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Cálculo 2- metodo de integração

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Apostila de Cálculo II 
 
1 
Apostila de Cálculo II 
 
2 
Antiderivada e Integral Indefinida 
 
 
Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [ ]b,a , é uma função F, tal 
que: 
 
( ) ( )xfx
dx
dF
= para todo x [ ]ba,∈ 
 
 
Notação de Leibniz: 
 
Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma 
função f , no intervalo [ ]ba, é ∫ , notação de Leibniz. 
 O símbolo ∫ ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral. 
 
 ( ) ( )xfdxf(x)
dx
d
=∫ 
 
Exemplo: 
 
 Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é 
 
xxxfDxxf
dx
df 202)()(' =+=== , 
 
então: Uma primitiva de x2
dx
df
= é f(x) = x2 + 0 = x2 ; 
 
 outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 , 
 
Apostila de Cálculo II 
 
3 
 
Assim, a função f ( x ) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é 
uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, 
obtém-se uma infinidade de primitivas. 
A integral ∫ += C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma 
família de
 
 primitivas.
 No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas. 
Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma 
translação vertical . 
 
Significado geométrico da constante de integração “C “: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometricamente:
 a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto 
onde a curva corta o eixo 0y. 
 
 
 
x 
 
y 
y = f (x ) + C1 
y = f (x ) + C2 
 
C1 
y = f (x ) + C3 
 
y = f ( x ) + C4 
 
C3 
 
C2 
 
C4 
 
Apostila de Cálculo II 
 
4 
 
Propriedades da integral indefinida: 
 
 
∫ ∫ ℜ∈= Condedx,f(x)Cf(x)dxC ; 
 
[ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x) 
 
Tabela das integrais indefinidas fundamentais: 
 
Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se: 
 
 
 
( ) ( ) Ixparaxf
dx
Gxd
∈∀= 
 
1. 1nparaC
1n
uduu
1n
n
−≠∫ +
+
=
+
 
2 ∫ +==∫ − Culn
u
duduu 1 
 
3 ∫ += Cadualna uu 
 ∫ += Cedue uu 
4 Csenuduucos +=∫ 
5 ∫ +−= Cucosdusenu 
6 Cutgduusec 2 +=∫ 
7 ∫ +−= Cugcotduueccos 2 
8 Cusecduutg.usec +=∫ 
9 ∫ +−= Cuseccosduugcot.useccos 
10 CucosarcCusenarc
u1
du
2
+−=∫ +=
−
 
ou 
 
 CucosCusen
u1
du 11
2
+−=∫ +=
−
−−
 
11 CugcotarcCutgarc
u1
du
2 +−=+=∫ + ou 
 
CugcotCutg
u1
du 11
2 +−=+=∫ +
−−
 
Apostila de Cálculo II 
 
5 
 
Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x). 
 
 
 
 
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO: 
 
 
 
1) Integração por Mudança de Diferencial 
 
 As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode 
usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫ + . 
Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a 
mudança de variável fica-se com C 
2
3
u
 u 
2
3
2
1
+=∫ . Voltando a variável inicial 
( ) C 1x 
3
2dx 1x 2
3
++=∫ + . 
 Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator 
constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫ du f(u) . Deve-se 
multiplicar por 
k
1
 para manter a igualdade. 
 
 
Exercício Resolvido:
 
 
Calcular dx 75x∫ + 
 Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a 
resolver não está na forma ∫ du f(u) . Pode-se fazer então 
dx 5 . 7 x 5. 
5
1
 dx . .5 
5
1
 7 x 5 dx 7 x 5 ∫ +


=

∫ +=∫ + . Agora tem –se 
 
2
3
u
 
5
1du u
5
1 2
3
2
1
=∫ . Voltando a variável original ( ) C75x 15
2
 dx 75x 3 ++=∫ + 
 
