Apostila Raciocínio Lógico com Exercicios

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Raciocínio Lógico 
 
A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à 
Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um 
instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384–322 a.C) em sua obra 
"Órganon", distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (1815–
1864), em seu livro "A Análise Matemática da Lógica", estruturou os princípios matemáticos da 
lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana. 
No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em 
interruptores, dando origem aos atuais computadores. Desde 1996, nos editais de concursos já 
inseriam o "Raciocínio Lógico" em suas provas. 
Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é 
relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista 
sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do 
pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é 
matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving 
Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua idéia 
está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos 
argumentos envolvidos nele. 
 
"Lógica: Coerência de raciocínio, de idéias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um 
grupo. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário 
Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio. Assim concluímos que a 
lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer 
propriedades das relações formais entre as proposições. 
Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o 
seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as 
estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou 
conclusões. 
 
Dica: A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos 
públicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática. 
Este é o motivo para que façam paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente 
dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário. 
Concomitantemente com a revisão acima mencionada, devem estudar todas as grandes 
famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê-
los. 
Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido 
treinamento, mesmo os melhores terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível 
nos concursos. 
Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão 
do tipo “charada” ou “quebra-cabeças”. 
Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a 
não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco 
minutos disponíveis para cada questão. 
Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. 
Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no 
tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos 
públicos. 
Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50% dos 
problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de 
raciocínio lógico que estudarão. 
Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para 
avaliação do aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, 
principalmente, através da prática, ou seja, resolução de testes. 
Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina "Raciocínio Lógico". Entretanto, ela 
está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à 
obra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proposições e seus Valores Lógicos 
 
Sentenças ou Proposições 
 
Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da 
afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. 
Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, 
falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de 
modo diferente. 
É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A 
dicção da proposição deve ser considerada algo significante. 
É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o 
significado. 
As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, 
expressam uma idéia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto 
é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. 
As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s... 
 
Considere os exemplos a seguir: 
 
p: Mônica é inteligente. 
q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu. 
r:7>3. 
s: 8+210 
 
Tipos de Proposições 
 
Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em: 
 
- Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não 
ser verdadeiro. 
Exemplo: Julio César é o melhor goleiro do Brasil. 
- Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença 
não admite valor verdadeiro ou falso. 
Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra? 
- Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. 
Exemplo: Mude a geladeira de lugar. 
 
Proposições Universais e Particulares 
 
As proposições serão classificadas em: 
Universais 
Particulares 
 
As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do 
conjunto. 
 
Exemplo 
 
“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P” 
 
Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário. 
 
Exemplo 
 
 “O cão é mamífero”. 
 
As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte 
do conjunto. Exemplo: 
“Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”. 
 
Proposições Afirmativas e Negativas 
 
As proposições também se classificam em: 
Afirmativas 
Negativas 
 
No caso de negativa podemos ter: 
“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”. 
“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não 
é P”. 
 
No caso de afirmativa consideramos o item anterior. 
Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e 
“nenhum S é P”. 
 
Então teremos a tabela: 
 
 AFIRMATIVA NEGATIVA 
UNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E) 
PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O) 
 
Diagrama de Euler 
 
Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler. 
 
 - Todo S é P (universal afirmativa – A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Nenhum S é P (universal negativa – E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Algum S é P (particular afirmativa – I) 
P 
S ou 
P=S 
S P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Algum S não é P (particular negativa – O) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Princípios 
 
- Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 
simultaneamente. 
- Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é 
verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. 
 
a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo”é um proposição verdadeira. 
b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira. 
c) “A Receita Federal pertence aopoder judiciário”, é uma proposição falsa. 
 
As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns 
operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos 
serão representados da seguinte forma: 
 corresponde a “não” 
∧ corresponde a “e” 
∨ corresponde a “ou” 
⇒ corresponde a “então” 
⇔ corresponde a “se somente se” 
 
Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com 
a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar: 
 
• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) 
• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b) 
• Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) 
• Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b) 
 
Exemplo 
 
“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF” 
 
Sejam as proposições: 
p = “Cacilda é estudiosa” 
q = “Ela passará no AFRF” 
S 
P 
ou 
P 
S 
ou 
P=S 
ou 
S 
P 
S 
P 
ou 
S 
P 
ou 
S P 
 
Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma: 
Se p então q (ou p ⇒q) 
 
Exercícios 
 
1. Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim 
como o outro está para 9. Quais são os dois números? 
 
2. Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim 
como b está para 15. Qual o valor de a e de b? 
 
3. Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim 
como b está para 7. Qual o valor de a e de b? 
 
4. A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim 
como o menor está para 19. Quais são os números? 
 
5. A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos 
anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos? 
 
6. O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, 
assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas 
elas pesam 15kg? 
 
7. A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 
87 está para 51. Quais são os números? 
 
8. Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim 
como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b? 
 
9. Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma 
proporção. Qual o valor da quarta proporcional x? 
 
10. Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma 
proporção. Qual o valor da terceira proporcional x? 
 
Respostas 
 
1) Solução: Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, 
tiramos que a está para 8, assim como b para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das 
proporções temos: 
 
 
 
Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17. 
Substituindo estes valores na proporção teremos: 
 
 
 
Portanto: 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex5
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex5
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex7
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex7
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex8
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex8
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex9
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex9
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex10
http://www.matematicadidatica.com.br/ProporcaoExercicios.aspx#anchor_ex10
 
 
 
2) Solução: Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte 
proporção: 
 
 
 
Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos 
que 12 mais 15 totaliza 27. Substituindo tais valores teremos: 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
3) Solução: Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte 
proporção: 
 
 
 
Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 7 dá 6. 
Substituindo tais valores teremos: 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
4) Solução: Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para 
23, assim como b está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos: 
 
 
 
Sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao 
substituirmos estes valores na proporção teremos: 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
5) Solução: Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do 
enunciado, temos que a está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda 
propriedade das proporções temos: 
 
 
Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo 
estes valores na proporção temos: 
 
 
 
Para calcularmos o valor de a temos: 
 
 
 
 
6) Solução: Identifiquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b. 
Como expresso no enunciado, temos que a está para b, assim como 32 está para 28. Da 
segunda propriedade das proporções temos que: 
 
 
 
Temos que a e b somados resultam em 15, assim como 32 mais 28 resulta em60. 
Substituindo-os na proporção temos: 
 
 
 
Calculemos o valor de b: 
 
 
 
7) Solução: Identifiquemos o primeiro deles por a e o segundo por b. Como dito no 
enunciado, a está para b, assim como 87está para 51. A segunda propriedade das proporções 
nos diz que: 
 
 
 
Temos que a mais b dá 46, assim como 87 mais 51 resulta em 138. Substituindo-os na 
proporção temos: 
 
 
 
Calculemos o valor de b: 
 
 
 
 
8) Solução: Da segunda propriedade das proporções temos: 
 
 
 
Sabemos que a diferença entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta 
em 198. Substituindo tais valores na proporção temos: 
 
 
 
Para calcularmos o valor de a temos: 
 
 
 
 
9) Solução: De acordo com a quarta proporcional temos: 
 
 
 
 
10) Solução: De acordo com a terceira proporcional temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Argumentos 
 
Um argumento é “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma 
proposição definida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal 
que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. Isto é, o conjunto 
de proposições p1,...,pn que tem como consequência outra proposição q. 
Chamaremos as proposições p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposição q de 
conclusão do argumento. 
 
