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AULA 4
Prof. Antonio Viana Matias
BEM-VINDO À DISCIPLINA
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
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AULA 4
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AULA 4
AULA 04 – PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO GRÁFICO
	Nesta aula será abordado o seguinte assunto:
 A utilização do método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear.
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
MÉTODO GRÁFICO
	O método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono convexo, que contém os pontos representativos das possibilidades.
	Essas possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais das inequações que representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto convexo, que é a solução do sistema de inequações. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Num modelo matemático, existem três conjuntos de elementos:
Variáveis de decisão e parâmetros: as variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;
Restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis);
Função Objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO GRÁFICO 
Exemplo 1
	A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. 
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
Devido à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade produtiva de 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas grossas por dia. O custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 200 mil reais para uma capacidade produtiva de 2 de lâminas finas, 
1 de lâminas média e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
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AULA 4
Variáveis de decisão:
	X1 = nº de dias de operação da fábrica de São Paulo
	X2 = nº de dias de operação da fábrica do Rio de Janeiro
 Parâmetros:
	Lâminas fina, média e grossa
Restrições: 
	Necessidade mínima de cada uma das lâminas: 
 16 fina; 6 média e 28 grossa
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser minimizada: 
		ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
- Restrições técnicas: 
	lâmina fina 8 X1 + 2 X2  16 
	lâmina média X1 + X2  6 
	lâmina grossa 2 X1 + 7 X2  28 
 
- Restrições de não negatividade: X1  0 e X2  0 
 
	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada solução apresentada.
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE CADA INEQUAÇÃO
Dividir a restrição da inequação pelos coeficientes de cada variável:
 lâmina fina 8 X1 + 2 X2  16 (2; 8) 
 lâmina média X1 + X2  6 (6; 6) 
 lâmina grossa 2 X1 + 7 X2  28 (14; 4) 
ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
	Os pontos solução do problema, correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas de X1 e X2. No problema em estudo, temos quatro possíveis pontos solução: 	
A (0; 8)
B (0,8; 5,4)
C (2,8; 3,2) 
D (14; 0) 
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
	Para sabermos qual dos quatro pontos irá minimizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
	- A (0; 8)  ZMín. = 100.000 (0) + 200.000 (8) = 1.600.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. não utilizará a fábrica de São Paulo e utilizará 8 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.600.000,00.
	- B (0,8; 5,4)  ZMín. = 100.000 (0,8) + 200.000 (5,4) = 1.160.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. utilizará 0,8 dia a fábrica de São Paulo e utilizará 5,4 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.160.000,00.
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
C (2,8; 3,2)  ZMín. = 100.000 (2,8) + 200.000 (3,2) = 920.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. utilizará 2,8 dias a fábrica de São Paulo e utilizará 5,4 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 920.000,00.
D (14; 0)  ZMín. = 100.000 (14) + 200.000 (0) = 1.400.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. utilizará 14 dias a fábrica de São Paulo e não utilizará a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.400.000,00.
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
Exemplo 2
Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por dia se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem um pizzaiolo? 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
Variáveis de decisão:
	X1 = Qtd. de pizzas produzidas
	X2 = Qtd. de calzones produzidos
 Parâmetros:
	Pizza, calzone e queijo
Restrições: 
	capacidade diária de produção de pizzas e calzones e a quantidade de queijo disponível
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 18 X1 + 22 X2
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
- Restrições técnicas: 
pizza	 X1  128 (128; 0) 
calzone	 X2  72 (0; 72) 
Queijo 	 40 X1 + 60 X2  5000 (125; 83) 
- Restrições de não negatividade: X1  0 e X2  0 
 
 As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
	Para sabermos qual dos três pontos irá maximizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
	
- A (0; 72)  ZMáx. = 18 (0) + 22 (72) = 1.584, esta solução indica que o pizzaiolo não fabricará nenhuma pizza e fabricará 72 calzones, e a pizzaria terá um lucro de R$ 1.584,00.
	
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
B (15; 72)  ZMáx. = 18 (15) + 22 (72) = 1. 854, 
 esta solução indica que o pizzaiolo fabricará 15 pizzas e 
 72 calzones, e a pizzaria terá um lucro de R$ 1.584,00.
	
C (125; 0)  ZMáx. = 18 (125) + 22 (0) = 1.584,
 esta solução indica que o pizzaiolo fabricará 125 pizzas e nenhum calzone, e a pizzaria terá um lucro de R$ 2.250,00.
	
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
Exemplo 3:
	Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as quantidades ótimas de cada serviço, para um certo período de tempo. Os serviços são extremamente divisíveis, valendo os cálculos dos resultados para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os parâmetros técnicos
admitidos na empresa são:
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
- Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 4 unidades do recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B consome 6 unidades do recurso I e 2 unidades do recurso II. No período citado, as quantidades dos recursos não serão menores do que 36 unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
 O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de 
 R$ 800,00 e do tipo B R$ 900,00. No período de tempo citado, a empresa não tem condições de tolerar custo superior a R$ 7.200,00.
O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de B R$ 160,00.
Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para que tenhamos um lucro máximo.
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AULA 4
Variáveis de decisão:
	X1 = Qtd. de serviços tipo A
	X2 = Qtd. de serviços tipo B 
 Parâmetros:
	Recurso I, recurso II e custo de produção
Restrições: 
	Necessidade mínimia dos recursos I e II e o limite de custos de produção
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 70 X1 + 160 X2
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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Restrições técnicas: 
Recurso I	4 X1 + 6 X2  36 (9; 6)
Recurso II	 4 X1 + 2 X2  20 (5; 10) 
 Custo 800 X1 + 900 X2  7200 (9; 8) 
- Restrições de não negatividade: X1  0 e X2  0 
 
	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
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IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
	Para sabermos qual dos três pontos irá maximizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
	- A (0; 72)  ZMáx. = 70 (1,8) + 160 (6,4) = 1.150, 
esta solução indica que a empresa produzirá 1,8 unidades do serviço A e 6,4 unidades do serviço B, e terá um lucro de 
R$ 1.150,00.
	
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AULA 4
IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
B (0; 72)  ZMáx. = 70 (3) + 160 (4) = 850, esta solução indica que a empresa produzirá 3 unidades do serviço A e 
 4 unidades do serviço B, e terá um lucro de R$ 850,00.
- C (0; 72)  ZMáx. = 70 (9) + 160 (0) = 630, esta solução indica que a empresa produzirá 9 unidades do serviço A e nenhuma unidade do serviço B, e terá um lucro de R$ 630,00.
	
	
MÉTODOS QUANTITATIVOS
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AULA 4
Nesta aula você aprendeu:
	- A utilização do método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear.
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AULA 4
Na próxima aula você vai aprender:
- A utilização do método Simplex para a solução de problemas de Programação Linear.
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