UNIDADES I e II III IV E V - CÁLCULO VETORIAL atualizando

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APOSTILA 
 
DE
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CURSO: ENGENHARIA 
PROF.: MÁRIO S. TARANTO
CÓDIGO DA DISCIPLINA: CCE0005
EMENTA: Vetores. Produtos de vetores. Retas. Planos. Cônicas.
OBJETIVO(S) GERAL (IS): Construir e aplicar os conhecimentos de cálculo vetorial e geometria analítica na resolução de problemas e situações concretas em Engenharia.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
1. Compreender o conceito de vetor.
2. Calcular o produto de vetores e aplicar o cálculo nos problemas clássicos de Geometria Analítica.
3. Determinar equações de retas e planos.
4. Compreender as definições das seções cônicas e determinar suas equações.
5. Aplicar os conhecimentos construídos na resolução de problemas e situações concretas em Engenharia.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
Unidade I - VETORES
1.1 Vetores livres. Operações com vetores.
1.2 Ângulo entre vetores.
1.3 Vetores no plano e no espaço.
Unidade II – PRODUTO DE VETORES
2.1 Produto escalar.
2.2 Produto vetorial.
2.3 Produto misto.
Unidade III - RETAS
3.1 Formas das equações de retas no plano e no espaço.
3.2 Ângulo entre retas. Paralelismo e perpendicularismo.
3.3 Retas coplanares
Unidade IV - PLANOS
4.1 Equação geral do plano.
4.2 Determinação de um plano.
Unidade V - CÔNICAS
5.1 A elipse. A circunferência.
5.2 A parábola.
PROCEDIMENTOS DE ENSINO:
Aulas Teóricas:
Aulas expositivas dialogadas com apresentação dos conteúdos relevantes e potencialmente significativos, exemplificações e discussão dos resultados. Resolução de exercícios, objetivando desenvolver habilidades. Uso de transparências e de outros recursos didáticos.
Atividades de Campo:
Serão desenvolvidas atividades de pesquisa e aplicação na prática (ex: lista de exercícios) dos conhecimentos estudados na disciplina pelos alunos, sob a orientação do professor.
AVALIAÇÃO:
Aulas Teóricas:
Consiste na avaliação continuada do desempenho dos alunos, sendo sistematizado em três momentos no calendário acadêmico: AV1, AV2 e AV3.
VETORES
DEFINIÇÃO DE VETOR
Um vetor é um segmento de reta orientado utilizado para definir uma grandeza vetorial. Para que possa ser definido, um vetor deve possuir: 
O valor numérico (módulo) é o comprimento do segmento.
A direção é a da reta que contém o segmento.
O sentido é dado pelo sentido do movimento.
VETORES NO PLANO
	No plano cartesiano ortogonal um ponto P do plano é identificado pelo par (a,b) de números reais, onde as quantidades a e b são as coordenadas do ponto P.
	Os segmentos orientados com ponto inicial na origem e ponto final em P, são denominados vetores no plano e são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, uma vez que o ponto inicial é fixo na origem.
	A cada ponto no plano P(a,b) é associado um único vetor v = 
 e, reciprocamente, dado um vetor, este fica associado a um único ponto do plano, que é seu ponto final.
	Desta forma, um vetor v = 
 é representado, simplesmente, pelas coordenadas do seu ponto final P(a,b). Usamos a notação v ou v = (a,b) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b).
	A origem do plano fica associada a um vetor denominado vetor nulo, que tem os pontos
inicial e final coincidentes com a origem. O vetor nulo é representado por 0 = (0,0).
	O oposto de um vetor v = 
 é o vetor w = 
, que tem o mesmo comprimento e direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a,b), então w = (-a,-b) e denotamos w = –v.
OPERAÇÕES COM VETORES NO PLANO
a) Multiplicação de um vetor v por um escalar k:
• Se k > 0, o vetor w = kv possui mesma direção de v e comprimento k vezes o comprimento de v.
• Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor |k|v.
• Se k = 0, w = kv será o vetor nulo.
A multiplicação de um vetor por um escalar corresponde à multiplicação de cada coordenada desse vetor por esse escalar. Assim, se v = (a,b) e w = kv, então w = (ka,kb).
b) Adição de dois vetores:
• Se v = (a,b) e w = (c,d), então o vetor soma será v + w = (a + c, b + d).
• A soma de um vetor v = (a,b) com seu oposto w = -v = (-a,-b) é o vetor nulo.
Isto é, v + w = v + (-v) = (a - a, b - b) = (0,0).
• A diferença entre dois vetores v e w, é a soma do primeiro com o oposto do segundo vetor: v – w = v + (-w).
EXERCÍCIOS
1 – Sendo v = (4, 2) e w = (–1, 2), calcule os componentes dos vetores abaixo e represente a solução graficamente.
a) v + w
b) v – w 
c) w – v
2 – Seja u = (–1, 3) e v = (4, 7). Ache as componentes dos vetores:
a) u + v
b) 3u + v
c) u – 2v
MÓDULO DE UM VETOR NO PLANO 
O módulo ou comprimento do vetor v = (a, b) é um número real não negativo, definido por:
EXERCÍCIO
3 – Determine os módulos dos vetores abaixo e represente-os graficamente:
a) u = (–3, 4)
b) v = (5, 12)
c) w = (–1, 1)
VETOR UNITÁRIO 
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1. 
No espaço R² existem dois vetores unitários que formam a sua base canônica que são dados por:
i = (1,0) e j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é: 
EXERCÍCIO
4 – Dado v = (3, –4), construir um vetor unitário com a mesma direção e o mesmo sentido.
5 – Dado v = (–2, 5), construir um vetor unitário com a mesma direção e o mesmo sentido.
VETORES PARALELOS 
 	Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u = cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:
Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v. 
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM VETORES UNITÁRIOS
Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.
Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e
como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário 
.
Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção no eixo y do plano será: . Este vetor pode ser escrito como:=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo z.
No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.
EXERCÍCIOS
6 – Decomponha os vetores utilizando os dados abaixo:
a) 
 = 5 sendo o ângulo entre ele a abscissa igual a 300
b) 
 = 2 sendo o ângulo entre ele a abscissa igual a 1270
7 – Quais os componentes de um vetor de módulo 6 que faz um ângulo de 3300 co mo eixo Ox?
VETORES NO ESPAÇO
	
