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* * LÓGICA MATEMÁTICA PROF. DRA. DENISE CANDAL Aula 1. Introdução a Lógica Matemática * Conteúdo AULA 1: Introdução a Lógica Matematica. AULA 2: Proposições Simples e Compostas. AULA 3: Tautologias, Contradições e Contingência. AULA 4: Implicação Lógica AULA 5: Equivalência Lógica * AULA 6: Tautologias e Equivalencias Lógicas AULA 7: Noções de Algebra Booleana AULA 8: Argumentos AULA 9: Sentenças AULA 10: Quantificadores. Conteúdo * * AULA 1. INTRODUÇÃO A LÓGICA MATEMÁTICA * Aristóteles e a Lógica Aristóteles: seculo IV a.C. 384 - 322 a.C. Filósofo grego, aluno de Platão e professor de Alexandre, o Grande, Considerado um dos maiores pensadores de todos os tempos, Criador do pensamento lógico. * Sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica. Em sua obra Organum (“ferramenta para o correto pensar”), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos. Aristóteles e a Lógica * Preocupava-se com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. A Lógica não era uma ciência teórica, prática ou produtiva, mas, sim, um instrumento para todas as ciências Aristóteles e a Lógica * Leibnitz e a Lógica Gottfried Wilhelm Leibniz: (1646-1716) filósofo e matemático. Linguagem comum: sujeita a ambigüidades e imprecisões. Não seria o veículo ideal para a condução das idéias e da comunicação. * Objetivo: construir uma linguagem artificial ou uma língua racional Espécie de álgebra ou matemática generalizada As estruturas do pensamento e do raciocínio substituídas pelas estruturas do cálculo. leis sintáticas lógicas, criada a partir do levantamento das idéias mais simples, “alfabeto dos pensamentos humanos” , de forma que as idéias mais complexas pudessem ser desenvolvidas a partir desse “alfabeto”. Leibnitz e a Lógica * Lógica? O Que é? Análise de métodos de raciocínio; Um conjunto de regras para verificação se um pensamento é verdadeiro ou falso; A Lógica está interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos; Lógica é essencialmente o estudo da natureza do raciocínio e as formas de aumentar ou melhorar sua utilização. * Lógica? Para quê?? Aumentar a capacidade de análise crítica dos argumentos utilizados na organização das idéias e dos processos criativos; Melhorar a capacidade de racionalização e organização de idéias; Melhorar a compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas; Melhorar o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. * Lógica: Estudo de Estruturas Todo homem é “galinha”. Marcos é um homem. Portanto, Marcos é “galinha”. Toda loira é burra. Ofélia é uma loira. Portanto, Ofélia é burra. Todo X é Y. Z é X. Portanto Z é Y. * Quantas pessoas devemos ter, no mínimo, numa sala, de modo a que possamos garantir que 4 delas tenham nascido num mesmo mês? 4 pessoas 24 pessoas 48 pessoas 37 pessoas Problema dos Meses do Ano * 4 pessoas em um mesmo mês 12 pessoas 1 em cada mês + 12 pessoas 1 em cada mês + 12 pessoas 1 em cada mês +... Total 36 pessoas com 3 em cada mês Mais 1 pessoa, coincidirá um dos meses. Problema dos Meses do Ano * Quantas pessoas, no mínimo , devemos ter em um grupo para que possamos garantir a existência de pelo menos duas tendo nomes que começam com a mesma letra? (Considere um alfabeto com 26 letras.) Problema do Alfabeto * 26 letras – uma pessoa de cada letra Mais 1 pessoa – a letra dessa pessoa coincidirá com alguma anterior Resposta: 27 pessoas Quantas pessoas, no mínimo , devemos ter em um grupo para que possamos garantir a existência de pelo menos duas tendo nomes que começam com a mesma letra? (Considere um alfabeto com 26 letras.) Problema do Alfabeto * Problema das Meias Tenho 8 pares de meias brancas e 8 pares de meias pretas. Todos os pares estão numa gaveta. Quantas meias, no mínimo, devem ser retiradas da gaveta, para se ter certeza de obter um par de meias da mesma cor? * Problema das Meias Tenho 8 pares de meias brancas e 8 pares de meias pretas. Todos os pares estão numa gaveta. Quantas meias, no mínimo, devem ser retiradas da gaveta, para se ter certeza de obter um par de meias da mesma cor? 3 meias !!! * Em uma caixa, há 7 lenços brancos, 9 cinzas e 10 amarelos. Lenços serão retirados ao acaso, de dentro dessa caixa. Quantos lenços, no mínimo, devem ser retirados ao acaso, de dentro dessa caixa, para que se possa garantir que, dentre os lenços retirados, haja um de cada cor? Problema dos Lenços * Em uma caixa, há 7 lenços brancos, 9 cinzas e 10 amarelos. Lenços serão retirados ao acaso, de dentro dessa caixa. Quantos