Apostila de Cálculo II 
 
6 
Exercícios: Calcular as integrais: 
 
1) ∫ dx4x cos 
 
2) ( ) dx 1x2 73∫ + 
 
3) ( ) dx 1x3
1x
63
2
∫
+−
−
x
 
 
4) dx x6 - 7 .x 3 2∫ 
 
5) dx 
x
x cos∫ 
 
6) dx5x sen x.5cos 3∫ 
 
7) dx 
x
1
x
11 2
3


∫ 


+
−
 
 
8) ∫ + dx 6x) (1 sen 
 
9) dx 
2x cos
4x sen∫ 
 
10) dx 
4x sen .4x tg
1∫ 
 
 
 
 
2) Integração por Substituição Algébrica 
 
 Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a 
finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. 
O problema é resolvido na nova variável. 
 
Exercício Resolvido: 
 
Apostila de Cálculo II 
 
7 
Calcular a integral I = dx
23x
9x∫
−
 
 
 Fazendo 
3
dtdx
3
2t
xt2x3 =⇒+=∴=− 
 
 
 
ctln2t
t
dt2dt
t
t
3
dt
t
3
2t9
I ++=∫+∫=∫


 +
=∴
 
 
 Voltando para a variável x: 
 
 I = dx
2x3
x9∫
−
 = 3x – 2 + 2 ln (3x – 2 ) + c 
 
 
 
1) Método da Integração por Partes 
 
Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que: 
 
 
∫ ∫ ∫=
=
+=
du v - (u.v) d dv u
du v - u.v) ( d dv u
 du v dv u d(u.v) 
 
 
 
Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular 
por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira 
coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que 
deve seguir os seguintes critérios. 
 
a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫ dv para encontrar a expressão de v. 
Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv. 
 
Apostila de Cálculo II 
 
8 
b) Você deverá obter uma integral ∫ du v que seja mais simples ou pelo menos 
semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você 
efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫ du v será mais simples quando a 
expressão u é simplificada pela diferenciação. 
Exemplos: 
1) Calcular a integral ∫ dx ex x . 
 
Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa 
do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve 
facilmente. Então: 
 
 
xx
x
e dx e vdx du
dx e dv x u
=∫==
==
 
 
 ( ) C1e C x.edx e-e x.dx e . x xxxxxx +−=+−=∫∫ = xe 
 
 
2) Calcular a integral ∫ dx x sen x 
 
Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx 
 
 xcos vdx du
dx x sen dv x u
−==
==
 
 
 Csen xx.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫ = x 
 
 
3) Calcular a integral ∫ dx e x 3x2 
 
Apostila de Cálculo II 
 
9 
Use as expressões dx e dv e x u 3x2 == ; neste caso a integral subsequente deverá 
ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes. 
 
 
3x3x
3x2
e
3
1
 dx e vdx 2x du
dx e dv x u
=∫==
==
 
 
 dxex 
3
2
e 
3
1
. xdx 2x e 
3
1
e 
3
1
. xdx e.x 3x3x23x3x23x2 ∫−=∫−=∫ 
 
 Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫ : 
 
 
3x3x
3x
e
3
1
 dx e vdx du
dx e dv x u
=∫==
==
 
 
 
3x3x3x3x3x e 
9
1
e 
3
1
. xdx e 
3
1
e 
3
1
. xdx e.x −=∫−=∫. 
 
 A integral inicial fica: 
 
 
C e 
27
2
 e x 
9
2
 e 
3
1
. xdx e.x 3x3x3x23x2 ++−=∫ 
 
Exercícios: 
 
Calcular as integrais: 
 
1) ∫ dx x cos x. 
 
2) ∫ dx e .x 2x 
 
Apostila de Cálculo II 
 
10 
3) ∫ dx x ln 
 
4) ∫ dxx sec .x 2 
 
5) ∫ dx e . x -x 
 
6) ∫ dx e . x -3x 
 
7) ∫ dx x sen . e x 
 
 
2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas 
 
 
Se o integrando contém expressões das formas 
( ) ( ) ( )n22n22n22 xa ou ax xa +−− , tente fazer substituições imediatas (do tipo 
u=a2-x2, u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no 
integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da 
seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica: 
 
a) Desenhe um triângulo retângulo. 
 
 b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembre-
se de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões 
( ) ( ) ( )222222 xa ou ax ,xa +−− que aparecem na sua integral. 
 
 c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição 
correspondente. 
 