	Analogamente ao caso de vetores no plano, podemos estender a idéia de vetor ao espaço tridimensional, onde um ponto P do espaço é identificado com uma terna de números reais (x,y,z), onde x, y e z são as coordenadas do ponto P.
	Agora cada ponto do espaço P(a,b,c) é associado um único vetor v = 
 e, reciprocamente, dado um vetor, este fica associado a um único ponto do espaço, que é seu ponto final.
	Assim, um vetor v = 
 é representado pelas coordenadas do seu ponto final P(a,b,c).
Denotamos v = 
 ou v = (a,b,c) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b,c).
	A origem do espaço representa o vetor nulo 0 = (0,0,0).
	Se V é o conjunto de vetores no espaço, então V = {(x1, x2, x3); xi ( R} = R × R × R = R3.
OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO
	Sejam u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) vetores no espaço. A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um escalar, são denotados respectivamente por u + v e ku, e são definidos da forma: u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3).
PROPRIEDADES
	Sejam u, v, w ( V e a, b escalares quaisquer, então podem ser facilmente verificadas as propriedadesseguintes:
i) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa)
ii) u + v = v + u (comutativa)
iii) existe 0 ( V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de elemento neutro)
iv) existe –u ( V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo)
v) a(u + v) = au + av
vi) (a + b)v = av + bv
vii) (ab)v = a(bv)
viii) 1u = u
EXERCÍCIO
8 – Sejam os vetores u = (1, 3, 0), v = (–2, 2, 1) e w = (4, 1, –1) e a = 2 e b = 3, verifique as propriedades acima.
MÓDULO DE UM VETOR NO ESPAÇO 
O módulo ou comprimento do vetor v = (a, b, c) é um número real não negativo, definido por:
EXERCÍCIO
9 – Dados u = (3, 1, –2) e v = (0, 2, 1), determine os valores de:
a) 2u + v			b) u – 5v			c) 3u + 1/2v
10 – Sendo u = (5, 0, –1) e v = (3, 1, 2), calcule os módulos de u, v, u + v e u – v.
COMBINAÇÃO LINEAR
Combinando as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar formamos o que se chama em matemática de uma combinação linear de vetores. 
DEFINIÇÃO 
Sejam v e w dois vetores e c e d dois escalares a adição c v + d w é dita uma combinação linear dos vetores v e w. 
A soma v + w é uma combinação linear especial dos vetores v e w. Podemos verificar que neste caso, c = d = 1. O vetor 2 v é uma combinação linear dos vetores v e w , onde c = 2 e d = 0. 
Conhecendo-se v e w é fácil calcular uma combinação qualquer destes dois vetores. O problema inverso é um pouco mais difícil. Neste caso, os vetores v, w e as componentes do vetor z = c v + d w são conhecidos e queremos calcular os multiplicadores c e d, isto é, queremos calcular os escalares c e d de modo a escrever o vetor z (dado) como combinação linear dos outros dois vetores v e w.
EXERCÍCIOS
11 – Dados os vetores v = (1, -2, 1), v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 2, 0). Verifique se v é combinação linear de v1 e v2.
12 – Sendo v = (1, 3, -4) ( R3 e v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (0, -1, 1) e v4 = (0, 0, 1). Verifique se v pode ser escrito como combinação linear de v1, v2, v3 e v4.
13 – Escreva o vetor v = (0, 1) ( R2 como combinação linear dos vetores v1 = (3, 2) e v2 = (2, 2).
14 – Sendo o vetor v = (1, -1, 4) ( R3. Escreva-o como combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 4), v2 = (1, -3, 2) e v3 = (0, 0, 1). 
PRODUTO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR
	Dados os vetores v = (a, b) e w = (c, d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por: v.w = a.c + b.d
EXERCÍCIOS
15 – Calcule o produto escalar entre u = (3, 4) e v = (-2, 5).
16 – Calcule o produto escalar entre u = (1, 7) e v = (2, -3).
17 – Sejam os vetores u = (3, 0, 4) e v = (–2, 1, 1), calcule o produto escalar entre eles.
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar vale que:
i) v.w = w.v
ii) v.v = 
�� EMBED Equation.3 =
2
iii) u.(v + w) = u.v + u.w
iv) (kv).w = v.(kw) = k(v.w)
v) 
=
�� EMBED Equation.3 
vi) 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 (desigualdade de Schwarz)
vii) 
�� EMBED Equation.3 + 
 (desigualdade triangular)
 