lenços, no mínimo, devem ser retirados ao acaso, de dentro dessa caixa, para que se possa garantir que, dentre os lenços retirados, haja um de cada cor? Problema dos Lenços Pior das hipóteses: 10 amarelos 9 cinzas 1 branco 20 lenços * Nathalia tem uma blusa (B), uma saia (S) e uma calça (C). Uma das peças é vermelha, uma é branca e a outra é amarela, não necessariamente nessa ordem. Somente uma das afirmações abaixo é verdadeira: B é vermelha S não é vermelha C não é amarela Quais das cores das peças B , S e C , nessa ordem? Problema das Roupas * Somente uma das afirmações abaixo é verdadeira: Verdadeira: B é vermelha Falsa: S não é vermelha Falsa: C não é amarela Assim são verdades: S é vermelha. C é amarela. Problema das Roupas * Falsa: B é vermelha Verdadeira: S não é vermelha Falsa: C não é amarela Assim são verdades: B não é vermelha. C é amarela. Somente uma das afirmações abaixo é verdadeira: Problema das Roupas C seria vermelha * Falsa: B é vermelha Falsa: S não é vermelha Verdadeira: C não é amarela Assim são verdades: B não é vermelha. S é vermelha. Somente uma das afirmações abaixo é verdadeira: C é branca B é amarela Problema das Roupas * Problema das ovelhas Um pastor está com suas ovelhas numa estrada. Uma delas anda na frente de outras duas, uma anda entre duas e uma anda atrás de duas. Quantas eram as ovelhas? * Problema das ovelhas Um pastor está com suas ovelhas numa estrada. Uma delas anda na frente de outras duas, uma anda entre duas e uma anda atrás de duas. Quantas eram as ovelhas? 3 ovelhas !!! * (a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m (b) pelo menos duas delas são do sexo feminino (c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês (d) pelo menos uma delas nasceu num dia par (e) Pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro Um jantar reune 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é: (VUNESP) Problema do Jantar * (a) Pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m (b) Pelo menos duas delas são do sexo feminino (c) Pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês (d) Pelo menos uma delas nasceu num dia par (e) Pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro Um jantar reune 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é: (VUNESP) Problema do Jantar * Três irmãs — Ana, Maria e Cláudia — foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra vestiu branco, e a terceira, preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem eram. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. O anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade. Ele foi capaz de identificar quem era cada irmã. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram... Problema das Irmãs * A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. 1a hipótese: Ana está de azul. * A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. Ana diz sempre a verdade!!! Esta irmã – azul – não pode ser Ana. Neste caso ela responderia: “Ana está de Azul” Portanto: Ana não está de Azul. 1a hipótese: Ana está de azul. * A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu:“Cláudia é quem está de branco”. 2a hipótese : Ana está de branco * A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu:“Cláudia é quem está de branco”. Ana diz sempre a verdade Esta irmã – branco – não pode ser Ana. Neste caso ela responderia: “Eu sou Ana” Portanto: Ana não está de branco Logo: Ana está de Preto. 2a hipótese : Ana está de branco * Ana veste preto e sempre diz a verdade... A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. * Ana veste preto e sempre diz a verdade... A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; A de branco disse: “Eu sou Maria”; A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. Assim, Cláudia está de branco e Maria está de azul. * Problema da Lagarta Uma lagarta sobe em uma árvore. Todos os dias sobe 7 metros porém, à noite, escorrega e desce 5 metros. Ao anoitecer do 15º dia, a subida tem fim. Qual a altura dessa árvore? * Problema da Lagarta Uma lagarta sobe em uma árvore. Todos os dias sobe 7 metros porém, à noite, escorrega e desce 5 metros. Ao anoitecer do 15º dia, a subida tem fim. Qual a altura dessa árvore? Subiu 2m Subiu mais 2m Em 14 dias = sobe 28 m No 15 dia pela manhã, sobe mais 7 = 28+7=35 m * Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e o outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade. Que pergunta você faria? Problema das Portas * Pergunte a qualquer um deles: Qual a porta que o seu companheiro apontaria como sendo a porta