Podemos representar por: 
p1 
p2 
p3 
. 
. 
. 
pn 
q 
 
Exemplos: 
 
1. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. 
 Passei no concurso 
 ________________________ 
  Irei trabalhar 
 
2. Se ele me ama então casa comigo. 
 Ele me ama. 
 __________________________ 
  Ele casa comigo. 
 
3. Todos os brasileiro são humanos. 
 Todos os paulistas são brasileiros. 
 __________________________ 
  Todos os paulistas são humanos. 
 
4. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. 
 Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. 
 __________________________ 
  Todos os jogadores receberão o bicho. 
 
Observação: No casogeral representamos os argumentos escrevendo as premissas e 
separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja 
exemplo extraído do Irving M. Copi. 
 
Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água. 
 Todos os sabões são sais de sódio. 
 ____________________________________ 
Conclusão:  Todos os sabões são substâncias solúveis em água. 
 
Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua 
conclusão. 
Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do 
mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do 
mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão. 
Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, 
chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos 
válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas. 
O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência 
válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo: 
 
1. Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. 
2. Premissa: Lontras são peixes. 
3. Conclusão: Logo, focas vivem no oceano. 
 
Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, 
inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. 
Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo à 
denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão. 
 
Regras de Implicação 
Premissas Conclusão Inferência 
A B A à B 
Falsas Falsa Verdadeira 
Falsas Verdadeira Verdadeira 
Verdadeiras Falsa Falsa 
Verdadeiras Verdadeira Verdadeira 
 
- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou 
falsa (linhas 1 e 2). 
- Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência é inválida (linha 3). 
- Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4). 
Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua 
conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. 
Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento 
consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras. 
 
Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. 
São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo 
de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa 
no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo. 
As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é 
comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação 
do argumento. 
A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras 
“admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu 
oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação. 
Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas 
pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é 
“óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”. 
 
Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede a 
passo a passo por meio do processo chamado “inferência”. 
Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a 
outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. 
Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências. 
Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao 
longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas 
aumenta. 
Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de 
inferência é comumente identificado pelas frases “Conseqüentemente...” ou “isso implica 
que...”. 
 
Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no 
que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser 
classificada com conclusão no contexto de um argumento em particular. 
A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas. 
 
Exemplo de argumento 
 
A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”. 
1. Premissa: Todo evento tem uma causa. 
2. Premissa: O universo teve um começo. 
3. Premissa: Começar envolve um evento. 
4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento. 
5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa. 
6. Conclusão: O universo teve uma causa. 
 
A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto 
com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é 
reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão. 
 
Validade de um Argumento 
 
Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um 
argumento diremos que ele é válido ou não válido. 
A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) 
lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim 
podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: 
 
a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. 
 Exemplo: 
 Todos os apartamentos são pequenos. (V) 
 Todos os apartamentos são residências. (V) 
 __________________________________ 
  Algumas residências são pequenas. (V) 
 
b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. 
 Exemplo: 
 Todos os peixes têm asas. (F) 
 Todos os pássaros são peixes. (F) 
 __________________________________ 
  Todos os pássaros têm asas. (V) 
 
c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. 
 Exemplo: 
 Todos os peixes têm asas. (F) 
 Todos os cães são peixes. (F) 
 __________________________________ 
  Todos os cães têm asas. (F) 
 
Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então 
as conclusões também as seriam. 
Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são 
verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será 
não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão 
falsa. 
Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. 
 
Exemplo 
 
Todas as mulheres são bonitas. 
Todas as princesas são mulheres. 
__________________________ 
 Todas as princesas são bonitas. 
 
Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para 
concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C 
respectivamente e teremos: 
 
Todos os A são B. 
Todos os C são A. 
________________ 
 Todos os C são B. 
 
Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, 
este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é conseqüência da forma 
do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos. 
 
Argumentos Dedutivos e Indutivos 
 
O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da 
veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente 
derivada das premissas. 
 
Exemplo 
 
Todo ser humano tem mãe. 
Todos os homens são humanos. 
__________________________ 
 Todos os homens têm mãe. 
 
O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para 
retificar as conclusões. 
 
Exemplo 
 
O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol. 
O Vasco é um bom time de futebol. 
O Cruzeiro é um bom time de futebol. 
______________________________ 
 Todos os times brasileiros de futebol são bons. 
 
Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as 
fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos 
válidos ou não válidos para argumentos indutivos. 
 
Argumentos Dedutivos Válidos 
 
Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos 
argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e 
não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um 
argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos 
alguns argumentos dedutivos válidos importantes. 
 
Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos 
chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens. 
 
Exemplo 
 
Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. 
José foi aprovado no concurso. 
___________________________ 
 José será demitido do serviço. 
 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 ou 
 
 
 
 
Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como 
modus tollens). 
Obs.: ( )qp → é equivalente a ( )pq → . Esta equivalência é chamada de contra positiva. 
 
Exemplo 
 
“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não 
me ama”; 
 
Então vejamos o exemplo do modus tollens. 
 
Exemplo 
 
Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação. 
Não há inflação. 
______________________________ 
Não aumentamos os meios de pagamentos. 
 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
 
 ou 
 
 
Se p, então q, 
.
.
q
p

 
p → q 
q
p

 
Se p, então q, 
.
.
pNão
qNão

 
p → q 
p
q


 
 
 
Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente 
este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas 
indesejáveis. 
 
Exemplo 
 
João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus 
colegas de trabalho estão torcendo por ele. 
Eis o dilema de João: 
Ou João passa ou não passa no concurso. 
Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo. 
Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho. 
_________________________ 
 Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos colegas de trabalho. 
 
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
Argumentos Dedutivos Não Válidos 
 
Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se está construindo 
um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia-a-dia, nós 
denominamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui 
significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou 
inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás 
da argumentação). 
Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente, 
parecem válidos e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de 
revelar a falha lógica. 
Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, 
então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias. 
A seguir, examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência. 
O primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de 
“falácia da afirmação do consequente”. 
 
Exemplo 
 
Se ele me ama então ele casa comigo. 
Ele casa comigo. 
_______________________ 
 Ele me ama. 
 
 
 
Podemos escrever esse argumento como: 
 p ou q. 
Se p então r 
 
sour
sentãopSe

.
 
p  q 
p→r 
sr
sq

→
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. 
Outra falácia que corre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do 
antecedente”. 
 
Exemplo 
 
Se João parar de fumar ele engordará. 
João não parou de fumar. 
________________________ 
 João não engordará. 
 