EXERCÍCIO
18 – Sejam os vetores u = (1, 3), v = (–2, 2) e w = (1, –1) e k = 3, verifique as propriedades do produto escalar.
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: 
u.v = |u| |v| cos(x) 
onde x é o ângulo formado entre u e v.
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,
desde que nenhum deles seja nulo.
EXERCÍCIO
19 – Calcule o ângulo formado entre os vetores u = (–1, 3) e v = (4, 2).
20 – Sejam os vetores u = (3, 4) e v = (–2, 1), calcule o ângulo formado entre eles.
21 – Sejam u = (1, 2, 4) e v = (1, 0, –1), calcule o ângulo entre esses vetores.
22 – Sejam u = (–1, 0, 1) e v = (2, 1, 1), calcule o ângulo entre esses vetores.
PRODUTO VETORIAL
Dados dois vetores u e v no espaço, podemos definir um terceiro vetor, chamado de produto vetorial de u por v.
O produto vetorial de u por v, denotado por u x v é definido como:
• vetor nulo se {u, v} for l.d.;
• um vetor não nulo tal que:
i) seu módulo é |u x v| = |u | |v| sen∡(u, v)
ii) sua direção é ortogonal a u por v e a v (simultaneamente)
iii) o sentido é tal que {u, v, u x v} é base positivamente orientada do espaço.
Portanto, u x v ( 0 se, e somente se, {u, v} for l.i. e temos mais um critério para verificar se 2 vetores no espaço são l.i.
A condição (2) determina o módulo, a direção e o sentido de u x v e portanto a definição caracteriza completamente o vetor.
PROPRIEDADES
Pode-se deduzir, a partir da definição geométrica do produto vetorial, as seguintes propriedades:
1. u x v = 
, qualquer se seja u.
2. 
 x v = 
, qualquer se seja u.
3. u x v = –v x u (propriedade anti-comutativa)
Por isso, dados u, v l.i., a base {u, v, u x v} é positiva e a base {v, u, u x v} é negativa.
4. (u + v) x w = u x w + v x w (propriedade distributiva em relação à soma)
5. (λu) x v = u x (λv) = λ(u x v) (propriedade linear em relação à multiplicação por escalar).
6. u.(u x v) = 0 e v・(u x v) = 0.
7. Se u e v são unitários e ortogonais, então {u, v, u x v} é base ortonormal positiva.
Exceto pela propriedade (4), as demonstrações são simples e ficam a cargo do leitor.
A propriedade (4) será demonstrada mais tarde.
Com base nessas propriedades, podemos deduzir o cálculo do produto vetorial de dois vetores dados em coordenadas em relação à base canônica.
CÁLCULO DO PRODUTO VETORIAL, EM COORDENADAS
Consideremos a base canônica de R3, C = {
 = (1, 0, 0), 
 = (0, 1, 0), 
 = (0, 0, 1)}.
Usando a definição de produto vetorial, temos que:
 x 
 = 
		