Temos os seguintes tipos de substituições: 
 
Apostila de Cálculo II 
 
11 
(a) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa − , use a substituição: 
dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− . 
 
 
 
 
Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− . 
 
(b) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 ax − , use a substituição 
dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− . 
 
 
 
Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− 
 
(c) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa + , use a substituição 
dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ . 
 
 
 
 
Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ 
 
Apostila de Cálculo II 
 
12 
Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o 
triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura. 
 
 Resolvidos 
 
1) Calcular a integral ( ) dx x16x
1
22
∫
−
 
Faz-se a substituição cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dx com , θ sen 4 x 2 === 
 
( ) ( )
θ cotg
16
1
 -
θcossec 
16
1
 dθ 
θsen
1
16
1
 dθ θ cos 4.
θ cos 4 . θsen 16.
1
 dx 
x16x
1 2
2222
=
∫=∫=∫=∫
−
 
 Voltando a variável original ( )
( ) C 
x
x16
 
16
1
- dx 
x16x
1 2
22
+
−
=∫
−
 
 
 
2) Calcular a integral dx 
x4 
1
2
∫
+
 
Faz- se a substituição θsec 2 x4 e dθ θ sec 2 dx com , θ tg 2 x 22 =+== . 
 
C tgθ secθ ln dθ θsec dθ θ sec 2
θsec 2
1
 dx 
x4 
1 2
2
++=∫=∫=∫
+
. 
 
Voltando a variável original C 
2
x
2
x4
 ln dx 
x4 
1 2
2
++
+
=∫
+
 
 
 
3) Calcular a integral dx 
 x
9x2∫ − 
Faz-se a substituição θ tg 3 9x e dθ θ tg θsec 3 dx com , θsec 3 x 2 =+== . 
 
Apostila de Cálculo II 
 
13 
( )
θ 3tgθ 3
dθ3 dθ θsec 3 dθ 1θsec 3 dθ θtg 3 dθ tgθ secθ 3 
θsec 3
θ tg 3
 dx 
 x
9x
 222
2
−=
=∫ ∫−=∫ −=∫=∫=∫ −
 
 
Voltando a variável original C 
3
x
arcsen39x dx 
 x
9x 22 +−−=∫ − 
 
Exercícios: 
 
Calcular as integrais: 
 
1) ∫
2x-16
dx
 
 
2) ∫
− 25x
dx
2
 
 
3) ( )∫ − 232x6
dx
 
 
4) dx 
81
1
2∫ + x 
 
5) dx 
36
1
2
∫
−x
 
 
6) ∫
+ 2x1x
dx
 
 
 
 
Apostila de Cálculo II 
 
14 
4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais 
 
Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de 
funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p 
é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de 
integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois 
casos: linear e quadrático. 
 
Caso linear 
 
Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares 
(repetidos ou não). 
Consideremos a integral dx 
 x8 - x2 - x
16 - x 68 - x6 - x5
23
23
∫ . 
 
1)
 Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por 
exemplo, a função racional 
 x8 - x2 - x
16 - x 68 - x6 - x5
23
23
 é imprópria, pois o grau do 
numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos 
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
 5 
 x8 - x2 - x
16 - x 68 - x6 - x5
23
2
23
23
+= . A integral transforma-se em 
 dx 
 x8 - x2 - x
16 - x 68 - x6 - x5
23
23
=∫ dx 
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
 5 23
2




+∫ , cuja primeira parcela é trivial. 
Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em 
frações parciais. 
 
2)
 Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2-
8x=x(x-4)(x+2). 
 
3)
 Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas 
através de frações parciais. No caso da função racional 
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
23
2
basta 
escrever 
2x
C
4-x
B
 
x
A
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
 23
2
+
++= . Usando algum método para resolver 
esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e 
Apostila de Cálculo II 
 
15 
resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de 
mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3. 
 