Observe que temos a forma: 
 
 
 
 ou 
 
 
 
Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão 
falsa. 
Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas 
de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. 
Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões 
verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão. 
 
Exemplo 
 
Todos os mamíferos são mortais. (V) 
Todos os gatos são mortais. (V) 
___________________________ 
 Todos os gatos são mamíferos. (V) 
 
Este argumento tem a forma: 
 
Todos os A são B. 
Todos os C são B. 
_____________________ 
 Todos os C são A. 
 
Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não-válido, pois as premissas não 
sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a 
conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra. 
 
Todos os mamíferos são mortais. (V) 
Todas as cobras são mortais. (V) 
__________________________ 
Se p, então q, 
.
.
p
q

 
p → q 
p
q

 
Se p, então q, 
.
.
qNão
pNão

 
p → q 
q
p


 
 Todas as cobras são mamíferas. (F) 
 
Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se 
um argumento é válido ou falso. 
Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3|⎯ C é válido ou não, por meio 
das tabelas-verdade, é construir a condicional associada: 
 
(P1P2P3 ...Pn)|⎯ C e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. 
Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o 
argumento dado é um sofisma (ou uma falácia). 
Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não-
válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não 
determinam a validade ou não-validade de um argumento. 
 
O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. 
Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa ser 
chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima. 
Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é 
válido, mas pode ser um pouco confuso. 
Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se 
a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”. 
Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas 
necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas. 
Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert 
Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque 
acreditava em Deus”. 
Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da 
afirmação de Einstein. 
Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser 
reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso 
afirmou que ‘Deus não joga dados’”. 
Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão 
que deveria estar provando. 
Ademais, Einstein não crianum Deus pessoal preocupado com assuntos humanos. 
 
Exercícios 
 
1. Identificar as premissas e conclusões nos seguintes trechos, cada um dos quais 
contém apenas um argumento: 
 
Foi assinalado que, embora os ciclos de negócio não sejam períodos, são 
adequadamente descritos pelo termo “ciclos” e, portanto, são suscetíveis de medição. 
(James Arthur Estey, Ciclos de Negócios) 
 
2. Cada um dos seguintes trechos contém mais de um argumento. Distingui-los e 
identificar suas premissas e conclusões. 
 
A instituição do longo aprendizado não é favorável à formação de jovens para a 
indústria. Um jornaleiro, que trabalha por peça, é provavelmente ativo, porque extrai o 
benefício de todos os esforços resultantes da sua atividade. Um aprendiz é 
provavelmente preguiçoso, e quase sempre o é, porque não tem qualquer interesse 
imediato em ser outra coisa. 
(Adam Smith, A riqueza das nações) 
 
3. Apenas alguns dos trechos seguintes contêm argumentos. Indicar os que têm 
argumentos e identificar suas premissas e conclusões. 
 
Bem-aventurado é aquele que nada espera, pois nunca será decepcionado. 
( Alexander Pope, Letter to John Gay) 
 
4. Distinguir os argumentos dedutivos e indutivos contidos nos seguintes trechos: 
 
Como os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para 
manobrar a culatra do rifle de Oswald, é óbvio que Oswald não poderia ter disparado três 
vezes – atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma vez – em 5,6 segundos ou menos. 
 
5. Indicar as premissas e conclusões dos argumentos contidos nos seguintes trechos. 
 
É ilógico raciocinar assim: “Sou mais rico do que tu, portanto sou superior a ti”. “Sou 
mais eloquente do que tu, portanto sou superior a ti”. É mais lógico raciocinar: “Sou 
mais rico do que tu, portanto minha propriedade é superior à tua”. “Sou mais eloquente 
do que tu, portanto meu discurso é superior ao teu”. As pessoas são algo mais do que 
propriedade ou fala. 
(Epicteto, Discursos) 
 
 
Respostas 
 
1) Solução: 
Premissa: Os ciclos de negócio são adequadamente descritos pelo termo “ciclos”. 
Conclusão: Os ciclos de negócios são suscetíveis de medição. 
 
2) Solução: 
Primeiro argumento: 
Premissa: Um jornaleiro que trabalha por peça extrai um benefício de todos os esforços 
resultantes da sua atividade. 
Conclusão: Um jornaleiro que trabalha por peça é provavelmente ativo. 
 
Segundo argumento: 
Premissa: Um aprendiz não tem interesse imediato em ser outra coisa, senão preguiçoso. 
Conclusão: É provável que um aprendiz seja preguiçoso, e quase sempre o é. 
 
Terceiro argumento: 
Premissa: É provável que um aprendiz seja preguiçoso, e quase sempre o é. 
Conclusão: A instituição do longo aprendizado não é propensa à formação de jovens para a 
indústria. 
 
3) Solução: Possui um argumento. 
Premissa: Aquele que nada espera nunca será decepcionado. 
Conclusão: Bem-aventurado aquele que nada espera. 
 
4) Solução: Argumento dedutivo. 
Premissa: Os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para 
manobrar a culatra do rifle de Oswald. 
Conclusão: É óbvio que Oswald não poderia ter disparado três vezes – atingindo Kennedy 
duas vezes e Connally uma – em 5,6 segundos. 
Embora a premissa pudesse ter sido estabelecida indutivamente, o presente argumento 
pretende afirmar que sua conclusão deduz-se “obviamente” da premissa de que Oswald não 
podia ter disparado três vezes. 
 
5) Solução: 
Premissa: As pessoas são algo mais do que sua propriedade ou fala. 
Conclusão: “É ilógico raciocinar assim… meu discurso é superior ao teu”. 
Também cada frase separada entre aspas formula um argumento cuja premissa precede, e 
cujas conclusões se seguem à palavra “portanto”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Silogismo 
 
O silogismo é a dedução feita a partir de duas proposições denominadas premissas, de 
modo a originar uma terceira proposição logicamente implicada, denominada conclusão. 
 
Exemplo 
 
Tenho um Escort ou tenho um Focus, não tenho um Escort |⎯ Tenho um Focus. 
Observação: o símbolo é chamado de traço de asserção; É usado entre as premissas e a 
conclusão. Esse silogismo também pode ser representado como: 
Tenho um Escort ou tenho um Focus. 
Não tenho um Escort. 
Logo, tenho um Focus. 
 
Chamado de P a proposição: “Tenho um Escort”, escreve-se: P: Tenho um Escort. 
Chamado de C a proposição: “Tenho um Focus”, escreve-se: C: Tenho um Focus. 
 
Das proposições P e C resulta a proposição “Tenho um Escort ou tenho um Focus”. 
Denotamos: PC: Tenho um Escort ou tenho um Focus. 
Com a negativa da proposição P, tem-se a premissa “Não tenho um Escort”. Escreve-se: ~P: 
Não tenho um Escort (é o mesmo que dizer: “não possuo um carro denominado Escort”). 
Reescrevendo o argumento, obteremos: 
PC, ~P|⎯C 
Ou 
PC 
~P 
Logo, C 
 
Silogismo Categórico de Forma Típica 
 
Chamaremos de silogismo categórico de forma típica ao argumento formado por duas 
premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricas de 
forma típica (A, E, I, O). 
 