 x 
 = –
		
 x 
 = 
 x 
 = 
		
 x 
 = 
		
x 
 = –
 x 
 = –
		
 x 
 = 
		
 x 
 = 
As expressões acima verificam efetivamente as condições da definição.
Sendo C a base de R3, qualquer vetor 
se expressa como 
 = a1
 + a2
 + a3
 e 
 como 
 = b1
 + b2
 + b3
, é expresso em coordenadas tal que:
 x 
 = (a2b3 – a3b2)
 – (a1b3 – a3b1)
 + (a1b2 – a2b1)
,
que corresponde ao cálculo do determinante “simbólico”
.
Dizemos “simbólico” porque a matriz não é numérica e portanto, apenas a forma de calcular é que corresponde ao do cálculo do determinante. Esta representação simbólica auxilia apenas o cálculo de u x v em coordenadas.
EXERCÍCIOS
23 – Calcule o produto vetorial de u = (1, 2, 3) por v = (4, 5, 6).
24 – Dados os vetores u = (1, 2, 3), v = (3, 1, 2) e w = (2, 4, 6), calcule:
a) u x v
b) u x w
c) v x w
APLICAÇÃO DO PRODUTO VETORIAL NO CÁLCULO DE ÁREAS
Na área do paralelogramo:
Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de ( radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.
A(paralelogramo) = | v × w |
Na área do triângulo:
A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto.
A(triângulo) = ½ | v × w |
EXERCICIOS
25 – Calcule a área do paralelogramo formado na soma dos vetores u = (1, 2, –1) e v = (1, 1, 3).
26 – Calcule a área do triângulo formado pelos pontos A = (1, 2, 0), B = (2, 3, 1) e C = (1, 0, 4).
27 – Dados os vetores u = (1, 3, 2) e v = (0, 2, 1), determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v. 
28 – Calcule a área do triângulo formado pelos pontos A = (0, –2, 1), B = (1, –1, 4) e C = (–1, –3, 5).
PRODUTO MISTO
Dados os vetores u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante:
[u,v,w] = u·(v×w) ou [u,v,w] = 
APLICAÇÃO DO PRODUTO MISTO NO CÁLCULO DE VOLUMES
No volume do paralelepípedo:
O módulo do produto misto entre u, v ew representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.
V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.
No volume do tetraedro:
Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.
V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|
EXERCÍCIOS
29 – Calcule o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u = (2, 0, 0), v = (0, 7, 0) e w = (0, 0, 5).
30 – Calcule o volume do paralelepípedo formado pelos pontos A = (1, 2, 0), B = (0, 1, 2), D = (1, 1, 3) e E = (2, 3, 5).
31 – Sejam A = (1, 2, –1), B = (5, 0, 1), C = (2, –1, 1) e D = (6, 1, –3) vértices de um tetraedro. Determine seu volume.
32 – Verifique se é possível calcular o volume de um paralelepípedo formando-o com os pontos A = (1, 2, 4), B = (–1, 0, –2), D = (0, 2, 2) e E = (–2, 1, –3).
EQUAÇÃO DA RETA 
X = A + t(B – A) ou X = A + t 
, com 
 ( 
.
Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) dois pontos dados e X = (x, y).
X = (x1, y1) + t (x2 – x1, y2 – y1)
X = (x1, y1) + (t(x2 – x1), t(y2 – y1))
X = (x1 + t(x2 – x1), y1 + t(y2 – y1))
Daí, 
 ou 
, com t( R, 
que são chamadas de equações paramétricas da reta AB no plano.
EXERCÍCIOS
33 – G36) Escreva as equações paramétricas da reta AB nos seguintes casos:
a) A = (2, –5) e B = (3, 4)
b) A = (0, 2) e B = (3, 0)
34 – G37) Represente graficamente em um sistema de coordenadas as retas do exercício anterior.
35 – G38) Dado o ponto A = (3, –2) e o vetor 
 = (4, 5), escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e contém 
.
36 – G39) Verifique se C = (–1, 3) pertence a reta que passa pelo ponto A = (2, –1) e B = (4, 2). Determine os pontos de intersecção dessa reta com os eixos coordenados.
37 – G42) Escreva as equações paramétricas e represente graficamente as retas que passam pelos pontos A e B nos seguintes casos:
a) A = (4, 5) e B = (4, 2)
b) A = (6, 3) e B = (2, 3)
EQUAÇÃO GERAL DA RETA NO PLANO
Quando podemos eliminar o parâmetro t entre duas equações paramétricas de uma reta dada, obtemos a equação geral da reta no plano.
Para isso, basta fazer 
, obtendo-se ax + by + c = 0.
 