da liberdade? O mentiroso apontaria a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro (o sincero) diria que é a porta da liberdade. O sincero, sabendo que seu companheiro sempre mente, diria que ele apontaria a porta da morte como sendo a porta da liberdade. Problema das Portas * Você é prisioneiro de uma tribo indígena que conhece todos os segredos do Universo e portanto sabem de tudo. Você está para receber sua sentença de morte. O cacique o desafia: "Faça uma afirmação qualquer. Se o que você falar for mentira você morrerá na fogueira, se falar uma verdade você será afogado. Se não pudermos definir sua afirmação como verdade ou mentira, nós te libertaremos. O que você diria? Problema da Sentença * Afirme “Eu morrerei na fogueira.” Lembre-se: mentira-fogueira, verdade-afogado. Se você realmente morrer na fogueira, isto é uma verdade, então você deveria morrer afogado, mas se você for afogado a afirmação seria uma mentira, e você teria que morrer na fogueira. Problema da Sentença * Raquel, Julia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Sabe-se que: Essas pessoas formam quatro casais; e Carolina não é esposa de Paulo. Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antonio, Paulo e Rita estão sentados, conversando. Quem é a esposa de Antônio ? Problema dos Casais * Fernando, Carolina, Antonio, Paulo e Rita estão sentados, conversando Raquel Julia Rita Carolina Fernando Paulo Gustavo Antonio Problema dos Casais * A mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel Raquel Julia Rita Carolina Fernando Paulo Gustavo Antonio Problema dos Casais * Carolina não é esposa de Paulo. Raquel Julia Rita Caroline Fernando Paulo Gustavo Antonio NÃO Problema dos Casais * Carolina não é esposa de Paulo. Raquel Julia Rita Caroline Fernando Paulo Gustavo Antonio NÃO Problema dos Casais * Problema do Roubo A loja de Abul foi roubada, mas as jóias foram recuperadas. Havia três suspeitos: seus nomes eram Abdul, Ibn e Hassib. No julgamento, os acusados deram os seguintes depoimentos: Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. Hassib: Sim, o ladrão fui eu! - Mais tarde, dois deles confessaram ter mentido. Quem era o ladrão ? * Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo * Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo * Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo * Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo * Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo * Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Problema do Roubo Verdade!!! * Abdul cometeu o crime: p Ibn cometeu o crime: q Hassib cometeu o crime: r Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~p Ibn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~r Hassib: Sim, o ladrão fui eu! r Dois deles confessaram ter mentido. Mentira!!! Problema do Roubo Verdade!!! Mentira!!! * Problema dos Camelos Beremis Samir, o Homem que Calculava, e seu companheiro viajam num camelo pelo deserto. * Problema dos Camelos Brigam 3 irmãos por uma herança deixada pelo pai que morrera. Eram 35 camelos. O velho destinara 1/2 para o mais velho, 1/3 para o do meio e 1/9 para o mais novo. * Problema dos Camelos 35 camelos 1/2 irmão mais velho 1/3 irmão do meio 1/9 irmão mais novo * Problema dos Camelos Dar o camelo em que montavam. Total: 36 camelos. irmão mais velho 36/2 = 18 camelos. irmão do meio, 36/3 = 12 camelos. irmão caçula, 36/9 = 4 camelos. Soma dos camelos dos irmãos: 18 + 12 + 4 = 34 E Beremis Samir, O Homem que Calculava, ganhou 1 camelo... * * * * LÓGICA MATEMÁTICA E LÓGICA JURÍDICA: RELAÇÕES PARA A SALA DE AULA. João Paulo Attie, UESC – jpattie@uesc.br Afonso Henriques, UESC – henry@uesc.br Professor de Matemática – Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC. Professor de Matemática – Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC. * LÓGICA MATEMÁTICA E LÓGICA JURÍDICA: RELAÇÕES PARA A SALA DE AULA. João Paulo Attie, UESC – jpattie@uesc.br Afonso Henriques, UESC – henry@uesc.br Professor de Matemática – Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC. Professor de Matemática – Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC. * Ponto de vista da Lógica: esses argumentos têm a mesma estrutura. * Conclusão: Os dois apontariam a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro diria ser a porta da liberdade. Portanto, é só seguir pela outra porta. * Conclusão: Mesmo que eles pudessem prever o futuro, cairiam neste impasse e você seria libertado. * *
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