AULA 05

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MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ 
 
AULA 05: PROBABILIDADE 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 19 
3. Questões apresentadas na aula 84 
4. Gabarito 109 
 
 Prezado aluno, neste encontro trataremos sobre o tema 
Probabilidade. Tenha uma ótima aula! 
 
1. TEORIA 
Imagine que você possui um dado e vai lançá-lo uma vez. Os 
resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Isso é o que chamamos de 
espaço amostral – o conjunto dos resultados possíveis de um 
determinado experimento aleatório. Chamamos este experimento de 
aleatório pois: antes de executá-lo (jogar o dado) não podemos prever o 
resultado que será obtido; podemos repetir este experimento 
indefinidamente; e após executá-lo várias vezes, esperamos ver um certo 
padrão (neste caso, esperamos que após vários lançamentos tenhamos 
um número parecido de resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6). 
Digamos que só nos interessam os resultados pares. Isto é, apenas 
os resultados 2, 4 e 6. Esse subconjunto do espaço amostral é chamado 
de Evento, sendo composto apenas daqueles resultados que nos são 
favoráveis. 
Conhecendo essas duas definições, podemos definir a probabilidade 
de obter o nosso Evento em um determinado experimento aleatório 
como: 
n(Evento)Probabilidade do Evento=
n(Espaço Amostral)
 
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Na fórmula acima, n(Evento) é o número de elementos do 
subconjunto Evento, isto é, o número de resultados favoráveis; e 
n(Espaço Amostral) é o número total de resultados possíveis no 
experimento aleatório. Por isso, costumamos dizer também que: 
número de resultados favoráveisProbabilidade do Evento=
número total de resultados
 
Em nosso exemplo, n(Evento) = 3 possibilidades, e n(Espaço 
Amostral) = 6 possibilidades. Portanto: 
3 1Probabilidade do Evento= 0,50 50%
6 2
   
 
 Uma propriedade importante do espaço amostral é: a probabilidade 
de ocorrência do próprio espaço amostral é 100%. No caso do dado, a 
probabilidade de obter um dos 6 números existentes é de 100%, pois isso 
sempre vai ocorrer. Na fórmula, teríamos: 
n(Espaço Amostral)Probabilidade do Espaço Amostral= 1 100%
n(Espaço Amostral)
  
 Observe que, sabendo o número total de resultados e o número de 
resultados favoráveis, o cálculo da probabilidade é muito simples. 
Portanto, normalmente a dificuldade dos exercícios está justamente no 
cálculo dessas duas parcelas. Em alguns casos (como no exemplo do 
dado) é possível simplesmente contar os casos possíveis e os casos 
favoráveis. Entretanto, na maioria das vezes será necessário lembrar os 
conceitos de princípios de contagem / análise combinatória para resolver 
a questão. Veja um exemplo a seguir: 
 
0. ESAF – MPOG – 2009) As apostas na Mega-Sena consistem na 
escolha de 6 a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante 
próprio. No caso da escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no 
caso da escolha de 15 números tem-se a aposta máxima. Como ganha na 
Mega-Sena quem acerta todos os seis números sorteados, o valor mais 
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próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-sena ao fazer 
a aposta máxima é o inverso de: 
a) 20.000.000. 
b) 3.300.000. 
c) 330.000. 
d) 100.000. 
e) 10.000. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que a probabilidade de acertar na Mega-Sena é a divisão 
entre o número de resultados favoráveis (isto é, os conjuntos de 6 
números formados com os 15 que preenchemos em nossa cartela) e o 
número de resultados possíveis (os conjuntos de 6 números que podem 
ser formados com os 60 números disponíveis). 
 Quantos conjuntos de 6 números podemos obter a partir de 15 
números marcados? Veja que a ordem dos números não importa (o 
resultado 1, 2, 3, 4, 5, 6 é igual ao resultado 4, 5, 3, 6, 2, 1). Portanto, 
estamos diante de um caso de combinação de 15 números em grupos de 
6, ou simplesmente C(15,6). 
15 14 13 12 11 10(15,6)
6 5 4 3 2 1
C     
    
 
 E quantos conjuntos de 6 números podemos formar com os 60 
números disponíveis na cartela da Mega-Sena? Ora, combinação de 60, 6 
a 6: 
60 59 58 57 56 55(60,6)
6 5 4 3 2 1
C     
    
 
 Portanto, a probabilidade de se acertar na Mega-Sena fazendo a 
aposta máxima (15 números) é dada pela divisão: 
 (15,6)
 (60,6)
resultados favoráveis CP
total de resultados C
  
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 Substituindo nesta expressão os resultados que obtivemos acima, 
temos: 
15 14 13 12 11 10
15 14 13 12 11 106 5 4 3 2 1
60 59 58 57 56 55 60 59 58 57 56 55
6 5 4 3 2 1
P
    
         
         
    
 
 Veja que a questão pediu o inverso de P. Invertendo a expressão 
acima, e simplificando o que for possível, temos: 
1 60 59 58 57 56 55 4 59 58 57 4 5
15 14 13 12 11 10 1 1 13 12 1 10
1 1 59 58 19 2 1 10002,7
1 1 13 1 1 1
P
P
         
 
         
    
 
    
 
 Portanto, o inverso da probabilidade de acertar é aproximadamente 
igual a 10.000. Veja que a probabilidade de acertar é de apenas 0,00001, 
ou 0,001%, mesmo fazendo a aposta máxima! 
Resposta: E 
 
1.1 Eventos independentes 
Qual seria a probabilidade de, em dois lançamentos consecutivos do 
dado, obtermos um resultado par em cada um deles? Veja que temos dois 
experimentos independentes ocorrendo: o primeiro lançamento e o 
segundo lançamento do dado. O resultado do primeiro lançamento em 
nada influencia o resultado do segundo. 
Quando temos experimentos independentes, a probabilidade de ter 
um resultado favorável em um E um resultado favorável no outro é dada 
pela multiplicação das probabilidades de cada experimento: 
P(2 lançamentos) =P(lançamento 1) P(lançamento 2)  
Em nosso exemplo, teríamos: 
P(2 lançamentos) =0,50 0,50 0,25 25%    
Portanto, a chance de obter dois resultados pares em dois 
lançamentos de dado consecutivos é de 25%. 
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Generalizando, podemos dizer que a probabilidade de dois eventos 
independentes A e B acontecerem é dada pela multiplicação da 
probabilidade de cada um deles: 
 
P (A e B) = P(A) x P(B) 
 
Sendo mais formal, também é possível escrever P(A B)=P(A) P(B)  , 
onde  simboliza a intersecção entre os eventos A e B. 
 
Analise essa questão: 
 
1. ESAF – ATRFB – 2009) Para acessar a sua conta nos caixas 
eletrônicos de determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha 
constituída por três letras, não necessariamente distintas, em 
determinada sequência, sendo que as letras usadas são as letras do 
alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras são 
então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por 
cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar 
sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a 
respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo 
da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das 
cinco teclas à disposiçãoe acertar ao acaso as teclas da senha? 
a) 0,001. 
b) 0,0001. 
c) 0,000125. 
d) 0,005. 
e) 0,008. 
RESOLUÇÃO: 
 Na primeira tecla apertada ao acaso temos 5 das 25 letras 
disponíveis. Portanto, a chance dessa tecla conter a primeira letra da 
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senha (que pode ser qualquer uma das 25) é de 5 em 25, isto é, P = 5/25 
= 1/5. 
 Da mesma forma, a chance da segunda tecla apertada ao acaso 
conter a segunda letra da senha é de 5 em 25, ou seja, P = 1/5. 
Analogamente, a chance da terceira tecla apertada conter a terceira letra 
da senha é P = 1/5. 
 A chance de acertar a primeira E acertar a segunda E acertar a 
terceira letras da senha é dada pela multiplicação dessas probabilidades, 
pois temos três eventos independentes entre si: 
1 1 1 1 0,008
5 5 5 125
P      
Resposta: E 
 
1.1.1 Eventos mutuamente exclusivos 
 Existem certos eventos que, se ocorrerem, excluem a possibilidade 
de ocorrência de outro. Por exemplo, imagine que A é o evento “obter um 
resultado par no lançamento de um dado”, e B é o evento “obter um 
resultado ímpar”. Veja que, se A ocorrer, ele impossibilita a ocorrência 
simultânea de B (afinal, não há um número que seja par e ímpar ao 
mesmo tempo). 
 Chamamos esses eventos de mutuamente exclusivos, pois A exclui 
a possibilidade de ocorrer B, e B exclui a possibilidade de ocorrer A. 
Quando tempos eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de 
ocorrência simultânea é nula: 
( ) 0P A B  
 