4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a 
substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos 
dx 
2x
314
4-x
38
x
2
 dx 5 dx 
 x8 - x2 - x
16 - x 28 - x4
 5 23
2
∫ ∫ 


+
+−+=



+∫ e esta última integral se 
resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela. 
 
5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k, use k 
frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral 
( ) dx 1xx
2 x 4 x3
2
2
∫
+
++
 usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma 
( ) ( )2
21
2
2
1x
B
 
1x
B
x
A
 
1xx
2 x 4 x3
+
+
+
+=
+
++
. Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1, 
B2=-1. Portanto, temos ( ) dx 1xx
2 x 4 x3
2
2
=∫
+
++
( ) dx 1x
1
 
1x
1
x
2
 2 



+
−
+
+∫ e esta última 
integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada 
parcela. 
 
 
 
Caso quadrático 
 
Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares; 
o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não). 
Consideremos a integral 
. 
 
1)
 Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. 
Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita. 
 
Apostila de Cálculo II 
 
16 
2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como 
x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto 
é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com 
coeficientes reais). 
 
3)
 Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas. 
Devemos escrever a função racional dada na forma 
1x
C
4x
B A x 
4 x 4 x 
20 x 3 x8
223
2
+
+
+
+
=
+++
++
x
. Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0 
e C=5. Dessa forma1x
5
4x
3x 
4 x 4 x 
20 x 3 x8
223
2
+
+
+
=
+++
++
x
 
 
4)
 Finalmente podemos calcular a integral dx 
1x
5
4x
3x dx 
4 x 4 x 
20 x 3 x8
223
2
∫ 


+
+
+
=∫
+++
++
x
 
fazendo substituições imediatas. 
 
5)
 Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k, use 
k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral 
dx 
1)(xx 
2xx
22
3
∫
+
++
 usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma 
( )22
22
2
11
22
3
1x
CxB
 
1x
CxB
 
x
A
1)(xx 
2xx
+
+
+
+
+
+=
+
++
. Resolvendo esta equação, obtemos A=2, 
B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos dx 1)(xx 
2xx
22
3
∫
+
++
 = 
( ) dx 1x
2x
 
1x
2x-1
 
x
2
222
∫ 



+
−
+
+ . Observe que a primeira e terceira parcelas podem 
ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente. 
Reescrevendo tudo desta forma: ( ) dx 1x
2x
 
1x
1
 
1x
2x
 
x
2
2222
∫ 



+
−
+
+
+
− +, o 
problema se resolve facilmente. 
 
Exercícios: 
 
Apostila de Cálculo II 
 
17 
Calcular as integrais: 
 
1) dx 
1x
2
2∫
−
 
 
2) dx 
3x2xx
913x4x
23
2
∫
−+
−+
 
 
3) ( )( ) dx 2x1x
4 - x 29 x18 - x3
3
23
∫
−+
+
 
 
4) dx 
48x- x2
21 -x - x
23
2
∫
−+ x
 
 
5) dx 
4xx
163x x6 x
3
23
∫
+
+++
 
 
 
A Integral Definida 
 
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f ≥ para todo 
[ ]ba, x ∈ . 
 
Apostila de Cálculo II 
 
18 
Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x 
variando em [ a, b]. 
Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo 
conjunto de pontos { }bx,.....,xx,xaP n21,0 === . 
Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma 
[ ]i1-i x,x , sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1 ≤≤ . No caso de tomarmos 
as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub-
intervalos terá comprimento 1-ii xxx −=∆ , para ni1 ≤≤ . 
Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos [ ]i1-i x,x , obtendo um 
valor aproximado para a área da região, que é dado por: 
 
Qualquer uma das somas i
n
1i
*
i x).(x f ∆∑
=
é denominada soma de Riemann para a função 
f, relativa à partição P e aos números xi, para - 
 
Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, 
fazemos ∞→n , obtemos: 
i
n
1i
*
i
n
x).(x flim ∆∑
=∞→
 = [ ] A f)(P, s lim
n
=
∞→
 
Apostila de Cálculo II 
 
19 
 Definição: a integral definida da função f, sendo 0 (x) f ≥ no intervalo [a,b], é 
igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses 
retângulos tende a infinito. 
 