EXERCÍCIOS
38 – G45) Dada a reta r: 
, determine a equação geral da reta.
39 – G46) Dada a reta r: 4x – 2y + 5 = 0, determine um sistema de equações paramétricas de r.
40 – G48) Escreva um sistema de equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A = (1, 1, 2) e B = (2, 4, 3) e represente a reta em um sistema de coordenadas.
41 – G50) Determine um sistema de equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
a) A = (0, 1, 3) e B = (1, 4, 2)
b) A = (2, 1, 2) e B = (2, 5, 7)
c) A = (3, 4, 1) e B = (3, 4, 2)
RETAS PARALELAS
	Duas retas r e s são paralelas ou coincidentes se, e somente se possuem vetores linearmente dependentes.
EXERCÍCIOS
42 – G56) Verifique se as retas r e s são paralelas nos seguintes casos;
a) 
 e 
b) 
 e 
43 – G57) Escreva as equações paramétricas da reta s que passa pelo ponto A = (5, –2, 4) e é paralela a reta 
.
EQUAÇÕES DA RETA NA FORMA SIMÉTRICA
	Uma reta no espaço pode ser dada por um sistema de duas equações não paramétricas do primeiro grau com as incógnitas x, y e z. As duas equações são chamadas equações da reta na forma simétrica.
	Sendo 
, com l, m e n não nulos, não paralela a nenhum dos planos coordenados.
	Para obtermos as equações na forma simétrica basta eliminar o parâmetro t das equações. 
	Logo, 
.
EXERCÍCIOS
44 – G60) Escreva as equações da reta AB na forma simétrica nos seguintes casos:
a) A = (1, 2, 3) e B = (4, 0, –1)
b) A = (0, 1, 2) e B = (–2, 2, 1)
c) A = (2, 4, 1) e B = (2, 5, 3)
d) A = (–2, 3, 1) e B = (–2, 3, 4)
e) A = (4, –7, –2) e B = (–5, 2, 3)
45 – G61) Escreva as equações da reta que passa pelo ponto A e contém o vetor 
, nas formas vetorial, paramétrica e simétrica, nos seguintes casos:
a) A = (1, 2, 4) e 
 = (3, 2, 1)
b) A = (–1, 1/3, –2) e 
 = (3/4, –5, 2)
46 – G62) Passe para as formas paramétrica e vetorial a reta dada por:
 
