Quantificadores e Negativas em Lógica Matemática

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LÓGICA MATEMÁTICA
PROF. DRA. DENISE CANDAL 
Aula 10. Quantificadores 
1
Quantificador Universal
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A) e o seu conjunto verdade
 Quando todos os elementos de A satisfazem a p(x), podemos dizer que para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira, ou ainda, qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira.
 
A sentença aberta p(x) não tem valor logico, a menos que se atribua valor a x. 
No entanto, a sentença aberta p(x) com o simbolo , antes dela, torna-se uma proposição, tendo portanto um valor logico (V ou F).
O simbolo  , referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição (V ou F). 
Conclusão
Quantificador Universal 
Ao operador logico  damos o nome de quantificador universal. 
 
Quantificador Existencial
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A, (A) e o seu conjunto verdade 
Quando Vp não é vazio , então um elemento, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentença aberta p(x), e podemos afirmar:
 
“Existe pelo menos um xA tal que p(x) é verdadeira“
“Para algum xA, p(x) é verdadeira”
“Existe xA tal que p(x)”
“Para algum xA, p(x)”
Quantificador Existencial
Simbolicamente:
“Existe pelo menos um xA tal que p(x) é verdadeira“
“Para algum xA, p(x) é verdadeira”
“Existe xA tal que p(x)”
“Para algum xA, p(x)”
A sentença aberta p(x) não tem valor logico, a menos que se atribua valor a x. No entanto, a sentença aberta p(x) com o simbolo  , antes dela, torna-se uma proposição, tendo portanto um valor logico (V ou F).
O simbolo , referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição (V ou F). 
Conclusão
Quantificador Existencial
Ao operador logico  damos o nome de quantificador existencial. 
Exemplo
A={3,5,7} e p(x)= x é primo
A={3,4,5} e p(x)= x é par
Quantificador de Existência e Unicidade
Existe um e um só tal que p(x).
Valor Lógico
 
Valor Lógico
V
V
F
V
V
V
 
Negação de Quantificador
Negação de proposição com quantificador universal : 
 
Negação de proposição com quantificador existencial: 
 
Exercício
Escreva as frases abaixo, utilizando os quantificadores. A seguir negue as proposições formadas e retorne a linguagem corrente.
Toda pessoa fala francês
Existe um planeta que é habitável
Exercício
Escreva as frases abaixo, utilizando os quantificadores. A seguir negue as proposições formadas e retorne a linguagem corrente.
Toda pessoa fala francês: x (p(x)) 
Exercício
Escreva as frases abaixo, utilizando os quantificadores. A seguir negue as proposições formadas e retorne a linguagem corrente.
Toda pessoa fala francês: x (p(x)) 
~(x (p(x))) Ficamos com x(~p(x))
Existe uma pessoa que não fala francês. 
Exercício
Escreva as frases abaixo, utilizando os quantificadores. A seguir negue as proposições formadas e retorne a linguagem corrente.
(b) Existe um planeta que é habitável: x (p(x)) 
Exercício
Escreva as frases abaixo, utilizando os quantificadores. A seguir negue as proposições formadas e retorne a linguagem corrente.
(b) Existe um planeta que é habitável: x (p(x)) 
~( x (p(x))) Ficamos com x(~p(x))
Todo planeta não é habitável. 
Negativa com dois quantificadores
Negando
Negativa com dois quantificadores
Negando
Negando o “e”
Todas as pessoas da turma ao lado são bonitas e inteligentes.
 
Negando o “e”
Todas as pessoas da turma ao lado são bonitas e inteligentes.
 
~( x (pq)  (x(~(pq))  ( x(~p~q))
Negando o “e”
Todas as pessoas da turma ao lado são bonitas e inteligentes.
Existe pelo menos uma pessoa da turma ao lado que não é bonita ou não é inteligente.
 
~( x (pq)  (x(~(pq))  ( x(~p~q))
Negando o “e”
Toda pessoa envolvida no processo será contratada e efetivada.
Negando o “e”
Toda pessoa envolvida no processo será contratada e efetivada.
~( x (pq)  (x(~(pq))  ( x(~p~q))
Negando o “e”
Toda pessoa envolvida no processo será contratada e efetivada.
Existe pelo menos uma pessoa envolvida no processo que não será contratada ou não será efetivada.
~( x (pq)  (x(~(pq))  ( x(~p~q))
Negando o “ou”
Existe um elemento na composição da fórmula que contribui de forma positiva ou faz com que vivamos mais.
Negando o “ou”
Existe um elemento na composição da fórmula que contribui de forma positiva ou faz com que vivamos mais.
~( x (pq)  (x(~(pq))  ( x(~p~q))
Negando o “ou”
Existe um elemento na composição da fórmula que contribui de forma positiva ou faz com que vivamos mais.
Todo elemento na composição da fórmula não contribui de forma positiva e não faz com que vivemos mais.
~( x (pq)  (x(~(pq))  ( x(~p~q))
Negando o “se..então”
Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes.
Negando o “se..então”
Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes.
~( x (p→q)  (x(~(p→q))  ( x(p~q))
Negando o “se..então”
Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes.
Existe pelo menos uma pessoa que é pobre e é feliz. 
~( x (p→q)  (x(~(p→q))  ( x(p~q))