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42418 . 7 - Cálculo Integral - 20211.B Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário Nota finalEnviado: 20/05/21 20:20 (BRT) 10/10 Conteúdo do exercício Conteúdo do exercício 1. Pergunta 1 /1 O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato. Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da integração de frações parciais. Porque: II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral da soma de vários termos. Agora, assinale a alternativa correta: Ocultar opções de resposta 1. As asserções I e II são proposições falsas. 2. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 3. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 4. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. Resposta correta 2. Pergunta 2 /1 O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções. De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as afirmativas a seguir: I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções. II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade. III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos de du e um termo independente de integral. IV. A função cos(x) é integrável por esse método. Está correto apenas o que se afirma em: Ocultar opções de resposta 1. I, II e III. Resposta correta 2. I, II e IV. 3. II e III. 4. I, III e IV. 5. II e IV. 3. Pergunta 3 /1 Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como integral por partes. Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração: ( ) Orientar-se pelo LIATE. ( ) Determinação de du e v. ( ) Identificar os tipos de funções. ( ) Substituição do u e dv. ( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: Ocultar opções de resposta 1. 2, 4, 1, 3, 5. Resposta correta 2. 2, 4, 1, 5, 3. 3. 5, 2, 3, 4, 1. 4. 2, 1, 3, 4, 5. 5. 3, 4, 2, 1, 5. 4. Pergunta 4 /1 O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C. Porque: II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). Agora, assinale a alternativa correta: Ocultar opções de resposta 1. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 2. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 3. As asserções I e II são proposições falsas. 4. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. Resposta correta 5. Pergunta 5 /1 A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins. Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir: Está correto apenas o que se afirma em: Ocultar opções de resposta 1. I, II e III. 2. II e IV. 3. II, III e IV. 4. III e IV. 5. I, II e IV. Resposta correta 6. Pergunta 6 /1 A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples é a da integral de uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos de integração da integral definida podem ser manipulados para a resolução dessas integrais de outras maneiras. De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus conhecimentos acerca dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo o intervalo em subintervalos. III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o trabalho dessa força é dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo para esse deslocamento. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: Ocultar opções de resposta 1. V, F, F, F. 2. V, V, F, F. 3. F, F, V, F. 4. V, F, F, V. Resposta correta 5. F, V, F, V. 7. Pergunta 7 /1 As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções. De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: Ocultar opções de resposta 1. V, V, F, V. 2. F, F, V, F. 3. V, V, V, F. Resposta correta 4. V, F,V, V. 5. V, V, F, F 8. Pergunta 8 /1 As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x). Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos: 1) x²/√(4 – x²). 2) 1/√(16 + x²). 3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 4) (x² – 16). ( ) Substituição x = 2sen(w). ( ) Substituição x = 4sec(w). ( ) Substituição x = 4tg(w). ( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: Ocultar opções de resposta 1. 1, 4, 3, 2. 2. 2, 3, 1, 4. 3. 1, 4, 2, 3. Resposta correta 4. 1, 3, 2, 4. 5. 2, 1, 3, 4. 9. Pergunta 9 /1 O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do integrando. Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método. IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: Ocultar opções de resposta 1. V, V, V, F. 2. V, V, F, V. Resposta correta 3. V, V, F, F. 4. V, F, F, F. 5. F, F, V, V. 10. Pergunta 10 /1 Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais. Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração: ( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais. ( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. ( ) Substituir os valores nas integrais. ( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. ( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: Ocultar opções de resposta 1. 5, 2, 3, 4, 1. 2. 2, 1, 3, 4, 5. 3. 5, 1, 4, 2, 3. Resposta correta 4. 2, 4, 1, 5, 3. 5. 3, 4, 2, 1, 5
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