 
Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal 
e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b]. 
A integral definida verifica algumas propriedades: 
 
Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função 
g f ± é integrável em [a,b] e: 
 
[ ] ∫∫ ±=∫ ± bb
aa
b
a
dx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f . 
Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], 
então a função k.f é integrável em [a,b] e : 
 . 
Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f ≥ em [a,b] 
então . 
Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto 
qualquer do intervalo [a,b], então : 
. 
Apostila de Cálculo II 
 
20 
 
Teorema Fundamental do Cálculo Integral 
 
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o 
Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se 
determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a 
partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana 
Teorema :
 Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por 
∫=
x
a
dt (t) f (x) F , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua 
derivada é dada por F'(x)=f (x). 
 
O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a 
partir dele, podemos mostrar que: 
Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫ =
b
a
(a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é 
uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f. 
 
 Resolvidos 
Calcular as integrais definidas: 
1) ∫
2
0
2 dx x
 
 
3
8
3
0
3
2
 
3
x
 dx x
33
2
0
32
0
2
=−==∫ 
2) ∫
pi
0
dx x sen 
 
2(-1)--(-1)) 0 cos (- - cos - x cos dx x sen 0
0
===−=∫ pipi
pi
 
Apostila de Cálculo II 
 
21 
3) ( ) dx1x 21
0
2∫ + 
 
( ) ( )
15
281
3
2
5
1
 x
3
 x2
5
x
 dx 1x2x dx1x 10
351
0
24
21
0
2
=++=



++=∫ ++=∫ + 
4) dx 
x
32
x 2 - x 5 
4
1
3∫ 


+ 
 
6
259
2-
x32
2
3
 x2
2
5xdx x23 x2 - x 5 dx 
x
32
x 2 - x 5 4
1
2-2
3
24
1
3-2
14
1
3 =








+−=∫ 



+=∫ 


+ 
Exercícios: 
Calcular as integrais definidas: 
1) ( )dx 3 x 4 - x4
1
2∫ + 
2) ( )dz 1 - z3z 83
2
3∫ + 
3) ∫
12
7
dz
 
4) dt 
t
3- t
 
9
4
∫ 
5) ( )ds 2s 8
0
3 2∫ + 
6) ( ) dx3 x 2 21
0
∫ +
−
 
7) dx 
9x
x
 
4
0 2
∫
+
 
Apostila de Cálculo II 
 
22 
a b 
y = f (x) 
a b 
 f (x) 
 g (x) 
8) dx 
2
x
 sen 3 
3
0
∫ 

pi
 
9) ( )∫ +4
0
3 dx2x cos .2x sen1 
pi
 
10) dx 
x7
x
 
1
0 3 5
4
∫
+
 
 
 
Aplicações da Integral Definida 
 Cálculo de Áreas 
 Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x), 
o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por: 
 
∫=
b
a
dx (x) f A
 
 
 
 
Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com [ ]ba, x , (x) g (x) f ∈∀≥ , então a área 
limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por: 
 
( )∫= b
a
dx (x) g - (x) f A
 
 
 
Apostila de Cálculo II 
 
23 
a b 
 f (x) 
 g (x) 
c 
 
No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então: 
 
( ) ( )∫+∫= b
c
c
a
dx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se 
(y) g (y) f ≥ no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas 
y = c e y = d será: 
 
[ ]∫= d
c
dy (y) g - (y) f A 
 
 
 
 Resolvidos 
 
 
1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy 2 == . 
 
 a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g 
(x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção 
das regiões. Nessa caso a=0 e b=1. 
 
