AP1 - CIV - 2018 2 (Gabarito)

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – CÁLCULO IV – 2018-2
Questão 1 [2,0 pts] Na integral iterada seguinte, esboce a região de integração, inverta a ordem
de integração e em seguida calcule-a:
I =
∫ π/2
0
∫ x
0
sen x
1 + sen2 y dy dx.
Solução: A região de integração é dada por
D : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ x.
x
y
D
y=x
π
2
π
2
1
1
Fig. 1: Região D, Questão 1.
Também podemos descrever D por:
D : 0 ≤ y ≤ π/2, y ≤ x ≤ π/2.
Então,
I =
∫ π/2
0
1
1 + sen2 y
∫ π/2
y
sen x dx dy =
∫ π/2
0
1
1 + sen2 y
[
− cosx
]π/2
y
dy
=
∫ π/2
0
1
1 + sen2 y (− cosπ/2 + cos y) dy =
∫ π/2
0
1
1 + sen2 y cos y dy.
Fazendo u = sen y, temos du = cos y dy. Para y = 0, temos u = 0 e para y = π/2, temos u = 1.
Logo,
I =
∫ 1
0
du
1 + u2 =
[
arctan u
]1
0
= arctan 1− arctan 0 = π4 .
Quer dizer, I = π4 .
Questão 2 [2,0 pts]: Use coordenadas polares para calcular a seguinte integral dupla:
I =
∫ a
−a
∫ √a2−x2
0
e−x
2−y2 dy dx.
Solução: Temos I =
∫∫
D
e−x
2−y2 dx dy, onde D é descrita por:
D : −a ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤
√
a2 − x2.
Cálculo IV AP1 2
x
y
D
a−a
a
Fig. 2: Região D, Questão 2.
Em coordenadas polares, temos x2 + y2 = r2 e dx dy = r dr dθ. Além disso, a região D é descrita
por:
Drθ : 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ a.
Assim, pela fórmula de mudança de variáveis, temos:
I =
∫∫
Drθ
e−r
2
r dr dθ =
∫ a
0
e−r
2
r
∫ π
0
dθ dr
= −π2
∫ a
0
e−r
2(−2r) dr = −π2
[
e−r
2
]a
0
= −π2
(
e−a
2 − e0
)
= π2
(
1− e−a2
)
.
Ou seja, I = π2
(
1− e−a2
)
.
Questão 3 [2,0 pts]: Seja o sólido W limitado pelos paraboloides z = x2 + y2 e z = 2− x2− y2.
(a) [0,5 pt] Esboce o sólido W .
(a) [1,5 pt] Use uma integral tripla para calcular o volume de W .
x y
z
W
1
2
D
11
Fig. 3: Sólido W , Questão 3.
Solução:
(a) De z = x2 + y2 e z = 2 − x2 − y2, temos x2 + y2 =
2− x2 − y2, donde 2x2 + 2y2 = 2 ou x2 + y2 = 1 e z = 1.
Isto significa que a interseção dos paraboloides é o ćırculo de
centro no ponto (0, 0, 1) e raio 1 contido no plano z = 1.
Assim, o esboço de W é mostrado na figura ao lado.
(b) Por definição, temos
V (W ) =
∫∫∫
W
dV ,
onde W é descrito por:
W : (x, y) ∈ D : x2 + y2 ≤ 1 e x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2.
Em coordenadas ciĺındricas, temos:
Wrθz : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, r2 ≤ z ≤ 2− r2.
Portanto, pela fórmula de mudança de variáveis, obtemos:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Cálculo IV AP1 3
V (W ) =
∫∫∫
Wrθz
r dr dθ dz =
∫ 1
0
r
∫ 2−r2
r2
∫ 2π
0
dθ dz dr
= 2π
∫ 1
0
r(2− r2 − r2) dr = 2π
∫ 1
0
(2r − 2r3) dr
= 2π
[
r2 − r
4
2
]1
0
= 2π
(
1− 12
)
= π.
Ou seja, V (W ) = π u.v.
Questão 4 [2,0 pts]: Seja o sólido W limitado pelas esferas x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4
e contido no interior do cone z =
√
x2 + y2.
(a) [0,5 pt] Esboce o sólido W .
(b) [1,5 pt] Determine a massa do sólido W , sabendo que a densidade em cada ponto de W é dada
por δ(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2.
x y
z
W
1
√
2
2
√
2
2
√
2
2
√
2
√
2
2
√
2
Fig. 4: Sólido W , Questão 4.
Solução:
(a) O esboço do sólido W é mostrado na figura ao
lado.
(b) A massa M(W ) do sólido W é dada por:
M(W ) =
∫∫∫
W
δ(x, y, z) dV =
∫∫∫
W
√
x2 + y2 + z2 dV .
Utilizemos coordenadas esféricas para calcular a in-
tegral tripla. Nesse sistema, W é representado por
Wρφθ : 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ π/4, 0 ≤ θ ≤ 2π
e √
x2 + y2 + z2 dV =
√
ρ2 ρ2 senφ dρ dφ dθ
= ρ3 senφ dρ dφ dθ.
Portanto, pela fórmula de mudança de variáveis, obtemos:
M(W ) =
∫∫∫
Wρφθ
ρ3 senφ dρ dφ dθ =
∫ 2
1
ρ3
∫ π/4
0
senφ
∫ 2π
0
dθ dφ dρ
= 2π
∫ 2
1
ρ3
[
− cosφ
]π/4
0
dρ = 2π
∫ 2
1
ρ3
(
−
√
2
2 + 1
)
dρ
= 2π
(
2−
√
2
2
)[
ρ4
4
]2
1
= π4 (2−
√
2)(16− 1) = 15π4 (2−
√
2)
Isto é, M(W ) = 15π4 (2−
√
2) u.m.
Questão 5 [2,0 pts]: Calcule
∫
C
xy3 ds, em que C é a curva parametrizada por x = 4 cos t,
y = 4 sen t, z = 3t com 0 ≤ t ≤ π/2.
Solução: Temos C : ~r(t) = (4 cos t, 4 sen t, 3t), 0 ≤ t ≤ π/2. Donde ~r ′(t) = (−4 sen t, 4 cos t, 3),
‖~r ′(t)‖ =
√
16 sen2 t+ 16 cos2 t+ 9 =
√
16 + 9 = 5. Como ds = ‖~r ′(t)‖ dt = 5 dt, temos:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Cálculo IV AP1 4
∫
C
xy3 ds =
∫ π/2
0
(4 cos t)(4 sen t)3 5 dt = 1280
∫ π/2
0
cos t sen3 t dt
= 1280
[
sen4 t
4
]π/2
0
= 12804 = 320.
Ou seja,
∫
C
xy3 ds = 320.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