Teremos também três termos: 
- Termo menor – sujeito da conclusão. 
- Termo maior – predicado da conclusão. 
- Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na 
conclusão. 
 
Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que 
contém o termo menor. 
 
Exemplo 
 
Todas as mulheres são bonitas. 
Todas as princesas são mulheres. 
________________________ 
 Todas as princesas são bonitas. 
 
Termo menor: as princesas. 
Termo maior: bonitas. 
Termo médio: mulheres. 
Premissa menor: todas as princesas são mulheres. 
Premissa maior: Todas as mulheres são bonitas. 
 
Algumas Regras para a Validade de um Silogismo 
 
- Todo silogismo deve conter somente três termos; 
- O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez; 
- O termo médio não pode constar na conclusão; 
- Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é valido; 
- De duas premissas particulares não poderá haver conclusão; 
- Se há uma premissa particular, a conclusão será particular; 
- Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa. 
 
Atenção: Para determinar se um argumento é uma falácia ou silogismo, deve-se analisar o 
resultado, ou argumento final: quando se chega a um argumento falso, tem-se uma falácia; 
quando se chega a um argumento verdadeiro, tem-se um silogismo. 
 
Exercícios 
 
Tendo em conta os Silogismos que se seguem: 
a) Testa a sua validade (indicando as regras que violam); 
b) Indica o Modo do Silogismo; 
c) Indica a sua Figura. 
 
1. Todas as vacas voadoras são lindas 
Nenhum avião é lindo 
______________________________ 
Algumas vacas voadoras são aviões 
 
2. Nenhum chocolate engorda 
Alguns doces não engordam 
________________________ 
Todos os doces são chocolates 
 
3. O arroz é branco 
O gelo é branco 
_______________ 
O gelo não é arroz 
 
4. Alguns bancos são mobília 
Todos os bancos emprestam dinheiro 
________________________________ 
Nenhum dinheiro é emprestado por mobília 
 
5. Touro é um signo do zodíaco 
O touro pasta 
________________________________ 
Alguns signos do zodíaco não pastam 
 
 
Respostas 
1) Solução: 
a) A conclusão não seguiu a parte mais fraca. A conclusão foi construída indevidamente, 
pois o termo Maior (voadores) é sujeito, e deveria ser o predicado da conclusão, e o termo 
Menor (avião/ões) deveria ser sujeito e aparecer como predicado. O Silogismo é inválido 
b) A E, I 
c) 2ª figura 
 
2) Solução: 
a) O termo em extensão na conclusão (doces), mas não na premissa. De duas premissas 
negativas nada se pode concluir. A conclusão não seguiu a parte mais fraca (deveria ser 
negativa). Silogismo inválido. 
b) E O, A 
c) 2ª figura 
 
3) Solução: 
a) O termo Médio (branco) não se encontra uma única vez em toda a sua extensão. De duas 
premissas afirmativas, não se pode concluir pela negativa.Silogismo inválido. 
b) A A, E 
c) 2ª figura 
 
4) Solução: 
a) existem mais que 3 termos – o termo “branco”, refere-se a conceitos diferentes. O sujeito 
e o predicado da oração encontra-se em toda a sua extensão, mas não nas premissas. De 
duas premissas afirmativas, não se pode tirar uma conclusão negativa. A conclusão não seguiu 
a parte mais fraca (deveria ser particular). Silogismo inválido. 
b) I A, E 
c) 3ª figura 
 
5) Solução: 
a) Mais que 3 termos – “touro”ora é signo ora é animal. Termo em extensão na conclusão 
(pastam), mas não na premissa. Na conclusão o sujeito e o predicado estão trocados. 
Silogismo Inválido. 
b) A A, O 
c) 3ª figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sentenças Abertas 
 
Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como 
verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas. 
 
Exemplos 
 
1. 94:)( =+xxp 
 
A sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a 
equação. Obviamente, apenas um deles, 5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, 
existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como 
.5−=x 
 
2. 3:)( xxq 
 
Dessa maneira, na sentença 3x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. 
Porém, alguns são verdadeiros, como 2−=x , e outros são falsos, como .7+=x 
 
Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e 
podem ser classificadas em abertas ou fechadas. 
A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor 
lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa. 
A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, 
dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro. 
Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se 
sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para 
que )(xe seja verdadeiro, ou falso. 
 
Modificadores 
 
A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” 
(~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição. 
 
Exemplo 
 
p: Jacira tem 3 irmãos. 
~p: Jacira não tem 3 irmãos. 
 
É fácil verificar que: 
1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa. 
2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira. 
 
V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F 
V N4 N4 F 
F 12 é divisível por zero 12 não é divisível por zero. V 
 
Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as 
chamadas tabelas-verdade. 
 
Para negação, tem-se 
 
p ~p 
V F 
F V 
 
Atenção: A sentença negativa é representada por “~”. 
A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t, 
ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”. 
 
Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “ O Brasil possui um grande time de 
futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de Linhas da Tabela Verdade 
 
Tabelas de Verdade 
 
Seja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e R. 
O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar, segundo o princípio de 
bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim: 
 
P 
V 
F 
Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, 
ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, 
ou ambas são falsas. Isto representamos assim: 
P Q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim: 
 
P Q R 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração. 
Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q˅R, ou (Q˄R) → (P↔Q)? 
Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada 
fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade. 
 
Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em: 
 
1º- Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria 
fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) 
→ R, P˄Q, P, Q, R] 
2º) “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem 
receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos. 
O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 
no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula 
contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um 
caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro 
(V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o 
número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os 
átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V 
F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e 
um caso no qual todos átomos são falsos (F F F). 
 
Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos: 
 
P Q R P˄Q (P˄Q) → R ⌐(P˄Q) → R 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos 
aproveitar para explicar como interpretá-los. 
 
Negação 
 
A negação tem o valor inverso da fórmula negada. A saber: 
 
P ¬P 
V F 
F V 
 
Interpretações: "Não P", "Não é o caso de P", "A proposição 'P' é falsa". 
Assim, em uma linguagem “L” na qual P significa "Sócrates é mortal", ¬P pode ser 
interpretada como "Sócrates não é mortal", e, se o primeiro é verdadeiro, o segundo é falso; e 
se o primeiro é falso, o segundo é verdadeiro. 
Interpretar a negação por meio de antônimos também é uma alternativa, mas deve-se ter 
cautela, pois nem sempre é aplicável em todos os casos. No exemplo acima a interpretação 
por meio de antônimos é perfeitamente aplicável, ou seja, se P significa "Sócrates é mortal", ¬P 
pode ser interpretada como "Sócrates é imortal". Por outro lado, em uma linguagem “L” na qual 
Q significa "João é bom jogador", a proposição "João é mau jogador" não é a melhor 
interpretação para ¬Q (João poderia ser apenas um jogador mediano). 
 
Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação: 
 
P ¬P ¬¬P ¬¬¬P 
V F V F 
F V F V 
 
“¬¬P” significa “‘¬P’ é falsa”. 
“¬¬¬P” significa “‘¬¬P’ é falsa”. 
E assim por diante. 
Repare que ¬¬P é equivalente a P, assim como ¬¬P é equivalente a ¬P. 
A negação múltipla traz alguns problemas de interpretação. Interpretando mais uma vez P 
por "Sócrates é mortal", podemos perfeitamente interpretar ¬¬¬P de diversar formas: "Não é o 
caso de que Sócrates não é mortal", "Não é o caso de que Sócrates é imortal", "É falso que 
Sócrates não é mortal", "É falso que Sócrates é imortal" etc. Contudo, nem sempre na língua 
portuguesa a dupla negação de uma proposição equivale à afirmação desta. Muitas vezes a 
dupla negação é apenas uma ênfase na negação. 
 
Exemplos 
 
"Não veio ninguém", "Não fiz nada hoje" etc. 
 
Conjunção 
 
A conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ambas são verdadeiras. A saber: 
P Q PΛQ 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Interpretação: "P˄Q" pode ser interpretada como " P e Q", "Tanto P quanto Q", "Ambas 
proposições 'P' e 'Q' são verdadeiras" etc. 
Assim, em uma linguagem “L”na qual P significa "Sou cidadão brasileiro" e Q significa "Sou 
estudante de filosofia", P˄Q pode ser interpretada como "Sou cidadão brasileiro e estudante de 
filosofia"; o que sóé verdade se P é verdadeira e Q é verdadeira. 
Repare que a conjunção é comutável, ou seja, P˄Q é equivalente a Q˄P, a saber: 
 
P Q P˄Q Q˄P 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F F F 
 
A comutatividade da conjunção traz um problema para formalizar proposições da linguagem 
natural no Cálculo Proposicional Clássico, pois a ordem em que as orações aparecem pode 
sugerir uma sequência temporal. Por exemplo "Isabela se casou e teve um filho" é bem 
diferente de "Isabela teve um filho e se casou". Repare que o mesmo problema não acomete a 
proposição "Isabela é casada e tem filhos", que é equivalente a "Isabela tem filhos e é casada". 
Esta sentença é, portanto, perfeitamente formalizável no Cálculo Proposicional Clássico por 
meio de uma conjunção. 
Proposições que levam a palavra "mas" também podem ser formalizadas pela conjunção. 
Por exemplo, em uma linguagem “L” na qual R significa "João foi atropelado" e D significa 
"João sobreviveu ao atropelamento", as sentenças "João foi atropelado e sobreviveu" e "João 
foi atropelado, mas sobreviveu" podem ambas ser formalizadas assim: R˄D 
Afinal, ambas as proposições afirmam os mesmos eventos na mesma sequência: o 
atropelamento e a sobrevivência de João. A única diferença entre ambas é que aquela que 
leva "mas" expressa que uma expectativa subjetiva não foi satisfeita o que não importa para a 
lógica clássica. 
 
Disjunção 
 
A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. 
A saber: 
 
P Q PVQ 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Repare que a disjunção também é comutativa: 
 
P Q P˅Q Q˅P 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F F 
 
Interpretação: "P˅Q" pode ser interpretada como "P ou Q", "Entre as proposições P e Q, ao 
menos uma é verdadeira". 
Assim, se P significa "Fulano estuda filosofia" e Q significa "Fulano estuda matemática", P˅Q 
pode ser interpretada como "Fulano estuda filosofia ou matemática"; o que só é falso se nem P 
nem Q forem verdadeiras. 
Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto 
na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são 
excludentes. Por exemplo: "Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa", "Nestas 
férias eu vou viajar ou ficar em casa". 
Para estes casos usamos a disjunção exclusiva ou a bi-implicação combinada com a 
negação. 
 
Implicação 
 
A implicação entre duas fórmulas só é falsa se a da esquerda (antecedente) for verdadeira e 
da direita (consequente) for falsa. A saber: 
 
P Q P→Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Repare que a implicação não é comutativa: 
 
P Q P→Q Q→P 
V V V V 
V F F F 
F V V V 
F F V V 
 
Interpretação: "P→Q" pode ser interpretada como "Se P, então Q", "P implica Q", "Se a 
proposição 'P' é verdade, então a proposição 'Q' também é verdade", "A partir de 'P' inferimos 
'Q' ", "P satisfaz Q", "P é condição suficiente de Q". 
Assim, se, em uma linguagem “L”, P significa "O botão vermelho foi apertado" e Q significa 
"O lugar inteiro explode", P→Q pode ser interpretada como "Se o botão vermelho foi apertado, 
o lugar inteiro explode", o que só é falso se o botão vermelho for apertado (verdade de P) e o 
lugar inteiro não explodir (falsidade de Q): 
A interpretação da implicação é uma das mais complicadas. Talvez você tenha estranhado 
que a implicação seja verdadeira quando o antecedente é falso. Ou ainda, você poderia objetar 
"mas e se o botão for apertado, o lugar explodir, mas uma coisa não tiver nada a ver com a 
outra?". 
Basicamente, o que se deve observar é que "O botão vermelho ser apertado" é condição 
suficiente para se deduzir que "O lugar inteiro explodiu", isto é, quando o botão é apertado, o 
lugar deve explodir. Se o botão for apertado e o lugar não explodir, algo está errado, ou seja, P 
não implica Q (P→Q é falso). 
Quando temos na linguagem natural uma proposição que afirma que, a partir de um evento, 
outro segue inexoravelmente (por exemplo: "Se você sair na chuva sem guarda-chuva ou capa 
de chuva, então você vai se molhar") ou uma proposição que afirma que podemos deduzir um 
fato de outro (por exemplo: "Se todo número par é divisível por 2, então nenhum número par 
maior que 2 é primo"), podemos seguramente formalizar estas proposições por meio da 
implicação. 
Mas o contrário, ou seja, interpretar uma implicação na linguagem natural é problemático. 
Podemos estar lidando com uma implicação cujo antecedente e cujo consequente não têm 
relação alguma. Basta, contudo que o antecedente seja falso ou o consequente seja verdadeiro 
para que a implicação seja verdadeira. Nestes casos, é bem difícil dar uma interpretação 
satisfatória para a implicação. 
 
Bi-implicação 
 
A bi-implicação entre duas fórmulas é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou 
ambas são falsas. 
 