1.1.2 Probabilidade da união de dois eventos 
 Dados dois eventos A e B, chamamos de A B o evento que ocorre 
quando ocorrem A, B ou ambos. 
Se A = probabilidade de obter um número par no lançamento de 
um dado e B = probabilidade de obter o número 5, A B ocorre se o 
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resultado do dado for {2, 4, 5, 6}. Portanto, a probabilidade do evento 
A B é: 
4 2( )
6 3
P A B   
 Essa probabilidade pode ser calculada também através da seguinte 
expressão: 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B     
 Neste caso, veja que P(A) = 3/6 e P(B) = 1/6. Note ainda que A e B 
são eventos mutuamente exclusivos, pois o número 5 não é par. 
Portanto, ( ) 0P A B  , como vimos logo acima. 
 Assim, 
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 4 2( ) 0
6 6 6 3
P A B P A P B P A B
P A B
    
     
 
 
 Note, portanto, que a probabilidade do evento A OU do evento B 
ocorrerem é simplesmente igual à soma das probabilidades, caso sejam 
eventos mutuamente exclusivos. 
 
1.2 Eventos complementares 
 O lançamento de um dado só pode ter resultados pares ou ímpares. 
Portanto, somando a probabilidade de obter resultados pares com a 
probabilidade de obter resultados ímpares, teremos 100%. Se já 
calculamos a probabilidade de ter resultados pares (50%), podemos obter 
a probabilidade de ter resultados ímpares segundo a fórmula abaixo: 
Probabilidade(ímpares) = 1 - Probabilidade(pares) 
 O subconjunto dos resultados pares é o complemento do 
subconjunto dos resultados ímpares, pois unindo esses dois subconjuntos 
obtemos o espaço amostral. Em outras palavras, o que estamos dizendo 
aqui é que a probabilidade de um evento ocorrer é igual a 100% menos a 
probabilidade do seu complemento ocorrer. Portanto, podemos utilizar a 
expressão abaixo: 
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Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec) 
 
 Nesta fórmula, E é o Evento procurado e Ec o seu complemento. 
Vamos utilizar essa propriedade para resolver o seguinte problema: qual 
a probabilidade de, efetuando duas vezes o lançamento de um dado, 
obter pelo menos um resultado par? 
 Neste caso, o nosso Evento é: “obter pelo menos um resultado 
par”. O seu complemento é “não obter nenhum resultado par”, ou 
simplesmente “obter apenas resultados ímpares”. A propriedade vista 
acima nos diz que: 
 
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares) 
 
 Usamos a propriedade pois é bem fácil calcular a probabilidade de 
ter apenas resultados ímpares. Sabemos que, no primeiro lançamento, a 
chance de ter um resultado ímpar é de 50%, e no segundo lançamento, 
outros 50%. Para que o resultado seja ímpar no primeiro E no segundo 
lançamentos, basta multiplicar essas duas probabilidades: 50% x 50% = 
25%. Portanto: 
 
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares) 
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - 25%=75% 
 
 Vamos trabalhar isso no exemplo abaixo: 
 
2. ESAF – MPOG – 2009) Em uma pequena localidade, os amigos 
Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro 
muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona 
Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma 
comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, 
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Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, 
Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não 
pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer 
à comissão é, em termos percentuais, igual a: 
a) 30 % 
b) 80 % 
c) 62 % 
d) 25 % 
e) 75 % 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos os 5 moradores de A, B, C, D e E. Sabendo que D não 
pertence à comissão, podemos calcular o total de comissões de 3 pessoas 
que podem ser criadas utilizando-se um total de 4 indivíduos. Trata-se da 
combinação de 4, 3 a 3: 
C(4,3) = C(4,1) = 4 
 São tão poucas comissões que podemos listá-las rapidamente: 
A, B, C 
A, B, E 
A, C, E 
B, C, E 
 Veja que, das 4, C participa de 3. Portanto, a probabilidade dele 
estar na comissão é: 
P = 3 / 4 = 0,75 = 75% (letra E) 
 A probabilidade de C participar também pode ser calculada sem 
listar as comissões, lembrando que: 
Probabilidade de C fazer parte = 1 – Probabilidade de C não fazer parte 
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 Se nem D nem C fizerem parte das comissões, temos 3 pessoas 
para formar 3 comissões. O total de comissões que podem ser formados é 
C(3,3) = 1. Assim, a probabilidade de C não fazer parte é de 1 em 4 
comissões, ou seja: 
(3,3) 11 1 75%
(4,3) 4
CP
C
     
 Para este cálculo acima, basta lembrar que, caso nem D nem C 
façam parte, restam apenas 3 pessoas para serem escolhidas formando 
grupos de 3, isto é, C(3,3). 
Resposta: E 
 
1.3 Cálculo de probabilidades com e sem reposição 
 Um problema muito comum em questões de concursos segue o 
seguinte modelo: você possui uma urna com 2 bolas brancas, 3 bolas 
pretas e 2 bolas azuis. Você retira uma bola, vê a sua cor, coloca-a de 
volta na urna retira outra bola. Qual a probabilidade das duas bolas 
retiradas serem brancas? 
 Veja que, após retirar a primeira bola, você a colocou de volta no 
saco, ou seja, você a repôs. Estamos diante de um cálculo de 
probabilidades com reposição. A probabilidade de ter retirado uma bola 
branca do saco é de 2 em 7, isto é, 27 . Como você devolveu esta bola ao 
saco, a probabilidade de retirar outra bola branca é novamente de 27 . 
Temos dois eventos independentes, portantoa probabilidade combinada 
será a multiplicação dessas duas: 2 2 47 7 49  . 
 Agora, e se o exercício dissesse que você não coloca de volta na 
urna a bola que retirou? Estaríamos diante de um cálculo de 
probabilidades sem reposição. Neste caso, a probabilidade de retirar uma 
bola branca inicialmente continua igual: 27 . Já no momento de retirar a 
segunda bola, teremos apenas 6 bolas dentro da urna, sendo que destas 
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apenas 1 é branca. Portanto, a probabilidade de retirá-la não é mais de 
2
7 , e sim 
1
6 . Assim, a probabilidade de retirar duas bolas brancas da 
urna será: 2 1 2 17 6 42 21   . 
 Outra forma de efetuar esse cálculo último cálculo é observando 
que o número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar com 7 bolas é 
igual a combinação de 7, 2 a 2: C(7,2) = 21. E o número de conjuntos de 
2 bolas que podemos formar apenas com as 2 bolas brancas é igual a 
C(2,2) = 1. Portanto, a probabilidade de tirar exatamente duas bolas 
brancas, sem reposição, é P = 1/21. 
 Para finalizar, vejamos uma variação do problema envolvendo a 
urna: qual seria a probabilidade de se retirar uma bola branca ou retirar 
uma bola preta? 
 Veja que, das 7 bolas, 2 são brancas e 3 são pretas. A probabilidade 
de se retirar uma bola branca já foi calculada anteriormente, e é igual a 
2
7 . Analogamente, a probabilidade de se retirar uma bola preta é de 
3
7 . 
A probabilidade de ocorrer um evento (bola branca) OU o outro evento 
(bola preta) é dada por: 
( Pr ) ( ) (Pr ) - ( Pr )P Branca eta P Branca P eta P Branca eta    
 Sabemos que a probabilidade de uma bola ser branca e preta ao 
mesmo tempo é nula, ou seja, ( Pr ) 0P Branca eta  . Isto é, estamos 
diante de eventos mutuamente excludentes. 
 Portanto, bastaria somar 27+
3
7 =
5
7 . 
 
