Exemplo - Integrais duplas em coordenadas polares

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Mariane Miguel

01.09.2021

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EXEMPLO 
CAPÍTULO 15.4 - INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES 
 
• Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas 
𝑟 = cos 2𝜃. 
Pelo esboço, temos que um laço da rosácea corresponde à região 
𝐷 = {(𝑟, 𝜃)|
−𝜋
4 ≤ 0 ≤
𝜋
4 𝑒 0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝜃
} 
Com isso, temos que sua área é: 
𝐴(𝐷) = ∬ 𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠 2𝜃
0
𝜋
4
−𝜋
4
 
= ∫ [
1𝑟2
2
]
𝜋
4
−𝜋
4
cos 2𝜃
0
𝑑𝜃 =
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝜃 𝑑𝜃
𝜋
4
−𝜋
4
 
=
1
4
[𝜃 +
1
4
𝑠𝑒𝑛 4𝜃]
𝜋
4
−𝜋
4
=
𝜋
8
 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010