Exemplo - Integrais duplas sobre regiões gerais

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EXEMPLO 
CAPÍTULO 15.3 - INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS 
 
• Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² e acima da região 
𝐷 do plano 𝑥𝑦 limitada pela reta 𝑦 = 2𝑥 e pela parábola 𝑦 = 𝑥². 
Nesse caso, podemos interpretar a região 𝐷 de duas formas: 
Como uma região do Tipo I, onde: 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑒 𝑥² ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥} 
Com isso, temos que o volume abaixo de 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² 
e acima de 𝐷 pode ser dado por: 
𝑉 = ∬(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝐴
𝐷
 
= ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)
2𝑥
𝑥2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
2
0
 
=
216
35
 
 
Pois, 
∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)
2𝑥
𝑥2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
2
0
= ∫ [𝑥2𝑦 +
14𝑥3
3
]
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = 𝑥2
𝑑𝑥
2
0
= ∫ [−
𝑥6
3
− 𝑥4 +
14𝑥3
3
]
2
0
𝑑𝑥 
= −
𝑥7
21
−
𝑥5
5
+
7𝑥4
6
]
2
0
=
216
35
 
Ou, 
 
 
 
 
 
 
 
Como uma região do Tipo II, onde: 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑦 ≤ 4 𝑒 
1
2 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ √𝑦
} 
Logo, outra expressão para 𝑉 pode ser dada por: 
𝑉 = ∬(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝐴
𝐷
 
= ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)
√𝑦
1
2
𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
4
0
 
=
216
35
 
 
Pois, 
∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)
√𝑦
1
2
𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
4
0
= ∫ [
𝑥3
3
+ 𝑦²𝑥]
𝑥 = √𝑦
𝑥 =
1
2
𝑦
𝑑𝑦
4
0
= ∫ [
𝑦
3
4
3
− 𝑦
5
2 −
𝑦3
24
−
𝑦³
2
]
4
0
𝑑𝑦 
=
2𝑦
5
2
15
+
2𝑦
7
2
7
−
13𝑦4
96
]
4
0
=
216
35
 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010