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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AP1 – Tutor
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Calcule
∫∫
D
e−y
2
dxdy, sendo D a regia˜o limitada por x = 4y, x = 0 e y = 1.
Atenc¸a˜o: Escolha a ordem de integrac¸a˜o com cuidado!!!
Soluc¸a˜o: O esboc¸o da regia˜o D esta´ representado na figura que se segue.
x
y
D
x = 0
y = 1
x = 4y
1
4
Descric¸a˜o de D como tipo II
x
y
Dentra em x = 0 sai em x = 4y
1
4
Considerando uma reta horizontal atrave´s de D orientada como o eixo x, vemos que ela entra em D
em x = 0 e sai de D em x = 4y. Enta˜o 0 ≤ x ≤ 4y. Ale´m disso, vemos que D esta´ compreendida
entre as retas horizontais y = 0 e y = 1. Enta˜o 0 ≤ y ≤ 1. Logo, as desigualdades que definem D
sa˜o D :
{
0 ≤ x ≤ 4y
0 ≤ y ≤ 1 . Assim:
∫∫
D
e−y
2
dxdy =
∫
1
0
∫
4y
0
e−y
2
dxdy =
∫
1
0
e−y
2[
x
]4y
0
dy =
∫
1
0
e−y
2
4y dy =
=
4
−2
∫
1
0
e−y
2
(−2y)dy = −2
[
e−y
2
]1
0
= 2
(
1− e−1) .
Ca´lculo IV – AP1 AP1 – Tutor 2
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Uma placa fina tem a forma da regia˜o plana D limitada pela circunfereˆncia
x2 + y2 = 1 e tem densidade δ(x, y) =
1
1 + x2 + y2
. Calcule sua massa M .
Soluc¸a˜o: O esboc¸o da placa D esta´ representado na figura a seguir.
x
y
D
1
1
A massa M da placa D e´ dada por:
M =
∫∫
D
δ(x, y) dA =
∫∫
D
1
1 + x2 + y2
dA .
Como x2 + y2 = r2 e dA = rdrdθ enta˜o
M =
∫∫
Drθ
1
1 + r2
r drdθ
onde Drθ :
{
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2pi . Enta˜o:
M =
∫
1
0
r
1 + r2
∫
2pi
0
dθdr = 2pi
∫
1
0
r
1 + r2
dr .
Fazendo u = 1 + r2 temos du = 2rdr donde rdr = du/2. Ale´m disso r = 0 implica u = 1 e r = 1
implica u = 2. Logo:
M = 2pi
∫
2
1
1
u
du
2
= pi
∫
2
1
du
u
= pi
[
lnu
]2
1
= pi(ln 2− ln 1) = pi ln 2 u.m.
Questa˜o 3 [2,0 pts]: Use uma integral tripla para determinar o volume do so´lido acima do plano
xy, limitado pelo cilindro parabo´lico z = 4− x2 e pelos planos y = 0 e y = 4.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o do so´lido W esta´ representado na figura a seguir.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AP1 AP1 – Tutor 3
x
y
z
W
z = 4− x2
Dxy
−2
2
4
4
Temos que V (W ) =
∫∫∫
W
dV . Projetando W sobre o plano xy temos Dxy :
{ −2 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 4 .
Considerando, atrave´s de W uma reta paralela ao eixo z, orientada como o eixo z, vemos que ela
entra em W em z = 0 e sai de W em z = 4− x2. Assim, temos:
W =
{
(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ Dxy e 0 ≤ z ≤ 4− x2
}
.
Logo:
V (W ) =
∫∫
Dxy
∫
4−x2
0
dzdxdy =
∫∫
Dxy
(
4− x2) dxdy =
∫
2
−2
∫
4
0
(
4− x2) dydx =
=
∫
2
−2
(
4− x2) [y]4
0
dx = 4
∫
2
−2
(
4− x2) dx = 4 [4x− x3
3
]2
−2
= 4 · 2
(
8− 8
3
)
=
= 8 · 16
3
=
128
3
u.v.
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Seja W o so´lido limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = a2. Sendo a densi-
dades no ponto P (x, y, z) proporcional a` distaˆncia de P ao centro da esfera, isto e´, δ(x, y, z) =
= k
√
x2 + y2 + z2 , com k > 0, mostre que sua massa e´ kpia4.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o de W esta´ representado na figura que se segue.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AP1 AP1 – Tutor 4
x
y
z
W
a
a
a
A massa de M e´ dada por:
M =
∫∫∫
W
δ(x, y, z) dV = k
∫∫∫
W
√
x2 + y2 + z2 dV .
Como x2 + y2 + z2 = ρ2, dV = ρ2 senφ dρdφdθ e Dρφθ :


0 ≤ ρ ≤ a
0 ≤ φ ≤ pi
0 ≤ θ ≤ 2pi
obtemos:
M = k
∫∫∫
Wρφθ
√
ρ2 ρ2 senφ dρdφdθ = k
∫∫∫
Wρφθ
ρ3 senφ dρdφdθ =
= k
∫ a
0
ρ3
∫ pi
0
senφ
∫
2pi
0
dθdφdρ = 2kpi
∫ a
0
ρ3
∫ pi
0
senφ dφdρ =
= 2kpi
∫ a
0
ρ3
[
− cosφ
]pi
0
dρ = 4kpi
∫ a
0
ρ3 dφ = 4kpi
[
ρ4
4
]a
0
= kpia4 u.m.
Questa˜o 5 [2,0 pts]: Seja C uma curva intersec¸a˜o do cilindro el´ıptico 2x2 − 4x + y2 = 0 com o
plano x + z = 1.
a) Apresente uma parametrizac¸a˜o diferencia´vel para C.
b) Calcule
∫
C
√
2x ds.
Soluc¸a˜o:
a) Completando quadrados em 2x2−4x+y2 = 0 temos 2 (x2 − 2x + 1)+y2 = 2 ou (x−1)2+y
2
2
= 1 ,
que e´ uma elipse com a = 1 e b =
√
2 . Enta˜o, considerando (x, y, z) ∈ C temos que x, y e z
satisfazem 

(x− 1)2 + y
2
2
= 1 (1)
z = 1− x (2)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AP1 AP1 – Tutor 5
De (1) temos que x = 1 + cos t e y =
√
2 sen t, com 0 ≤ t ≤ 2pi. De (2) temos que
z = 1− (1 + cos t) = − cos t. Assim, uma parametrizac¸a˜o diferencia´vel de C e´ dada por:
γ(t) =
(
1 + cos t,
√
2 sen t,− cos t)
com 0 ≤ t ≤ 2pi.
b) Temos que
γ′(t) =
(− sen t,√2 cos t, sen t)
donde ∣∣∣∣γ′(t)∣∣∣∣ = √sen2 t + 2 cos2 t + sen2 t = √2 sen2 t + 2 cos2 t = √2 .
Como ds =
∣∣∣∣γ′(t)∣∣∣∣ dt enta˜o ds = √2 dt. Assim:
∫
C
√
2 x ds =
∫
2pi
0
√
2(1 + cos t)
√
2 dt = 2
[
t + sen t
]2pi
0
= 4pi .
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