AP1-CIV-2013-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – CÁLCULO IV – 2013-2
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsável;
Questão 1 [2 pontos] Calcule
∫∫
D
y dx dy, onde D é a região triangular de vértices (0, 0), (1, 0) e
(1, 1).
Solução: O esboço da região D é:
D
x
y
(0, 0)
(1, 1)
(1, 0)
1
y= x
y=0
Descrição de D como uma região do tipo I:
D : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x.
Então ∫∫
D
y dx dy =
∫ 1
0
∫ x
0
y dy dx =
∫ 1
0
[
y2
2
]x
0
dx =
1
2
∫ 1
0
x2 dx =
1
2
[
x3
3
]1
0
=
1
6
.
Questão 2 [2,0 pts] Uma lâmina fina D é limitada por duas circunferências concêntricas de raios
a e b e centro na origem, onde 0 < a < b. Calcule a massa da lâmina D, sabendo que a densidade
em (x, y) ∈ D é dada por δ(x, y) = (x2 + y2)3/2.
Solução: O esboço de D é:
D
x
y
0 a b
Cálculo IV AP1 2
Temos
M =
∫∫
D
δ(x, y) dA =
∫∫
D
(x2 + y2)3/2 dA.
Passando para coordenadas polares, temos:
(x2 + y2)3/2 dA = (r2)3/2 r dr dθ = r4 dr dθ.
A região D se descreve em coordenadas polares como:
Drθ : a ≤ r ≤ b , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Logo,
M =
∫∫
Drθ
r4 dr dθ =
∫ b
a
r4
∫ 2π
0
dθ dr = 2π
∫ b
a
r4 dr = 2π
[
r5
5
]b
a
= 2π
(
b5 − a5
)
u.m.
Questão 3 [2,0 pts] Use uma integral tripla para determinar o volume do sólido W, no primeiro
octante, limitado pelo cilindro parabólico z = 1 − x2 e pelos planos z = 0, x = 0, y = 0 e y = 2.
Solução: Esboço de W.
Esbocemos no plano xy a parábola z = 1 − x2, com x ≥ 0 e z ≥ 0. Como a equação não depende da
variável y, então as geratrizes desse cilindro são semirretas paralelas ao eixo y. Como W é limitado
pelos planos z = 0, x = 0, y = 0 e y = 2, temos o esboço de W:
W
x
y
z
1
1
2
Temos
W =
{
(x, y, z) ∈ R3 ; (x, y) ∈ D e 0 ≤ z ≤ 1 − x2
}
,
onde D é a projeção de W sobre o plano xy. Logo,
D : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2.
Temos
V(W) =
∫∫∫
W
dV =
∫∫
D
∫ 1−x2
0
dz dx dy =
∫∫
D
(1 − x2)dx dy
=
∫ 1
0
(1 − x2)
∫ 2
0
dy dx = 2
∫ 1
0
(1 − x2)dx = 2
[
x −
x3
3
]1
0
= 2
(
1 −
1
3
)
=
4
3
u.v.
Questão 4 [2,0 pts] Se P(x, y, z) = xy2, Q(x, y, z) = yz2 e R(x, y, z) = zx2, calcule∫∫∫
W
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
)
dV,
onde W é o sólido dado por
W =
{
(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 ≤ 1 , z ≥ 0
}
.
Solução: O esboço de W é:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Cálculo IV AP1 3
W
x y
z
1
1 1
Se P(x, y, z) = xy2, Q(x, y, z) = yz2 e R(x, y, z) = zx2, então
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
= y2 + z2 + x2. Logo,∫∫∫
W
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
)
dV =
∫∫∫
W
(x2 + y2 + z2)dV.
Passando para coordenadas esféricas, temos
(x2 + y2 + z2)dV = (ρ2) ρ2 sen φ dρ dφ dθ,
e, nessas coordenadas, o sólido W se descreve por:
Wρφθ : 0 ≤ ρ ≤ 1 , 0 ≤ φ ≤ π/2 , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Logo,∫∫∫
W
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
)
dV =
∫ π/2
0
sen φ
∫ 1
0
ρ4
∫ 2π
0
dθ dρ dφ = 2π
∫ π/2
0
sen φ
∫ 1
0
ρ4 dρ dφ
= 2π
[
ρ5
5
]1
0
∫ π/2
0
sen φ dφ =
2π
5
[
− cos φ
]π/2
0 =
2π
5
(0 + 1) =
2π
5
.
Questão 5 [2,0 pts] Um fio fino de densidade δ(x, y, z) = z, encontra-se ao longo da curva C dada
por ~r(t) = (2 cos t)~i + (2 sen t)~j + t~k, 0 ≤ t ≤ 2π. O momento de inércia do fio em relação ao eixo z é
dado pela integral
Iz =
∫
C
(x2 + y2) δ(x, y, z) ds.
Encontre o valor de Iz.
Solução: Se ~r(t) = (2 cos t)~i + (2 sen t)~j + t~k = (2 cos t, 2 sen t, t), então ~r ′(t) = (−2 sen t, 2 cos t, 1),
donde ‖~r ′(t)‖ =
√
4 sen2 t + 4 cos2 t + 1 =
√
4 + 1 =
√
5. Como ds = ‖~r ′(t)‖ dt, então ds =
√
5 dt.
Temos:
Iz =
∫
C
(x2 + y2)z ds =
∫ 2π
0
(4 cos2 t + 4 sen2 t)t
√
5 dt
= 4
√
5
∫ 2π
0
t dt = 4
√
5
[
t2
2
]2π
0
= 2
√
5 4π2 = 8
√
5 π2.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