RETAS COPLANARES E REVERSAS
	Duas retas r e s são coplanares quando os vetores B – A, 
 e 
, são lineamente dependentes ou são reversas quando os vetores B – A, 
 e 
, são lineamente independentes, onde A é ponto de r, B ponto de s, 
 vetor de r e 
 vetor de s.
EXERCÍCIOS
47 – G63) Verifique se as retas r e s são coplanares nos seguintes casos:
a) r: X = (2, 4, 1) + t (1, –2, 3) e s: X = (–1, 2, 5) + t (4, 3, –2)
b) r: X = (4, 6, –8) + t (2, 5, –7) e s: X = (0, –4, 6) + t (1, 1, 1)
c) 
48 – G64) Verifique se as retas r e s são incidentes e determine seu ponto de intersecção, sendo:
r: X = (5, 3, 3) + t (3, 1, 2) e s: X + (3, 3, 0) + t (1, 1, –1).
PLANO
PONTOS COPLANARES
	A condição necessária para que quatro pontos A, B, C e D sejam coplanares é que os vetores B – A, C – A e D – A sejam linearmente dependentes.
EXERCÍCIO
49 – G67) verifique se os pontos A, B, C e D são coplanares nos seguintes casos:
a) A = (2, 3, 4), B = (3, 4, 5), C = (4, 5, 6) e D = (6, 3, 4).
b) A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 0), C = (0, 1, 0) e D = (0, 0, 1).
EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO (ver definição na pág 172)
X = A + t1u + t2v
ou
X = A + t1 (B – A) + t2 (C – A)
EXERCÍCIOS
50 – G69) Escreva a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A e contém os vetores u e v nos seguintes casos:
a) A = (2, –1, 1/3), u = (3, 0, 2) e v = (–1, 1, 2).
b) A = (1, 2, –1), u = (–3, 1, 4) e v = (4, –1, 5).
51 – G70) Escreva a equação vetorial do plano que passa pelos pontos A, B e C nos seguintes casos:
a) A = (1, 1, 0), B = (3, 2, 1) e C = (5, –1, 3).
b) A = (1/2, 1, 2), B = (3/2, 4, 5) e C = (2, 4, 1).
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO (Definição pág 173 nº G71)
Sejam A = (x1, y1, z1), X = (x, y, z), 
= (a1, b1, c1) e 
= (a2, b2, c2)
 ou 
, com t1 e t2 ( R.
EXERCÍCIO
52 – G72) Escreva os sistemas de equações paramétricas dos planos dos exercícios 50 e 51.
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO (Definição pág 174 e 175)
	A equação geral do plano é toda equação do tipo ax + by + cz + d = 0. A obtenção da equação geral do plano pode se fazer através do desenvolvimento da equação matricial:
 
 
EXERCÍCIOS
53 – G76) Determine as equações gerais do plano que passam pelos pontos A, B e C nos seguintes casos:
a) A = (1, 1, 1), B = (3, 2, 5) e C = (2, 3, –1).
b) A = (2, 0, 0), B = (0, 0, 1) e C = (–1, –1, –2).
c) A = (3, 6, –7), B = (4, –7, –2) e C = (–5, 2, 3).
54 – G77) Dada a equação do plano 
, determine um sistema de equações paramétricas de 
 nos seguintes casos:
Sugestão: Para isso, basta determinar três pontos A, B e C não alinhados de 
.
Nota: Existem infinitos sistemas de equações paramétricas que representam o mesmo plano.
a) 
: 2x + 3y + z – 2 = 0				b) 
: 5x + 3y – 4z + 10 = 0
A CIRCUNFERÊNCIA	
Denomina-se circunferência o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo C desse plano, denominado centro da circunferência.
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
	Considere o plano cartesiano e a circunferência de centro C(a, b) e raio r, conforme abaixo:
 SHAPE \* MERGEFORMAT ��� 
	O ponto P(x, y) pertence a circunferência se, somente se, à distância entre P e C for igual a r.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
	Essa igualdade é chamada de equação reduzida da circunferência. 
EXERCÍCIOS
55 – Determine a equação da circunferência cujo centro se localiza na origem do sistema cartesiano e o raio mede 5 unidades.
56 – Determine a equação da circunferência com centro em C(2, 3) e que passa pelo ponto P(–1, 2).
 
57 – Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(4, 2), B(–1, 1) e D(1, –1). 
EQUAÇÃO GERALDA CIRCUNFERÊNCIA
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
onde: 
( = –2a
( = –2b
( = a2 + b2 – r2
Daí:
x2 + y2 + (x + (y + ( = 0
	Toda equação pode ser representada por uma equação dessa forma, mas nem toda equação dessa forma representa uma circunferência.
EXERCÍCIOS
58 – Determine a equação geral da circunferência com centro em (–1, 2) e raio 3.
59 – Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência da equação x2 + y2 – 4x – 8y + 19 = 0.
60 – Verifique se a equação 4x2 + 4y2 + 4x + 8y + 9 = 0 representa uma circunferência.
P (x, y)
y
b
a�
x�
C�
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