 Dica: repare que quando utilizamos o E (probabilidade dos eventos 
A e B acontecerem) basta multiplicar as probabilidades de cada evento. Já 
quando utilizamos o OU (probabilidade dos eventos A ou B), basta somar 
as probabilidades de cada evento. Isso só vale para probabilidade de 
eventos independentes (no caso do E) ou mutuamente excludentes (no 
caso do OU) – mas a grande maioria dos exercícios de concurso são 
assim. 
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 Vamos exercitar com o seguinte exemplo: 
 
3. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) Uma urna contém duas bolas brancas e 
três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso 
duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de: 
a) 20% 
b) 30% 
c) 40% 
d) 50% 
e) 60% 
RESOLUÇÃO: 
Veja a expressão “sacando ao acaso duas bolas”. Ela nos dá a idéia 
de que não há reposição de bolas, isto é, após pegar a primeira bola e 
verificar a sua cor, ela não é devolvida à urna para só então retirar a 
segunda. Devemos assumir que estamos diante de um experimento 
aleatório sem reposição. 
Se temos 5 bolas na urna, o total de maneiras de combiná-las duas 
a duas é: 
 
C(5,2) = 10 
 
Vamos calcular a probabilidade de pegar 2 bolas brancas, e a seguir 
a probabilidade de pegar 2 bolas pretas: 
 2 bolas brancas: 
O número de formas de pegar duas bolas brancas, dado que temos 
apenas 2 bolas dessa cor disponíveis, é C(2,2) = 1. Portanto, a 
probabilidade de pegar 2 bolas brancas é: 
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(2,2) 1 0,10 10%
(5, 2) 10
   
CP
C
 
 2 bolas pretas: 
O número de formas de pegar duas bolas pretas, dado que temos 
apenas 3 bolas dessa cor disponíveis, é C(3,2) = 3. Portanto, a 
probabilidade de pegar 2 bolas pretas é: 
(3,2) 3 0,30 30%
(5,2) 10
   
CP
C
 
 A chance de pegar 2 bolas brancas OU 2 bolas pretas é dada por: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 10% 30% 0 40%
P A B P A P B P A B
P A B
    
    
 
 Veja que ( )P A B , isto é, a probabilidade de pegar uma bola que 
seja branca e preta ao mesmo tempo, é igual a zero, pois os eventos A e 
B são mutuamente excludentes. 
Resposta: C 
 
1.4 Probabilidade de um evento ocorrer se outro ocorreu 
 Neste tópico vamos tratar sobre outro tipo muito comum de 
questões em concursos. Imagine que vamos lançar um dado, e estamos 
analisando 2 eventos distintos: 
A  sair um resultado par 
B  sair um resultado inferior a 4 
 Para o evento A ser atendido, os resultados favoráveis são 2, 4 e 6. 
Para o evento B ser atendido, os resultados favoráveis são 1, 2 e 3. 
Vamos calcular rapidamente a probabilidade de cada um desses eventos: 
3( ) 50%
6
3( ) 50%
6
P A
P B
 
 
 
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 A pergunta em sua prova pode ser: no lançamento de um dado, 
qual é a probabilidade de obter um resultado par, dado que foi obtido um 
resultado inferior a 4? 
 Em outras palavras, essa pergunta é: qual a probabilidade do 
evento A, dado que o evento B ocorreu? Matematicamente, podemos 
escrever P(A/B) (leia “probabilidade de A, dado B”). 
 Aqui já sabemos de antemão que B ocorreu. Portanto, o resultado 
do lançamento do dado foi 1, 2 ou 3 (três resultados possíveis). Destes 
resultados, apenas um deles (o resultado 2) atende o evento A. Portanto, 
a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é simplesmente: 
1( / ) 33,3%
3
P A B   
 E se nos fosse perguntado qual a probabilidade de obter um 
resultado inferior a 4, dado que o resultado do lançamento foi um número 
par? Isto é, qual a probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu? 
 Veja que, se A ocorreu, o resultado foi 2, 4 ou 6. Destes, apenas o 
resultado 2 atende o evento B (é inferior a 4). Portanto, 
1( / ) 33,3%
3
P B A   
 Coincidentemente, obtivemos o mesmo resultado para P(A/B) e 
P(B/A). A probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro ocorreu, é 
chamada de probabilidade condicional. Uma outra forma de calculá-la é 
através da seguinte divisão: 
( )( / )
( )
P A BP A B
P B

 
A fórmula nos diz que a probabilidade de A ocorrer, dado que B 
ocorreu, é a divisão entre a probabilidade de A e B ocorrerem 
simultaneamente e a probabilidade de B ocorrer. 
Para que A e B ocorram simultaneamente (resultado par e inferior a 
4), a única possibilidade é o resultado igual a 2. Isto é, apenas 1 dos 6 
resultados nos atende. Assim, 1( )
6
P A B  . 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヵ 
 Para que B ocorra (resultado inferior a 4), já vimos que 3 resultados 
atendem. Portanto, 
3( )
6
P B  
 
 Logo, usando a fórmula acima, temos: 
1( ) 16( / ) 33,3%3( ) 36
P A BP A B
P B

    
 Veja essa questão: 
 
4. CEPERJ – FAETEC – 2010) Certo dia, a professora colocou na gaveta 
9 canetas esferográficas de ponta fina, sendo 4 azuis e 5 pretas. No dia 
seguinte, ela colocou na mesma gaveta 11 canetas esferográficas de 
ponta grossa, sendo 8 azuis e 3 pretas. No dia seguinte, a professora 
retirou da gaveta, ao acaso, uma caneta, e percebeu que ela era azul. A 
probabilidade de que esta caneta fosse de ponta grossa é: 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 2/3 
d) 2/5 
e) 3/5 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui é possível destacar 2 eventos: A = retiraruma caneta azul; e 
B = retirar uma caneta de ponta grossa. O exercício pede a probabilidade 
de a caneta retirada ter ponta grossa, dado que ela é azul, ou seja, 
P(B/A): 
( )( / )
( )
P A BP B A
P A

 
 A probabilidade de retirar uma caneta azul é: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヶ 
P(A) = 12/20 = 3/5 
 A probabilidade de retirar uma caneta azul E de ponta grossa é: 
( ) 8 / 20 2 / 5P A B   
 Portanto, a probabilidade de retirar uma caneta de ponta grossa, 
dado que ela é azul, é: 
2( ) 25( / ) 3( ) 35
P A BP B A
P A

   
 Assim, o gabarito é a letra C. 
 Uma forma mais direta de se resolver esse tipo de questão, sem o 
uso de fórmulas, é simplesmente pensar que das 12 canetas azuis, 
apenas 8 tem ponta grossa. Portanto, se foi pega uma das 12 canetas 
azuis, a probabilidade de ela ter ponta grossa é: 
Canetas azuis de ponta grossa 8 2Probabilidade=
Canetas azuis 12 3
  
Resposta: C. 
 
1.4.1 Independência estatística 
 Vimos acima que, quando dois eventos A e B são independentes, 
podemos dizer que: 
P(A B)=P(A) P(B)  
 Por outro lado, vimos que: 
( )( / )
( )
P A BP A B
P B

 
 Substituindo a primeira equação nesta segunda, temos: 
( ) ( ) ( )( / )
( ) ( )
( / ) ( )
P A B P A P BP A B
P B P B
P A B P A
 
 

 
 Esta última equação nos diz que, se A e B são dois eventos 
independentes, a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu é igual 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΑ 
aprópria probabilidade de A ocorrer. Isto é, o fato de B ter ocorrido em 
nada altera a probabilidade de A ocorrer ou não. Da mesma forma, 
podemos dizer que: 
 
P(B/A) = P(B) 
 
 Exemplificando, sejam os eventos A = obter o número 2 no primeiro 
lançamento de um dado; e o evento B = obter o número 6 no segundo 
lançamento. Qual a probabilidade de obter o número 6 no segundo 
lançamento, dado que foi obtido o número 2 no primeiro? 
 Sabemos que esses dois eventos são independentes, afinal o fato 
de ter saído o número 2 no primeiro lançamento em nada altera a 
probabilidade de sair o número 6 no segundo lançamento. Portanto, a 
probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu (P(B/A)), é simplesmente 
a probabilidade de B ocorrer (isto é, P(B)). Como P(B) = 1/6, podemos 
dizer que: 
 
P(B/A) = P(B) = 1/6 
 
 Portanto, a probabilidade de obter 6 no segundo lançamento, dado 
que foi obtido 2 no primeiro, é igual a 1/6. 
 