P Q P↔Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Repare que a bi-implicação é comutativa: 
 
P Q P↔Q Q↔P 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F V V 
 
Interpretação: "P↔Q" pode ser interpretada como "P se e somente se Q", "P é equivalente 
a Q", "P e Q possuem o mesmo valor de verdade". 
Assim, se P significa "As luzes estão acesas" e Q significa "O interruptor está voltado para 
cima", P↔Q pode ser interpretada como "As luzes estão acesas se e somente se o interruptor 
está voltado para cima", o que só é falso se as luzes estiverem acesas e o interruptor não 
estiver voltado para cima (verdade de P falsidade de Q), ou se as luzes não estiverem acesas e 
o interruptor estiver voltado para cima (falsidade de P e verdade de Q) 
 
Números de Linhas de uma Tabela Verdade 
 
O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número de 
proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: 
 
A tabela-verdade de uma proposição composta, com n proposições simples componentes, 
contém 2 elevado a n linhas. 
Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, procede-se da 
seguinte maneira: 
- Determina-se o número de linhas da tabela- verdade que se quer construir; 
- Observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se a forma das 
proposições que ocorrem no problema; 
- Aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema exigir. 
 
Exemplo 
 
Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p || ~ q) 
 
p q ~ q p || ~ q ~ (p || ~ q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
 
O uso de parênteses 
 
É óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que devem ser 
colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, por exemplo, a expressão p || q || r 
dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições: 
(i) (p || q) || r 
(ii) p || (q || r) que não têm o mesmo significado lógico, pois na (i) o conectivo principal é " || ", 
e na (ii), o conectivo principal é " || ". 
Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as 
proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer. 
A supressão de parênteses nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas 
convenções, das quais são particularmente importante as duas seguintes: 
A "ordem de precedência" para os conectivos é: 
(1º) ~ ; (2º) || e || ; (3º) || ; (4º) || 
Portanto o conectivo mais "fraco" é "~" e o conectivo mais "forte" é " || ". 
 
Assim, por exemplo, a proposição: 
P || q || s || r 
é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa 
condicional há que usar parêntesis: p || (q || s || r) 
e para convertê-la em uma conjunção: (p || q || s) || r 
Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os 
parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. 
Exemplo: 
((~ (~ (p || q))) || (~ p) fica como ~ ~ (p || q ) || ~ p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conectivos 
 
Para compor novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições 
simples, usam-se os conectivos. 
Os conectivosmais usados são: “e”(), “ou”(), “se... então”(→) e “se e somente se”(). 
 
Exemplos 
 
- Mônica é uma mulher bonita e o Brasil é um grande país. 
- Professor Fábio é esperto ou está doente. 
- Se eu comprar um carro, então venderei meu carro antigo. 
- Um número é primo se e somente se for divisível apenas por 1 e por si mesmo. 
 
Conectivo “e” () 
 
Sejam os argumentos: 
p: 3− é um número inteiro. 
q: a cobra é um réptil. 
Com os argumentos acima, podemos compor uma sentença fechada, que expressa os dois 
argumentos: 
“ 3− é um número inteiro e a cobra é um réptil”. 
A sentença acima pode ser representada como pq, podemos receber um valor lógico, 
verdadeiro ou falso. 
 
Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição pq será chamada de conjunção. 
Observe que uma conjunção pq só é verdadeira quando p e q são verdadeiras. 
Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: 
 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Atenção: Os conectivos são usados para interligar duas ou mais sentenças. E toda 
sentença interligada por conectivos terá um valor lógico, isto é, será verdadeira ou falsa. 
Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quanto 
todas as sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros. 
 
Conectivo “ou” () 
 
O conectivo “ou” pode ter dois significados: 
1. “ou” inclusivo: 
 Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. 
 (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente) 
2. “ou” exclusivo: 
 Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. 
 (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa) 
 
Atenção: Estudaremos o “ou” inclusivo, pois o elemento em questão pode possuir duas ou 
mais características, como o exemplo do item 1, em que Elisabete poderá possuir duas ou mais 
qualidades ou características. 
 
Sejam: 
p: 3 é um número inteiro. 
q: o Brasil é pentacampeão mundial de futebol. 
A partir de p e q, podemos compor: 
pq: 3 é um número inteiro ou o Brasil é pentacampeão mundial de futebol. 
Se p e q são duas proposições, a proposição pq será chamada adjunção ou disjunção. 
Observe que uma adjunção pq é verdadeira quando uma das proposições formadoras, p 
ou q, é verdadeira. 
Para a adjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: 
 
p q pq 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Atenção: O conectivo , “ou”, é utilizado para interligar dois ou mais argumentos, resultando 
na união desses argumentos. O valor resultante da união de dois ou mais argumentos somente 
será falso quando todos os argumentos ou proposições forem falsos. 
 
Conectivo “Se... então” (→) 
 
Sejam as proposições abaixo: 
p: 204.5 = . 
q: 3 é um número primo. 
A partir de p e q, podemos compor: 
p→q: se 204.5 = , então 3 é um número primo. 
 
Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p→q é chamada subjunção ou 
condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia.” 
 
1. Podem ocorrer as situações: 
2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 
3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) 
5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse 
sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia) 
 
Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for 
verdadeira e a segunda, q, for falsa. 
Para a subjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: 
 
p q p→q 
V V V 
V F F 
F F V 
F V V 
 
Existem outras maneiras de ler: p→q: 
“p é condição suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária pra p”. 
 
Sejam: 
p: 18 é divisível por 6. 
q: 18 é divisível por 2. 
Podemos compor: 
p→q: se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que se pode ler: 
- “18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é divisível por 2” ou, ainda, 
- “18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é divisível por 6”. 
 
Atenção: Dizemos que “p implica q” (pq) quando estamos considerando uma relação 
entre duas proposições, compostas ou não, diferentemente do símbolo →, que denota uma 
operação entre duas proposições, resultando numa proposição. 
 
Conectivo “Se e somente se” () 
 
Sejam: 
p: .8216 = 
q: 2 é um número primo. 
A partir de p e q, podemos compor: 
pq: 8216 = se e somente se 2 é um número primo. 
Se p e q são duas proposições, a proposição pq1 é chamada bijunção ou bicondicional, 
que também pode ser lida como: “p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é 
condição necessária e suficiente para p”. 
 
Considere, agora, a seguinte bijunção: 
“Irei à praia se e somente se fizer sol.” 
 
Podem ocorrer as situações: 
1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 
2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 
3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti) 
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) 
 
Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas 
falsas ou ambas verdadeiras. 
Para a bijunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: 
 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Devemos lembrar que pq é o mesmo que (p→q)(q→p). 
Assim, dizer “Hoje é sábado e somente se amanhã é domingo” é o mesmo que dizer: “Se 
hoje é sábado, então amanhã é domingo e, se amanhã é domingo, então hoje é sábado”. 
 
Atenção: Dizemos que “p equivale a q” (pq) quando estamos considerando uma relação 
entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo , que denota uma operação 
entre duas proposições, resultando numa nova proposição. 
 
Exemplos: 
 
1. Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas: 
 a) 752:1 =+p ou 652 =+ 
 Temos que pq, com p(V), q(F); portanto, ).(1 Vp 
 
 b) :2p se 842 =+ , então 962 =+ 
 Temos que p→q com p(F), q(F); portanto, ).(2 Vp 
 
2. Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas: 
“se x²-14x+48=0, então x-2=4” 
Como x²-14x+48=0x=6 ou x=8 e x-2=4  x=6, tem-se: 
a) (VV) substituindo x por 6, temos o valor lógico V. 
b) (VF) substituindo x por 8, temos o valor lógico F. 
c) (FV) não se verifica. 
d) (FF) substituindo x por qualquer número real diferente de 6 e 8, temos o valor 
lógico V. 
 
