de duas abordagens aproximativas:
	 a solução do limite superior, que fornece um valor que é reco-nhecido como maior ou igual ao esforço real, e a do limite inferior, que fornece um valor que é reconhecido como menor ou igual ao esforço real. 
			 	 			 O esforço real encontra-se, então, entre essas duas soluções.
onde d(vol) é o elemento de volume
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	O que significa dizer que, para uma deformação |deij| o trabalho “realizado” pelas tensões admissíveis |s*ij| está sempre abaixo do real e o seu valor máximo corresponde ao realizado pelo estado real de tensões.
	A técnica denominada de limite inferior requer, portanto, um campo de tensões estaticamente admissível, que satisfaça as equações de equilíbrio e as condições limites para as tensões, sem violar o critério de escoamento.
	Então, na determinação de uma tensão, como limite inferior para pro-vocar uma deformação, deve ser obedecida uma seqüência adequada de etapas.
	Por outro lado, na determinação de uma tensão, como limite superior para provocar uma deformação, não é requerida a condição de equilíbrio de tensões. 
	O cálculo dos esforços é efetuado a partir de um campo de velocidades cinematicamente admissível, com um modelo de deformação que satisfaça as condições de contorno para as velocidades e a compatibilidade de velocidades, tensões e deformações. 
		 		 Tal método considera tanto o trabalho para deformação homogênea, quanto o devido às perdas por atrito e o trabalho redundante, apresentando uma elevada precisão e fornecendo resultados superestimados em relação aos obtidos experimentalmente.
	O procedimento para a obtenção do limite superior da tensão, isto é, a tensão que é, no mínimo, suficiente para provocar a deformação, também obedece uma seqüência de etapas.
	Por outro lado, na determinação de uma tensão, como limite superior para provocar uma deformação, não é requerida a condição de equilíbrio de tensões. 
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	Tal como no método do campo de linhas de deslizamento, o campo de velocidades do método do limite superior, para ser cinematicamente admissível, precisa satisfazer um hodógrafo. As cargas são calculadas de modo a tornar operacional esse campo de velocidades. Não é necessário satisfazer condições de equilíbrio de tensões em nenhum ponto do campo.
					 Supõe-se que a deformação se dá pelo movimento do material ao longo de elementos triangulares.
Campo de velocidades
Hodógrafo
1
2
3
4
1
2
3
4
Na construção do campo de velocidades o número de elementos triangulares, n , e o ângulo de inclinação da primeira descontinuidade de velocidade, q , são as variáveis independentes e, no caso da trefilação plana ao lado, foram esco-lhidos de modo a minimizar a tensão média de trefilação. 
		 O fato de o hodó-grafo estar geometricamente coerente com o campo de velocidades proposto garante que este é cinematicamente admissível e que possibilita, assim, o cálculo do esforço (de trefilação no estado plano, neste exemplo) pela apli-cação do método do limite superior. 
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A integração leva ao seguinte resultado para o limite superior do esforço:
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 Soluções de limite superior e de limite inferior para várias reduções, junto com valores medidos da tensão real são mos-tradas pela tensão de trefilação, plotada em função do semi-ângulo da fieira. 
			 Até mesmo na falta de resultados experi-mentais, certamente a tensão real e a solução exata, se estivessem disponíveis, cairiam entre os limites superior e inferior obtidos analiticamente. 
			 Assim, por meio da análise dos limites, uma solução aproximada é determinada com uma estimativa do máximo erro possível. 
 O “gap” entre as soluções de limite superior e inferior pode ser estreitado a partir da determinação de vários limites superiores, seguida da escolha do mais baixo, e da determinação de vários limites inferiores, seguida da escolha do mais alto. 
 Soluções de limites superior e inferior só são obtidas se forem seguidas regras rígidas (inclusive a exigência da descrição formal do comportamento do atrito e das características do material).
LIMITE INFERIOR E LIMITE SUPERIOR NA TREFILAÇÃO DE ARAMES
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SEQÜÊNCIA DE ETAPAS PARA O MÉTODO DO LIMITE INFERIOR
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SEQÜÊNCIA DE ETAPAS PARA O MÉTODO DO LIMITE SUPERIOR
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REPRESENTAÇÃO DO VETOR DE TENSÃO
Representação Vetorial:
Representação Matricial:
Representação Tensorial:
Notação Tensorial:
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