1.5 Número de sucessos esperados após N repetições do 
experimento 
 Imagine que vamos vamos executar o experimento aleatório “X”, 
que consiste em efetuar o lançamento do nosso dado. Buscamos a 
ocorrência do evento “obter um resultado par”. Já vimos que, em cada 
lançamento, a probabilidade de obter um resultado par é P = 50%. 
Após 40 lançamentos, esperamos que quantos tenham dado 
resultado par? 
 Ora, basta multiplicar a probabilidade de ter resultado par em cada 
lançamento (50%) pelo número de lançamentos (40): 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ 
 
Sucessos = 50% x 40 = 20 
 
 Ou seja, é esperado que 20 resultados sejam pares. Generalizando, 
após N repetições de um experimento com “p” chances de que o nosso 
Evento ocorra, , é esperado que o número de resultados em que o nosso 
evento ocorreu seja: 
 
Sucessos = N x p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ 
 
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
 
 
 Vejamos mais uma série de exercícios para você praticar bastante o 
cálculo de probabilidades. 
5. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que 
dizem respeito à determinação do número de possibilidades lógicas ou 
probabilidade de algum evento. 
 
( ) Considere que 9 rapazes e 6 moças, sendo 3 delas adolescentes, se 
envolvam em um tumulto e sejam detidos para interrogatório. Se a 
primeira pessoa chamada para ser interrogada for escolhida 
aleatoriamente, então a probabilidades de essa pessoa ser uma moça 
adolescente é igual a 0,2. 
 
RESOLUÇÃO: 
 Temos ao todo 15 pessoas, das quais 3 são moças adolescentes. A 
probabilidade de uma delas ser escolhida é P = 3/15 = 1/5 = 0,2. Item 
CERTO. 
Resposta: C 
 
6. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 
vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as 
ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ 
exemplo, 0110011010. Considerando essas informações, julgue os 
próximos itens. 
 
( ) A probabilidade de serem obtidas sequências nas quais ocorra coroa 
nas primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4. 
RESOLUÇÃO: 
 O número total de sequências possíveis é 210 = 1024, uma vez que 
para cada um dos 10 dígitos da sequência existem 2 possibilidades (0 ou 
1). 
 O número de sequências começando com 3 dígitos iguais a 0 
(correspondente a 3 coroas) é igual a 1x1x1x2x2x2x2x2x2x2 = 27 = 128 
 Assim, a probabilidade de se obter uma sequência com 3 coroas nas 
primeiras jogadas é igual a: 
7
10 3
2 1 1
2 2 8
favoráveisP
total
    
 Este valor é inferior a 1/4, portanto este item está CORRETO. 
Resposta: C 
 
7. CESPE – PREVIC – 2011) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, 
em 2009, havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em 
uma população total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que 
na região Centro-Oeste, no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 
15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 
10.505.415 habitantes. A partir dessas informações, julgue o item 
subsequente. 
( ) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais 
escolhida ao acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro-Oeste, 
ser analfabeta é inferior a 20%. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヱ 
 Somando a população com 15 ou mais anos de idade das regiões 
Norte e Centro-Oeste, temos 10.747.000+10.505.415 = 21.252.415 
pessoas. Destas, o total de analfabetos é de 1.074.700+840.433 = 
1.915.133. 
 Veja que 20% de 21 milhões é igual a 4,2 milhões. Como o total de 
analfabetos é inferior a isto, podemos dizer que o percentual de 
analfabetos é inferior a 20% - logo, a probabilidade de se escolher um 
analfabeto é inferior a 20%. Item CORRETO. 
 Você também poderia calcular a probabilidade de uma dessas 
pessoas ser analfabeta: 
1915133 0,09 9%
21252415
favoráveisP
total
    
Resposta: C 
 
8. CESPE – Banco do Brasil – 2007) Uma pesquisa, realizada com 900 
pessoas que 
contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes, mostrou 
a seguinte divisão dessas pessoas, de acordo com a faixa etária. 
 
A partir da tabela acima e considerando a escolha, ao acaso, de uma 
pessoa entre as 900 que participaram da referida pesquisa, julgue os 
itens subseqüentes. 
( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é 
inferiora 0,52. 
( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade, 
sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヲ 
( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é 
inferior a 0,3. 
( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 
50 anos de idade é superior a 30%. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é 
inferior a 0,52. 
 O total de pessoas que não tem menos de 41 anos é de 356 + 154 
= 510. Assim, a probabilidade de uma pessoa não ter menos de 41 anos 
é: 
P = 510/900 = 0,566 = 56,6% 
 Item ERRADO. 
 
( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade, 
sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5. 
 Se uma pessoa tem pelo menos 31 anos, ela está nos 3 grupos da 
direita, que totalizam 250+356+154 = 760 pessoas. Dessas 760, 
sabemos que 356 tem entre 41 e 50 anos de idade. 
 Assim, a probabilidade de uma pessoa ter entre 41 e 50 anos, 
sabendo que ela tem pelo menos 31 anos, é de: 
P = 356/760 = 0,468 = 46,8% 
 Item ERRADO. 
 
( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é 
inferior a 0,3. 
 Existem 250 pessoas nesta faixa de idade, de um total de 900. 
Assim, a probabilidade procurada é: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲン 
P = 250/900 = 0,277 = 27,7% 
 Item CORRETO. 
 
( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 
50 anos de idade é superior a 30%. 
 O número de pessoas que tem até 30 anos é de 140, e que tem 
mais de 50 é de 154. Assim, o total de casos “favoráveis” é de 140 + 154 
= 294. Como o total de pessoas é de 900, a probabilidade de se escolher 
uma pessoa com até 30 ou com mais de 50 anos é: 
P = 294/900 = 0,326 = 32,6% 
 Item CORRETO. 
Resposta: E E C C 
 
9. CESPE – MPE/AM – 2008) Julgue os itens seguintes, relativos a 
conceitos básicos de probabilidade: 
 
( ) Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não-
viciados, o jogador A pontuará se, ao lançar os dados, obtiver a soma 4 
ou 5, e o jogador B pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação, é 
correto afirmar que o jogador 
2 tem maior probabilidade de obter os pontos esperados. 
 
( ) Ao se lançar dois dados não-viciados, a probabilidade de se obter 
pelo menos um número ímpar é superior a 5/6. 
 
RESOLUÇÃO: 
 PRIMEIRO ITEM: para obter a soma 4 ou 5, temos as seguintes 
possibilidades de combinação de resultado entre os dados: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヴ 
1 e 3; 1 e 4; 2 e 2; 2 e 3; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1 
Já para obter a soma 6 ou 7, os resultados possíveis são: 
1 e 5; 1 e 6; 2 e 4; 2 e 5; 3 e 3; 3 e 4; 4 e 2; 4 e 3; 5 e 1; 5 e 2; 6 
e 1 
Portanto, existem apenas 7 resultados favoráveis ao jogador A e 11 
resultados favoráveis ao jogador B. Este último leva clara 
vantagem. Item CORRETO. 
 SEGUNDO ITEM: a probabilidade de obter pelo menos um número 
ímpar é igual a 100% menos a probabilidade de obter apenas 
números pares. Esta última é facilmente calculada. 
Existem 3 números pares e 3 números ímpares em um dado. Assim, 
a probabilidade de obter um número par ao lançar um dado é: 
3 1(resultado par em 1 dado)
6 2
P   
 Portanto, a probabilidade de obter um número par no primeiro dado 
E obter um número par também no segundo dado é dada pela 
multiplicação das probabilidades de cada evento isolado: 
1 1 1(resultado par em 2 dados)
2 2 4
P    
 Portanto, a probabilidade de obter pelo menos um número ímpar é: 
(pelo menos 1 ímpar em 2 dados) 100% (resultado par em 2 dados)
1 3(pelo menos 1 ímpar em 2 dados) 1 75%
4 4
P P
P
 
   
 
 Assim, a probabilidade de ter pelo menos 1 resultado ímpar é de 
75%, que é inferior a 5/6 (aproximadamente 83%). 
Resposta: C E 
 
10. CESPE – Polícia Civil/TO – 2008) Cada um dos itens subseqüentes 
contém uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヵ 
 
( ) Um policial civil possui uma vestimenta na cor preta destinada às 
solenidades festivas, uma vestimenta com estampa de camuflagem, para 
operações nas florestas. Para o dia-a-dia, ele possui uma calça na cor 
preta, uma calça na cor cinza, uma camisa amarela, uma camisa branca e 
uma camisa preta. Nessa situação, se as vestimentas de ocasiões 
festivas, de camuflagem e do dia-a-dia não podem ser misturadas de 
forma alguma, então esse policial possui exatamente 7 maneiras 
diferentes de combinar suas roupas. 
 
( ) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para 
operações policiais e 2 modelos inadequados. Nesse caso, se a pessoa 
encarregada da compra de armas para uma unidade da polícia ignorar 
essa adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas, então a 
probabilidade de ser adquirida uma arma inadequada é inferior a 1/2 
 
RESOLUÇÃO: 
 PRIMEIRO ITEM: 
O policial tem a roupa de ocasiões festivas, a camuflada, 2 calças e 
3 camisas. Ele pode combinar as 2 calças com as 3 camisas, 
obtendo 2 x 3 = 6 formas diferentes de se vestir. Além dessas 6, 
ele ainda pode usar a roupa festiva ou a camuflada, totalizando 8 
formas de se vestir. Observe que ele não pode misturar essas 2 
últimas, como disse o enunciado. Item ERRADO. 
 SEGUNDO ITEM: 
A probabilidade de adquirir uma arma inadequada é: 
tipos de armas inadequadas 2 1
total de tipos de armas 8 4
P    
Como 1/4 é inferior a 1/2, temos um item CORRETO. 
Resposta: E C 
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11. FDC - PREF. PALMAS - 2010) João possui figurinhas com a foto de 
jogadores das seleções de 3 países. O quadro abaixo mostra a 
distribuição dessas figurinhas por cada um desses países. 
 
Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas 50 figurinhas, a probabilidade 
de que nela haja uma foto de um jogador brasileiro é igual a: 
a) 10% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 40% 
e) 50% 
RESOLUÇÃO: 
 Para resolver essa questão, basta nos lembrarmos que: 
possibilidades favoráveisProbabilidade do Evento=
total de possibilidades
 
 Neste caso, as possibilidades favoráveis são 20 (pois temos 20 
jogadores brasileiros), enquanto o total é 50. Assim, a probabilidade do 
evento “pegar uma figurinha com jogador brasileiro” é: 
20Probabilidade = 0,4 40%
50
  
Resposta: D. 
 
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12. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de 
gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente 
no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as 
vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma 
pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e 
Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram 
mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homense 9% 
meninos. 
Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório 
do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações). 
Com base no texto acima, julgue os itens a seguir. 
 
( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a 
probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será 
inferior a 80%. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que as vítimas do sexo feminino são 66% + 13% = 79%. Isto 
é, a probabilidade da vítima ser do sexo feminino é de 79%. Já a 
probabilidade da vítima ser um menino é de 9%. Temos dois eventos 
mutuamente excludentes, isto é, não é possível uma vítima ser do sexo 
feminino e ser menino ao mesmo tempo. A probabilidade da união desses 
dois eventos (feminino ou menino) é, portanto, a soma das 
probabilidades: 79% + 9% = 88%, que é superior a 80%. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
13. CESPE – Polícia Federal – 2004) 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΒ 
Com a campanha nacional do desarmamento, a Polícia Federal já recolheu 
em todo o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo. A tabela acima 
apresenta a quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados 
brasileiros. Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas 
em um único depósito, julgue os itens que se seguem. 
( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 
0,11. 
( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região 
Sudeste listados na tabela é superior a 0,73. 
() Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 
0,011. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 
0,11. 
 5500 das 33000 armas recolhidas são do RS. Portanto, a 
probabilidade do evento “pegar uma arma do Rio Grande do Sul” é de 
5500 chances em 33000, ou seja: 
possibilidades favoráveisProbabilidade do Evento=
total de possibilidades
5500Probabilidade do Evento= 0,1666
33000

 
 Como vemos, essa probabilidade é superior a 0,11. Item CERTO. 
 
( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região 
Sudeste listados na tabela é superior a 0,73. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΓ 
 21000 armas foram recolhidas na região Sudeste (SP e RJ), de um 
total de 33000. Assim, a probabilidade de uma arma ser da região 
Sudeste é de 21000 chances em 33000: 
21000 0,6363
33000
P   
 Veja que este número é inferior a 0,73. Item ERRADO. 
 
() Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 
0,011. 
 Casos favoráveis: o número de formas de escolher 2 armas dentre 
as 6500 de Pernambuco é dado pela combinação de 6500, 2 a 2. 
 Total de casos: O número de formas de escolher 2 armas dentre as 
33000 (total) é dado pela combinação de 33000, 2 a 2. 
 Assim, a probabilidade de escolher 2 armas de Pernambuco é: 
6500 6499
(6500,2) 2 1
33000 32999(33000,2)
2 1
6500 6499 0,038
33000 32999
favoráveis CP
total C
P

  



 

 
 Portanto, o item está ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
14. CESPE – Polícia Federal – 2009) De acordo com o jornal espanhol 
El País, em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da América 
Latina, tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado 
como o principal problema desses países, provocando uma grande 
quantidade de mortes. O índice de homicídios por 100.000 habitantes na 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El 
Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala. 
Internet: <www.noticias.uol.com.br> 
Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, 
julgue o item que se segue. 
( ) Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade 
de que um cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que 
essa mesma probabilidade para habitantes de El Salvador ou da 
Guatemala, então, em cada 100.000 habitantes da Europa, a 
probabilidade referida é inferior a 10-5. 
RESOLUÇÃO: 
 Se, em El Salvador, temos 45 mortes para cada 100.000 
habitantes, e na Europa este número é 30 vezes menor, teremos 45 / 30 
= 1,5 mortes para cada 100.000 habitantes na Europa. Portanto: 
5
5
1,5 1,5 1,5 10
100000 10
P     
 Já se, na Guatemala, temos 50 mortes para cada 100.000 
habitantes, e na Europa este número é 30 vezes menor, teremos 50 / 30 
= 1,667 mortes para cada 100.000 habitantes na Europa. Portanto: 
5
5
1,667 1,667 1,667 10
100000 10
P     
 Como tanto 1,5x10-5 como 1,667x10-5 são maiores que 10-5, o item 
está ERRADO. 
Resposta: E 
 
15. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um 
torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A 
e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue os 
itens que se seguem. 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que 
formarão o grupo A será inferior a 400. 
( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e 
reservas, que os uniformes de 4 equipes sejam completamente 
vermelhos, de 3 sejam completamente azuis e de 4 equipes os uniformes 
tenham as cores azul e vermelho, então a probabilidade de se escolher 
aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja somente vermelho ou 
somente azul será inferior a 30%. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que 
formarão o grupo A será inferior a 400. 
 Temos 11 equipes, e delas devemos escolher um grupo de 5. Para 
isto, basta efetuar a combinação de 11, 5 a 5: 
11 10 9 8 7(11,5) 462
5 4 3 2 1
C     
   
 
 Item ERRADO. 
 
( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e 
reservas, que os uniformes de 4 equipes sejam completamente 
vermelhos, de 3 sejam completamente azuis e de 4 equipes os uniformes 
tenham as cores azul e vermelho, então a probabilidade de se escolher 
aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja somente vermelho ou 
somente azul será inferior a 30%. 
 Temos, ao todo 11 x 10 = 110 jogadores. Destes, 40 usam somente 
vermelho, 30 somente azul e outros 40 usam azul e vermelho. Se 
queremos os jogadores que usam apenas azul ou apenas vermelho, o 
número de casos favoráveis é de 30 + 40 = 70, em um total de 110. 
Assim, a probabilidade que buscamos é: 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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40 30 0,6363 63,63%
110 110
P     
 Item ERRADO. O gabarito inicial foi dado como CERTO, e a banca 
preferiu anular a questão a alterar o gabarito. 
Resposta: E, E (Anulada) 
 
16. CESPE – DETRAN/DFT – 2010) Considere que, em uma amostracomposta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do 
DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à 
documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a 
multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação 
de veículos ou a multas. A respeito dessa situação hipotética, julgue os 
itens a seguir. 
( ) Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos 
de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para 
resolver problemas relacionados simultaneamente à documentação de 
veículos e a multas. 
( ) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, 
a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN 
para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou 
que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas 
será superior a 1/6. 
( ) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao 
menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar 
pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas 
que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas, 
o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos 
de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン 
resolver problemas relacionados simultaneamente à documentação de 
veículos e a multas. 
 Para resolver essa questão vamos usar alguns conceitos básicos 
sobre Conjuntos. Usando os conjuntos Documentação, Multas e Outros, a 
única certeza que temos é que 70 pessoas não foram tratar nem de 
documentação e nem de multas. Além disso, do contexto podemos 
assumir que as pessoas que foram resolver problemas de documentação 
ou de multas não foram também resolver outras coisas, mas pode haver 
pessoas que foram resolver problemas de documentação e de multas 
também. Assumindo que X pessoas foram resolver problemas de 
documentação e de multas, temos que 105 – X foram resolver apenas 
problemas de documentação, e 70 – X foram resolver apenas problemas 
de multas: 
 
 Portanto, podemos dizer que: 
210 = 70 + (105 – X) + X + (70 – X) 
210 = 245 – X 
X = 35 pessoas 
 Assim, mais de 30 pessoas foram resolver problemas de 
documentação e também de multas. Item ERRADO. 
 