3. Sejam as proposições: 
p: Joana é graciosa. 
q: Fátima é tímida. 
Dar as sentenças verbais para: 
a) p→~q 
Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida. 
b) ~(~pq) 
É falso que Joana não é graciosa ou que Fátima é tímida. 
 
Atenção: O conectivo  é usado quando se quer mostrar que dois argumentos são 
equivalentes. 
Por exemplo, quando dizemos que “todo número par é da forma 2n, n є N”, não é o 
mesmo que dizer que “os números pares são divisíveis por 2”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proposições Simples e Composta 
 
Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também 
denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se 
considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. 
 
As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas. 
 
Exemplos 
 
(1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12. 
 
Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. 
 Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição 
composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). 
Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples 
entre os parênteses, escrevendo simplesmente P. 
 
Exemplos: 
 
(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é 
estudioso e q: Maria é bonita. 
(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita 
e q: Maria é estudiosa. 
(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 
5. 
(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < 
a. 
 
As proposições simples são aquelas que expressam “uma única idéia”.Constituem a base 
da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras 
latinas minúsculas (p, q, r, s, ...). 
 
As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas 
pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, 
S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas 
proposições simples p, q e r. 
 
Exemplos 
 
São proposições simples: 
p: A lua é um satélite da terra. 
q: O número 2 é primo. 
r: O número 2 é par. 
s: Roma é a capital da França. 
t: O Brasil fica na América do Sul. 
u: 2+5=3.4. 
 
São proposições compostas: 
P(q, r): O número 2 é primo ou é par. 
Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul. 
R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. 
 
Não são proposições lógicas: 
- Roma 
- O cão do menino 
- 7+1 
- As pessoas estudam 
- Quem é? 
- Que pena! 
 
Tabela Verdade 
 
Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p,é 
verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F). 
 
p 
V 
F 
 
Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende 
unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles 
univocamente determinados. 
É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição 
composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição 
composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições 
simples componentes. 
 
Proposição Composta - 02 proposições simples 
Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples 
componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são: 
 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira 
proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF 
são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F. 
 
Proposição Composta - 03 proposições simples 
No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r 
as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são: 
 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro 
para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um 
para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF 
sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F. 
 
Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se 
que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. 
Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F. 
 
Exemplos 
 
p : o sol é verde; 
q : um hexágono tem nove diagonais; 
r : 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 
V(p) = F 
V(q) = V 
V(r) = F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tautologia 
 
As proposições que apresentam a tabela-verdade somente com V são chamadas 
logicamente de verdadeiras ou de tautológicas. 
Proposições falsas (contradição): As proposições que apresentam a tabela-verdade somente 
com F são chamadas logicamente de falsas ou de contradições. 
 
Propriedades de proposições 
 
I – Comutativa: pqqp 
 pqqp 
 
II – Associativa: p(qr)(pq)r 
 p(qr)(pq)r 
 
III – Distributiva: p(qr)(pq)(pr) 
 p(qr)(pq)(pr) 
 
IV – Morgan: ~(pq)~p~q 
 ~(pq)~p~q 
 
V – Dupla negação: ~(~p)p 
 
Teorema contra-recíproco 
 
Toda proposição composta pelo conectivo “Se... então” pode ser reescrita em seu sentido 
contrário, mas com o uso da negação nas duas proposições menores, que a compõem. 
p→q equivale a ~q→p 
 
Exemplos 
 
1. “Se um número inteiro é par, então seu quádruplo é par”, que equivale a: “Se o quádruplo 
de um número não é par, então o número inteiro não é par”. 
 
2. Consideremos agora a definição de função injetora: 
 “Uma função f de A em B é injetora se e somente se Axx  21, , sendo 
)()( 2121 xfxfxx  ”, que equivale a: 
 “Uma função f de A em B é injetora se e somente se Axx  21, , sendo 
)()( 2121 xfxfxx == ”, que equivale a: 
 
Observação: O símbolo  significa: “para todo” ou “para qualquer que seja”. 
 
Atenção: Não podemos aplicar valores lógicos para sentenças abertas. 
Enquanto as sentenças se apresentam a tabela-verdade com todos os valores V são 
chamadas de tautologia, as contradições apresentam, em sua tabela-verdade, todos os valores 
com resultados iguais a F. 
 
Exercícios 
 
1. A negação da sentença aberta "5" +y corresponde a: 
a) 5−y 
b) 5+y 
c) 5+y 
d) 5−y 
e) 5−y 
 
2. A sentença negativa de “Hoje é domingo e amanhã não choverá” é: 
a) Hoje é domingo ou amanhã não choverá. 
b) Hoje não é domingo nem amanhã choverá. 
c) Hoje não é domingo, então amanhã choverá. 
d) Hoje não é domingo ou amanhã choverá. 
e) Hoje não é domingo e amanhã choverá. 
 
3. Em uma pequena comunidade, sabe-se que: “nenhum filósofo é rico” e que “alguns 
professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade: 
a) Alguns professores não são filósofos. 
b) Alguns professores são filósofos. 
c) Nenhum filósofo é professor. 
d) Alguns filósofos são professores. 
e) Nenhum professor é filósofo. 
 
4. No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi 
estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dada vai à 
missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dada vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao 
parque e, sempre que Dada vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana, 
a) Dada foi à missa e Didi foi aprovado. 
b) Didi não foi aprovado e Dada não foi visitar tia Célia. 
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado. 
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque. 
e) Dada não foi à missa e Didi não foi aprovado. 
 
5. Considere a proposição “Pedro é estudioso e trabalhador, ou Pedro é bonito”. 
Como Pedro não é bonito, então: 
a) Pedro é estudioso e trabalhador. 
b) Pedro é estudioso ou trabalhador. 
c) Pedro não é estudioso ou não é trabalhador. 
d) Pedro é estudioso e não é trabalhador. 
e) Pedro não é estudioso e não é trabalhador. 
 
6. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de 
chegada dos participantes de uma prova de ciclismo: 
I. Guto chegou antes de Aires e depois de Doda; 
II. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se Aires 
chegou depois de Doda; 
III. Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com Guto. 
Logo: 
a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Doda e junto com Juba. 
b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Doda e junto com Aires. 
c) Aires chegou antes de Doda, depois de Juba e antes de Guto. 
d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Doda. 
e) Juba chegou antes de Doda, depois de Guto e junto com Cacau. 
 
7. Considere a tabela-verdade abaixo, na qual as colunas representam os valores 
lógicos para as fórmulas A, B e AB. sendo que o símbolo  denota o conector ou, V 
denota verdadeira e F denota falsa. 
 