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
 
Apostila de Cálculo II 
 
24 
 
b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura. 
1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área 
vale ( )2xx − .dx 
2) Obter o valor da área através do cálculo da integral: 
 
( )
3
1
3
x
2
3
xdx xx dx xx A 10
32
3
1
022
11
0
2
=








−=∫ 







−=∫ −= 
 
 
2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2 =+=+ 
 
-1 1 2 3
x
-2
2
4
6
y
 
 
 pontos de intersecção 


==
−==
−=+
3bx
1ax
 x236x-
2
12
 
( ) ( )[ ] ( )
3
32
 x3x
3
xdx 3x2x- dx 3x26x- A 31
2
33
1-
23
1-
2
=



++−=∫ ++=∫ +−−+=
−
 
 
 
3) Obter a área limitada pelas curvas x ye 4x y2 2 2 =+= . 
 
pontos de intersecção 


==
==
=−
2 d y
-2cy
 y4 y2
2
122
 
 
Apostila de Cálculo II 
 
25 
-4 -2 2 4
x
-2
-1
1
2
y
 
. 
( )[ ] [ ] [ ]
3
32
 y4
3
y
-dy 4 y dy 4 y2y dy 4 y2y A 2
2
32
2
2
2
2
22
2
2
22
=



+=+−=+−=−−=
−
−−−
∫∫∫ 
 
 
 Exercícios: 
 
1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2 =+= e as retas 
x=-2 e x=2. 
 
2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g e 2xf(x) 22 =−= . 
 
3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23 +−−= , o eixo x e as 
retas x = -1 e x = 2. 
 
 
Cálculo de Volumes de Rotação 
 
 
 Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de 
volume V. 
 
 
a) Giro em torno do eixo x 
 
Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é 
dado por: 
Apostila de Cálculo II 
 
26 
[ ] dx (x) f V b
a
2∫= pi 
 
b) Giro em torno do eixo y 
 
 Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é 
dado por 
 
[ ] dy (y) f V d
c
2∫= pi 
 
c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x. 
 
Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas 
funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f ≥≥ para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa 
área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por: 
 
 
[ ] [ ] dx (x) g -dx (x) f V b
a
2
b
a
2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dx (x) g - (x) f 2b
a
2∫ pi 
 
d) Giro em torno do eixo y, com a área não apoiada no eixo y. 
 
Seja uma região limitada pelos gráficos de y=c, y=d e pelos gráficos de duas 
funções contínuas f e g , com 0 (y) g (y) f ≥≥ para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa 
área girar em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo volume é dado por: 
 
 
[ ] [ ] dy (y) g -dy (y) f V d
c
2
d
c
2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dy (y) g - (y) f 2d
c
2∫ pi 
 
 
Exemplos: 
 
1) A área limitada pelo gráfico de 1 xy 2 += , retas x = -1 e x = 1 e o eixo x, gera um 
volume V. Determinar o valor de V. 
Apostila de Cálculo II 
 
27 
 
( ) ( )
15
56
x
3
x2
5
x
 dx 1x2x dx 1x V 1
1
3
51
1-
24
1
1-
22 pipipipi =


++=++=+=
−
∫∫ 
 
2) A região limitada pelo eixo y e os gráficos de 3 xy = , y = 1 e y = 8 gira em torno do 
eixo y. determine o volume do sólido resultante. 
 
( )
5
93
3
5
y
 dy dy y V 8
1
3
5
8
1
3
21
1
2
3 2 pipipipi =








=== ∫∫ y 
 
 Exercícios: 
 
1) A área limitada pelos gráficos de 1x
2
1
 y, 2xy 2 +=+= , x = 0 e x = 1 gira em 
torno do eixo x. Determinar o volume do sólido resultante. 
 
2) A área do exercício anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume 
gerado. 
 
3) Esboce a região R e determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em 
torno do eixo indicado para: 
 a) x4 xy 2 −= , y = 0 ; em torno do eixo dos x. 
 b) xy = , x + y =4 , x = 0 ; em torno do eixo dos x.

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