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( ) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, 
a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN 
para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou 
que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas 
será superior a 1/6. 
 Usando o diagrama acima, sabendo que X = 35, temos: 
 
 Veja que 140 pessoas foram resolver problemas de documentação 
ou de multas. O número de formas de escolher 2 dessas 140 pessoas é 
dada pela combinação C(140,2). 
 O total de pessoas é de 210. Assim, o número de formas de 
escolher 2 dessas 210 pessoas é C(210,2). 
 Portanto, a probabilidade de escolher 2 pessoas que foram resolver 
problemas de documentação ou de multas é: 
140 139
(140,2) 140 139 2 1392 1
210 219(210,2) 210 219 3 219
2 1
favoráveis CP
total C

     
  

 
 Veja que esta é superior a 1/6. Portanto, o item está CERTO. 
 
( ) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao 
menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar 
pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas, 
o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. 
 Veja que, se selecionarmos 70 pessoas, pode ser que as 70 façam 
parte do grupo que foi resolver outros problemas. Se escolhermos mais 
uma (71), esta certamente foi resolver problemas de documentação ou de 
multas. Se escolhermos mais uma, chegando a 72, esta também foi 
resolver problemas de documentação ou de multas. Mas pode ser que a 
71ª tenha ido resolver apenas um desses problemas (ex.: documentação) 
e a 72ª tenha ido resolver apenas o outro (multas). Ao escolher a 73ª, 
esta também certamente foi resolver problemas de documentação ou de 
multas. Seja qual for, podemos garantir que agora temos pelo menos 2 
pessoas que foram resolver problemas de documentação ou de multas. 
Item CERTO. 
Resposta: E C C 
 
17. ESAF – AFT – 2010) Em uma amostra aleatória simples de 100 
pessoas de uma população, 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes 
e 15 dos 60 homens da amostra também são fumantes. Ao se escolher ao 
acaso cinco pessoas da amostra, sem reposição, a probabilidade de 
exatamente quatro delas serem homens fumantes é dada por: 
a) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4. 
b) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4. 
c) CM,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4. 
d) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4. 
e) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 15 homens fumantes no grupo de 100 pessoas. Para 
escolher 4 homens fumantes, basta calcular a combinação de 15, 4 a 4: 
C(15,4). 
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 Para que a outra pessoa não seja um homem fumante, temos 85 
possibilidades (40 mulheres, fumantes ou não, e mais os 45 homens não 
fumantes). 
 Assim, temos 85 x C(15,4) possibilidades de escolher 5 pessoas, 
sendo exatamente 4 homens fumantes. 
 A quantidade de formas de se escolher 5 pessoas em um grupo de 
100 é dado pela C(100,5). 
 Portanto, a probabilidade de escolher 5 pessoas, contendo 
exatamente 4 homens fumantes, é: 
85 (15,4)
(100,5)
favoráveis CP
total C

  
 Veja que na letra B temos Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, 
m=15 e k=4. Substituindo as letras N, n, m e k pelos valores dados nessa 
alternativa, temos: 
C15,4 C100-15, 5-4 / C100, 5 = C15,4 C85, 1 / C100, 5 = C15,4 85 / C100, 5 
 Portanto, esta é a resposta. 
Resposta: B 
 
18. ESAF – ATRFB – 2009) Três amigas participam de um campeonato 
de arco e flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma 
probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade 
de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o 
alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de maneira 
independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo 
menos dois dos três tiros acertarem o alvo? 
a) 90/100 
b) 50/100 
c) 71/100 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΑ 
d) 71/90 
e) 60/90 
RESOLUÇÃO: 
 Para que pelo menos dois tiros acertem o alvo, é preciso que uma 
dessas situações ocorra: 
1. As três amigas acertem. Aqui, a probabilidade é dada pela 
multiplicação das três probabilidades: 
1
3 5 2 1
5 6 3 3
P     
 
2. A primeira e segunda amigas acertarem, e a terceira errar. Note que a 
probabilidade da terceira errar é de 1 – 2/3 = 1/3. Assim:2
3 5 1 1
5 6 3 6
P     
 
3. A primeira e terceira amigas acertarem, e a terceira errar. Note que a 
probabilidade da segunda errar é de 1 – 5/6 = 1/6. Assim: 
3
3 1 2 1
5 6 3 15
P     
 
4. A segunda e terceira amigas acertarem, e a primeira errar. Note que a 
probabilidade da primeira errar é de 1 – 3/5 = 2/5. Assim: 
4
2 5 2 2
5 6 3 9
P     
 
 Assim, a probabilidade de pelo menos 2 acertarem é: 
P = P1 + P2 + P3 + P4 
P = 1/3 + 1/6 + 1/15 + 2/9 
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P = 30/90 + 15/90 + 6/90 + 20/90 
P = 71/90 
Resposta: D 
 
19. ESAF – MPOG – 2009) Em uma urna existem 200 bolas 
misturadas, diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão 
numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e 
as bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna 
três bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de as 
três bolas serem da mesma cor e com os respectivos números pares? 
a) 10/512. 
b) 3/512. 
c) 4/128. 
d) 3/64. 
e) 1/64. 
RESOLUÇÃO: 
 Muito cuidado ao seguinte detalhe: vamos retirar as bolas com 
reposição, ou seja, vamos retirar uma, devolve-la à urna, e retirar outra. 
Podemos acabar tirando a mesma bola duas ou três vezes. 
 Se queremos retirar 3 bolas da mesma cor e pares, temos as 
seguintes possibilidades: 
- retirar 3 bolas azuis pares OU retirar 3 bolas amarelas pares OU 
retirar 3 bolas vermelhas pares. 
Vamos calcular separadamente a probabilidade de cada uma dessas 
possibilidades, e a seguir somá-las, pois temos o conectivo “OU”. 
Das 200 bolas, 50 são azuis e, destas, 25 são pares. A probabilidade de 
retirar uma bola azul par é de 25/200 = 1/8. A probabilidade da 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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primeira E da segunda E da terceira bola serem azuis e pares é P = 1/8 
x 1/8 x 1/8 = 1/512 (multiplicamos pois temos o conectivo “E” – 
eventos independentes). 
Das 200 bolas, 100 são amarelas e, destas, 50 são pares. A 
probabilidade de retirar uma bola amarela par é de 50/200 = 1/4. A 
probabilidade da primeira E da segunda E da terceira bola serem 
amarelas e pares é P = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64. 
Das 200 bolas, 50 são vermelhas e, destas, 25 são pares. A 
probabilidade de retirar uma bola vermelha par é de 25/200 = 1/8. A 
probabilidade da primeira E da segunda E da terceira bola serem 
vermelhas e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512. 
Portanto, a probabilidade de tirar 3 bolas da mesma cor e pares é dada 
pela soma: 
P = 1/512 + 1/64 + 1/512 = 10/512 
Resposta: A 
 
20. ESAF – SMF/RJ – 2010) Em cada um de um certo número par de 
cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. 
Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao 
acaso, é colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres 
restantes, uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metade dos 
cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um 
dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre 
ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a 
probabilidade de ele conter três moedas de ouro? 
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a) 0,15 
b) 0,20 
c) 0,5 
d) 0,25 
e) 0,7 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos seguir os passos do enunciado, considerando que temos um 
número par de cofres, neste caso 2xN cofres. 
- Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma 
moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. 
 Portanto, cada um dos 2N cofres tem 1 moeda de cada tipo. 
- Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos 
ao acaso, é colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres 
restantes, uma moeda de prata. 
 Portanto, N cofres passam a ter 2 moedas de ouro, 1 de prata e 1 
de bronze; e N cofres passam a ter 1 moeda de ouro, 2 de prata e 1 de 
bronze. 
 Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-
se uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda 
de bronze. 
 Até aqui, veja que N cofres possuem 2 moedas de ouro e outros N 
possuem apenas uma. Ao escolher, ao acaso, metade dos cofres para 
colocar mais uma moeda de ouro, serão escolhidos novamente N cofres. 
Porém estes não serão, necessariamente, os mesmos N cofres que já tem 
2 moedas de ouro. A chance de escolher um cofre que já possui 2 moedas 
de ouro é P = N/2N = 1/2. Portanto, espera-se que 1/2 dos N cofres que 
já tinham 2 moedas de ouro passem a ter 3. Isto é, N/2 cofres do total de 
2N cofres terão 3 moedas de ouro. 
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Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter 
três moedas de ouro? 
 Essa probabilidade será dada por: 
/ 2 0,25
2
favoráveis NP
total N
   