A B AB 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são: 
a) V – F – V – V 
b) V – F – F – V 
c) F – V – F – V 
d) V – V – V – F 
e) F – F – V – V 
 
8. A proposição p→~q é equivalente a: 
a) pq 
b) pq 
c) ~p→p 
d) ~q→p 
e) ~p~q 
 
9. Dizer que” Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é o mesmo que dizer que: 
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. 
b) Se Paulo é paulista, então Pedro é paulista. 
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. 
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
e) Se Pedro não épedreiro, então Paulo não é paulista. 
 
10. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é condição 
suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é 
condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a 
duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: 
a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. 
b) se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. 
c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. 
d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. 
e) a duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 
 
11. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao 
casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não 
afundou. Logo: 
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. 
b) Camile e Carla não foram ao casamento. 
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. 
d) Carla não foi ao casamento e Vanderléia viajou. 
e) Vera e Vanderléia não viajaram. 
 
12. Considere a seguinte tabela-verdade: 
 
p q pq pq 
V V V V 
V F F V 
F V F V 
F F F F 
 
Podemos escrever: 
a) pq é verdade  pq é verdade 
b) pq é verdade  pq é verdade 
c) pq é verdade  pq é verdade 
d) pq é falso  pq é falso 
e) pq é falso  pq é verdade 
 
13. Duas grandezas x e y são tais que: “se x=3, então y=7”. Pode-se concluir que: 
a) se ,3x então 7y 
b) se ,7y então 3x 
c) se ,7=y então 3=x 
d) se ,5=x então 5=y 
e) nenhuma das conclusões acima é válida. 
 
14. Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é 
careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: 
a) Maria é magra e Bernard não é barrigudo. 
b) Bernardo é barrigudo ou César é careca. 
c) César é careca e Maria é magra. 
d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo. 
e) Lúcia e linda e César é careca. 
 
15. Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se 
Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais 
moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais 
velho do que Maria. Então: 
a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro. 
b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. 
c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. 
d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. 
e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 
 
16. Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente 
equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
17. Ou Anais será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se 
Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será 
atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então: 
a) Anais será professora e Anelise não será cantora. 
b) Anais não será professora e Ana não será atleta. 
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta. 
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta. 
e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista. 
 
18. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de 
Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de 
Fernanda. Mas acontece que nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Elisa. Com 
isso, podemos afirmar que: 
a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. 
b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. 
c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. 
d) Se Ana é filha de Elisa, Flávia é filha de Fernanda. 
e) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. 
 
19. Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que: 
a) Todos não-artistas são não-atletas. 
b) Nenhum atleta é não-artista. 
c) Nenhum artista é não-atleta. 
d) Pelo menos um não-atleta é artista. 
e) Nenhum não-atleta é artista. 
 
20. Se os pais dos filhos morenos sempre são morenos, então podemos afirmar que: 
a) Os filhos de não-morenos nunca são morenos. 
b) Os filhos de morenos sempre são loiros. 
c) Os filhos de morenos nunca são morenos. 
d) Os filhos de não-morenos sempre são morenos. 
e) Os pais de filhos morenos nem sempre são morenos. 
 
21. A negação da sentença “Ana não voltou e foi ao cinema” é: 
a) Ana voltou ou não foi ao cinema. 
b) Ana voltou e não foi ao cinema. 
c) Ana não voltou ou não foi ao cinema. 
d) Ana não voltou e não foi ao cinema. 
e) Ana não voltou e foi ao cinema. 
 
22. Todos os médicos são magros. Nenhum magro sabe correr. Podemos afirmar que: 
a) Algum médico não é magro. 
b) Alguém médico sabe correr. 
c) Nenhum médico sabe correr. 
d) Nenhum médico é magro. 
e) Algum médico sabe correr. 
 
23. A negação da proposição “Se os preços aumentam, então as vendas diminuem” é: 
a) Se os preços diminuem, então as vendas aumentam. 
b) Os preços diminuem e as vendas aumentam. 
c) Se os preços aumentam, então as vendas aumentam. 
d) As vendas aumentam ou os preços diminuem. 
e) Se as vendas aumentam, então os preços diminuem. 
 
24. Considere as seguintes premissas: 
“Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática.” 
“Cláudia não é simpática.” 
A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudia: 
 
a) É bonita ou inteligente. 
b) É bonita e inteligente. 
c) É bonita e não é inteligente. 
d) Não é bonita e não é inteligente. 
e) Não é bonita e é inteligente. 
 
25. Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar. Logo: 
a) Jair não está machucado nem quer jogar. 
b) Jair não quer jogar nem está machucado. 
c) Jair não está machucado e quer jogar. 
d) Jair está machucado e não quer jogar. 
e) Jair está machucado e quer jogar. 
 
26. Assinale a alternativa que apresenta a negação da seguinte sentença: “Nenhum 
pescador é mentiroso”. 
a) Algum pescador é mentiroso. 
b) Nenhum mentiroso é pescador. 
c) Todo pescador não é mentiroso. 
d) Algum mentiroso não é pescador. 
e) Algum pescador não é mentiroso. 
 
27. Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de 
vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: 
a) Pelo menos um economista não é médico. 
b) Nenhum economista é médico. 
c) Nenhum médico é economista. 
d) Pelo menos um médico não é economista. 
e) Todos os não médicos são não economistas. 
 
28. Se pba += , então rza += . Se rza += , então rwa −= . Por outro lado, pba += , ou 
0=a . Se 0=a , então 5=+ ua . Ora, 5+ ua . Logo: 
a) 0=− ra 
b) pba + 
c) rwa −= 
d) rwrz −+ 
e) rqpb −+ 
 
Respostas 
 
(01-C) (02-D) (03-A) (04-A) (05-A) (06-A) (07-D) (08-E) (09-A) (10-C) (11-E) (12-D) (13-B) 
(14-A) (15-E) (16-E) (17-A) (18-B) (19-D) (20-C) (21-A) (22-C) (23-E) (24-B) (25-E) (26-A) (27-
D) (28-C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operação com Conjuntos 
 
Em algumas situações, símbolos matemáticos são usados para facilitar a compreensão e o 
estudo de temas mais teóricos, inclusive de outras áreas, como a Lógica Matemática. 
Os diagramas de Venn, desenvolvidos na Teoria dos Conjuntos, são usados para facilitar o 
estudo de afirmações ou sentenças lógicas argumentativas. 
Ao afirmar, por exemplo, que toda banana é uma fruta, mas nem toda fruta é uma banana, 
podemos usar a seguinte representação com diagramas de Venn. 
 
Estamos, com isso, mostrando que o conjunto da banana está contido no conjunto das frutas 
e que o conjunto das frutas contém o conjunto banana. Podemos, ainda, representar que 
banana  frutas e que frutas  banana. 
Em termos de Lógica Matemática, podemos afirmar de algumas maneiras, como: “Toda 
banana é um fruta” ou “No conjunto das frutas, existe o conjunto