Resposta: D 
 
21. ESAF – SUSEP – 2010) Admita que a probabilidade de uma pessoa 
de um particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. 
Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença 
tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um 
resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse 
grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, qual a 
probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi 
negativo? 
a) 30%. 
b) 7,5%. 
c) 25%. 
d) 15%. 
e) 12,5%. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que há 30% de chance da pessoa efetivamente ter a doença, e 
70% de chance dela não ter a doença. 
 Um resultado falso negativo ocorre quando a pessoa tem a doença, 
mas o exame indica que a pessoa não a tem. Já um falso positivo ocorre 
quando a pessoa não tem a doença, mas o exame indica que a pessoa a 
tem. 
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 Assim, o resultado do exame pode dar negativo em 2 casos: 
- a pessoa ter a doença (probabilidade = 30%) e o resultado do exame 
for der negativo (isto é, ocorrer um falso negativo  probabilidade = 
30%). 
 As chances disso acontecer são P1 = 30% x 30% = 9% 
- a pessoa não ter a doença (probabilidade = 70%), e o diagnóstico dado 
pelo exame for correto (isto é, não ocorrer um falso positivo  
probabilidade = 1 – 10% = 90%). 
 As chances disso acontecer são P2 = 70% x 90% = 63%. 
 Ou seja, no TOTAL, a chance de o resultado do exame dar negativo 
é dada pela soma de 9% + 63% = 72%. Desses 72%, apenas em 9% dos 
casos a pessoa efetivamente tem a doença. Portanto, as chances de a 
pessoa ter a doença, mesmo o exame dando resultado negativo, são: 
P = favoráveis/total = 9% / 72% = 0,125 = 12,5% 
Resposta: E 
 
22. ESAF – SUSEP – 2010) Considere um grupo de 15 pessoas dos 
quais 5 são estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, 
sem reposição, qual a probabilidade de exatamente uma das três pessoas 
escolhidas ser um estrangeiro? 
a) 45/91. 
b) 1/3. 
c) 4/9. 
d) 2/9. 
e) 42/81. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴヴン 
 O número de formas de se escolher 3 pessoas em um grupo de 15, 
sem reposição, é C(15,3) = 455. 
 Para formar grupos com exatamente 1 estrangeiro e 2 brasileiros, 
temos 5 possibilidades de escolha do estrangeiro e C(10,2) = 45 formas 
de escolher os brasileiros. Ao todo, temos 5 x 45 = 225 formas de 
escolher 1 estrangeiro e 2 brasileiros. 
 Portanto, a chance de formar grupos dessa forma é: 
P = favoráveis/total = 225 / 455 = 45/91 
Resposta: A 
 
23. ESAF – SUSEP – 2010 – Adaptada) Um estudo indica que, nas 
comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa 
ingestão de gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do 
sexo masculino é igual a 1/4. Desse modo, a probabilidade de um casal 
ter dois meninos e três meninas é igual a: 
a) 37/64 
b) 45/216 
c) 1/64 
d) 135/512 
e) 9/16 
RESOLUÇÃO: 
 Se a probabilidade de ter um homem (H) é de 1/4, a probabilidade 
de ter uma mulher (M) é de 1 – 1/4 = 3/4. Portanto, a probabilidade de 
ter H H M M M, exatamente nessa ordem, é: 
1 1 3 3 3 27
4 4 4 4 4 1024HHMMM
P       
 Entretanto, veja que podemos ter esses 5 filhos em outra ordem 
(ex.: H M H M M). Temos, portanto, que permutar esses 5 filhos. Veja que 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヴ 
se trata de uma permutação de 5 filhos, com a repetição de 2 H e 3M. 
Isto é: 
5!(5,3,2) 10
3!2!
Permutação   
 Portanto, a probabilidade de ter 2 H e 3M é: 
27 135Probabilidade 10
1024 512
   
Resposta: D 
 Obs.: na prova, a letra D era 45/512, de modo que a questão ficou 
sem resposta. 
 
24. ESAF – SUSEP – 2010) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, 
amarelas e pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de 
bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas 
vermelhas, e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas 
amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três 
bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas 
bolas serem pretas? 
a) 100/729. 
b) 100/243. 
c) 10/27. 
d) 115/243. 
e) 25/81. 
RESOLUÇÃO: 
 Chamando de P, AZ, AM e V o número de bolas Pretas, Azuis, 
Amarelas e Verdes, temos: 
P = 2AZ 
AM = 5V 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヵ 
AZ = 2AM 
 Podemos escrever tudo em função de V. Veja: 
AZ = 2AM = 2x(5V) = 10V 
P = 2AZ = 2x(10V) = 20V 
 Portanto, o total de bolas é: 
Total = P + AZ + AM + V = 20V + 10V + 5V + V = 36V 
 Temos 36V bolas, das quais 20V são pretas. A chance de retirar 
uma bola preta é de 20V/36V = 20/36 = 5/9. Como o exercício diz que 
devemos repor a bola (“com reposição”), a chance de tirar uma segunda 
bola preta é também 5/9. E a chance da terceira bola não ser preta é de 
16V/36V = 16/36 = 4/9. 
 Assim, a probabilidade da primeira E da segunda bolas serem 
pretas E da terceira bolas não ser preta é: 
5 5 4 100Probabilidade(preta, preta, não preta)
9 9 9 729
    
 Veja que este é o caso onde temos Preta – Preta – Não Preta. 
Devemos ainda permutar esses 3 resultados, com a repetição de 2: 
3!(3,2) 3
2!
P   
 Portanto, a probabilidade de ter 2 bolas pretas e uma não preta, em 
qualquer ordem, é: 
100 100Probabilidade 3
729 243
   
Resposta: B 
 
25. FCC – Banco do Brasil – 2011) Para responder às questões a 
seguir, considere as informações abaixo: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヶ 
Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, 
cujas idades, em anos, são as seguintes: 
24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 
35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48 
48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65 
A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses 
funcionários, a sua idade seja superior a 48 anos é de: 
a) 28% 
b) 27,4% 
c) 27% 
d) 25,8% 
e) 24% 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que temos 25 funcionários, dos quais apenas 6 tem mais 
de 48 anos. A probabilidade de escolher um deles é: 
P = favoráveis/total = 6/25 = 0,24 = 24% 
Resposta: E 
 
26. FCC – Sergipe Gás S/A – 2010) A tabela abaixo apresenta o 
consumo médio mensal de 100 residências em um bairro servido pela 
SERGAS. 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΑ 
Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o 
seu consumo médio mensal de gás natural seja de 25 m3 é 
a) 2/25 
b) 7/100 
c) 3/50 
d) 1/20 
e) 1/25 
RESOLUÇÃO: 
 Para começar, veja que temos 100 residências ao todo. Assim, 
podemos descobrir o valor de X: 
100 = 28 + 53 + 11 + X 
X = 8 
 Portanto, 8 das 100 residências tem consumo igual a 25m3. A 
probabilidade de escolher uma casa com este consumo é: 
8 2
100 25
favoráveisP
total
   
Resposta: A 
 
27. FCC – TCE/MG – 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem 
arquivados, em cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada 
com um único dos números de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos 
não estão ordenados e, para dar início à execução de tal tarefa, um 
funcionário do Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses 
processos, a probabilidade de que nessa retirada os números marcados 
em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de 
(A) 25% 
(B) 20% 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΒ 
(C) 12,5% 
(D) 10% 
(E) 7,5% 
RESOLUÇÃO: 
 Se temos 8 processos, a quantidade de duplas que podemos formar 
com eles é dada pela combinação de 8, 2 a 2: 
8 7(8,2) 28
2 1
C  

 
 Existem as seguintes possibilidades de pegar 2 processos 
consecutivos: (1 e 2), (2 e 3), (3 e 4), (4 e 5), (5 e 6), (6 e 7), (7 e 8). 
Isto é, 7 possibilidades atendem o pedido do enunciado. A probabilidade 
de pegar uma delas é: 
7 1 0,25 25%
28 4
favoráveisP
total
     
Resposta: A 
 
28. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Everaldo deve escolher um número de 
quatro algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos 
três primeiros: 163, que corresponde ao número de seu apartamento. Se 
Everaldo escolher de modo aleatório o algarismo que falta, a 
probabilidade de que a senha formada seja um número par, em que os 
quatro algarismos são distintos entre si, é de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΓ 
 Existem 10 algarismos que podem ser escolhidos por Everaldo para 
completar a senha. Destes 10, sabemos que 5 são pares, e permitiriam 
formar uma senha par. Para que todos os algarismos sejam distintos 
entre si, o último algarismo não pode ser o 6, que já foi usado na senha. 
Assim, sobram 4 opções que atendem a condição dada no enunciado. 
 Portanto, das 10 opções existentes, apenas 4 atendem a condição. 
A probabilidade de ser formada uma senha que seja um número par e 
tenha os quatro algarismos distintos é P = 4/10 = 40%. 
Resposta: E 
 
29. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O total de funcionários em uma 
repartição pública é igual a 6. João e sua esposa trabalhamnesta 
repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários 
escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um deles, 
João ou sua esposa, faça parte da comissão é 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 3/10 
RESOLUÇÃO: 
 O total de comissões com 3 funcionários que podem ser formadas a 
partir de um grupo de 6 funcionários é dada pela combinação de 6, 3 a 3: 
C(6,3) = 20 
 Dessas, estamos interessados apenas nas que tenham, no máximo, 
ou João ou sua esposa. Isto é, elas podem ter apenas João, apenas a 
esposa ou nenhum deles. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヰ 
 Podemos resolver esse problema calculando quantas comissões 
podem ser formadas incluindo tanto João quanto sua esposa. Neste caso, 
já temos 2 das 3 pessoas da comissão escolhidas. Temos ainda 4 pessoas 
disponíveis para a última vaga restante, isto é, 4 possibilidades. 
 Se existem 4 possíveis comissões incluindo João e também sua 
esposa, então o número de comissões que tenha, no máximo, um deles, é 
20 – 4 = 16. Assim, a chance de obter uma comissão que tenha no 
máximo 1 deles é: 
P = 16/20 = 4/5 
Resposta: D 
 
30. FCC – TRF/4ª – 2010) O número de televisores vendidos 
diariamente em uma loja apresenta a seguinte distribuição de 
probabilidades de venda: 
 
A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido 
nenhum televisor é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual 
a 30%. Então, a probabilidade de que em um determinado dia sejam 
vendidos 2 televisores é de 
(A) 10%. 
(B) 12%. 
(C) 15%. 
(D) 18%. 
(E) 20%. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヱ 
 Veja na tabela que a probabilidade de que sejam vendidos zero 
televisores (P(0)), isto é, não seja vendido nenhum, é igual a x. Como o 
próprio enunciado disse que esta mesma probabilidade é igual a 10%, 
então x = 10%. 
 A probabilidade de que sejam vendidos mais do que 3 televisores 
(isto é, sejam vendidos 4 OU 5  P(4) + P(5)), é igual a 2y + x. Como 
enunciado disse que esta mesma probabilidade é igual a 30%, então: 
2y + x = 30% 
2y + 10% = 30% 
y = 10% 
 Repare que a soma das probabilidades deve ser igual a 100% (pois 
a probabilidade do espaço amostral é sempre 100%). Portanto, 
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 100% 
x + 3y + z + z +2y + x = 100% 
2x + 5y +2z = 100% 
20% + 50% + 2z = 100% 
z = 15% 
 Assim, P(2) é igual a 15%. 
Resposta: C 
 
31. CESPE – MPE/PI – 2012) Sabendo-se que em uma empresa que 
possui 80 empregados, 40 são mulheres e, dos homens, 30 atuam na 
área administrativa, julgue os itens subsequentes. 
( ) Se 1/3 dos empregados da área administrativa forem mulheres, então 
menos de 30 mulheres não atuam na área administrativa. 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヲ 
( ) Caso se escolha um empregado dessa empresa ao acaso, a 
probabilidade de ele ser homem e não atuar na área administrativa será 
superior a 1/6. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
( ) Se 1/3 dos empregados da área administrativa forem mulheres, então 
menos de 30 mulheres não atuam na área administrativa. 
 Se 1/3 dos empregados da área administrativa são mulheres, então 
os outros 2/3 correspondem aos 30 homens que atuam nesta área. 
Assim: 
2/3 da área administrativa --------------------------- 30 homens 
1/3 da área administrativa ---------------------------- X mulheres 
 
(2/3)X = (1/3) x 30 
X = 15 mulheres 
 
 Como ao todo temos 40 mulheres, então 40 – 15 = 25 mulheres 
não atuam na área administrativa. Item CORRETO. 
 
( ) Caso se escolha um empregado dessa empresa ao acaso, a 
probabilidade de ele ser homem e não atuar na área administrativa será 
superior a 1/6. 
 Dos 80 empregados, 40 são mulheres, portanto os outros 40 são 
homens. Destes 40 homens, 30 atuam na área administrativa, de modo 
que 40 – 30 = 10 não atuam nesta área. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵン 
 Assim, 10 dos 80 empregados são homens e não atuam na área 
administrativa. A chance de escolher um deles ao acaso é: 
P = 10 / 80 = 1/8 
 
 Este número é inferior a 1/6. Item ERRADO. 
Resposta: C E 
 
32. CESPE – MPE/PI – 2012) Por ocasião da apuração da frequência 
dos 21 servidores de uma repartição pública no mês de julho de 2011, 
indicou-se por Sx o conjunto dos servidores que faltaram ao serviço 
exatamente x dias úteis naquele mês, sendo 0x  21. Indicando por Nx 
a quantidade de elementos do conjunto Sx, julgue os itens a seguir. 
( ) O conjunto S0  S1 S2 ...  S21 contém todos os servidores da 
repartição. 
( ) Há dois números inteiros a e b, com 0  a  21 e 0  b  21, tais que 
o conjunto Sa  Sb é não vazio. 
( ) Se N3 = 5, então 5 servidores faltaram exatamente 3 dias no mês de 
julho de 2011. 
( ) Se os conjuntos S0 , S1, S2, S3 e S4 forem não vazios, então a 
probabilidade de um servidor da repartição, selecionado ao acaso, ter 
faltado ao serviço no máximo 4 dias úteis no mês de julho de 2011 é igual 
a N4 / 21. 
RESOLUÇÃO: 
( ) O conjunto S0  S1 S2 ...  S21 contém todos os servidores da 
repartição. 
 Cada servidor se enquadra em um destes conjuntos, dependendo 
do número x de faltas que cometeu: S0 , S1 , S2 , ... ou S21. Portanto, a 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヴ 
união destes conjuntos contém todos os servidores da repartição. Item 
CORRETO. 
 
( ) Há dois números inteiros a e b, com 0  a  21 e 0  b  21, tais que 
o conjunto Sa  Sb é não vazio. 
Repare que, se tivermos a = b, os conjuntos Sa e Sb certamente 
terão elementos em comum, de modo que a intersecção entre eles não 
será vazia. 
 
( ) Se N3 = 5, então 5 servidores faltaram exatamente 3 dias no mês de 
julho de 2011. 
 CORRETO. Nx nos fornece o número de servidores que pertencem 
ao conjunto Sx, isto é, o número de servidores que faltaram exatamente x 
dias. 
 
( ) Se os conjuntos S0, S1, S2, S3 e S4 forem não vazios, então a 
probabilidade de um servidor da repartição, selecionado ao acaso, ter 
faltado ao serviço no máximo 4 dias úteis no mês de julho de 2011 é igual 
a N4 / 21. 
 O número de servidores que faltaram no máximo 4 dias úteis é 
dado pela soma dos que faltaram 0, 1, 2, 3 e 4 dias, ou seja, N0 + N1 + 
N2 + N3 + N4. A probabilidade de um deles ser escolhido é P = (N0 + N1 + 
N2 + N3 + N4) / 21. Item ERRADO. 
Resposta: C C C E 
 
33. CESPE – TC/DF – 2012) Em um conjunto E de empresas, indica-se 
por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de 
pelo menos x 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA RODOVIÁRIA FEDERAL 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヵ 
procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a 
quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue os itens seguintes, a 
respeito desses conjuntos. 
 
( ) Se x e y forem números inteiros não negativos e x y , então Ey  Ex. 
( ) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E 
já ter participado de exatamente