Resumo de Conteúdo - Integrais duplas sobre retângulos

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RESUMO DO CONTEÚDO 
CAPÍTULO 15.1 – INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETÂNGULOS 
 
Para resolver o problema de determinar áreas, chegou-se à definição de integral definida. De modo 
semelhante, para calcular o volume de um sólido será possível chegar à definição de integral dupla. 
Vejamos a seguir: 
Considere uma função 𝑓 de duas variáveis definida em um retângulo fechado, supondo inicialmente 
que 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0: 
𝑅 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ²|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} 
Nesse caso, temos que o gráfico de 𝑓 é a superfície com equação 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Com isso, temos que 
o sólido que está acima da região 𝑅 e abaixo do gráfico de 𝑓, pode ser representado por: 
 
 
 
𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ³|0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ} 
 
 
 
Para determinar o volume de 𝑆, temos que: 
✓ Dividir o retângulo 𝑅 em sub-retângulos: o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑚 subintervalos [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] de 
mesmo comprimento ∆𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/𝑚 e o intervalo [𝑐, 𝑑] em 𝑛 subintervalos [𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗] de 
mesmo comprimento ∆𝑦 = (𝑑 − 𝑐)/𝑛. 
✓ Traçar retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelas extremidades dos subintervalos, de 
modo a formar os sub-retângulos a seguir, onde: 
𝑅𝑖𝑗 = [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] × [𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗] = {(𝑥, 𝑦)|𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑖 𝑒 𝑦𝑗−1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑦𝑗} 
E cada um possuí área ∆𝐴 = ∆𝑥∆𝑦. 
 
 
✓ Escolher um ponto arbitrário (𝑥 ∗
𝑖𝑗
, 𝑦 ∗
𝑖𝑗
) em cada 𝑅𝑖𝑗, denominado de ponto amostral. 
✓ Aproximar a parte de 𝑆 que está acima de cada 𝑅𝑖𝑗 por uma caixa retangular fina (ou “coluna”) 
com base 𝑅𝑖𝑗 e altura 𝑓 (𝑥 ∗
𝑖𝑗
, 𝑦 ∗
𝑖𝑗
), como a imagem a seguir: 
 
✓ Como o volume dessa caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base: 𝑓 (𝑥 ∗
𝑖𝑗
, 𝑦 ∗
𝑖𝑗
) ∙
∆𝐴, é possível seguir esse procedimento para todos os retângulos e somando os volumes das 
caixas correspondentes, obter uma aproximação do volume total de 𝑆: 
 
 
 
 
𝑉 ≈ ∑ ∑ 𝑓 (𝑥 ∗
𝑖𝑗
, 𝑦 ∗
𝑖𝑗
) ∙ ∆𝐴
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
 
 
 
 
 
✓ Melhorar nossa aproximação ao aumentar os valores de 𝑚 e 𝑛: 
𝑉 = lim
𝑚,𝑛→∞
∑ ∑ 𝑓 (𝑥 ∗
𝑖𝑗
, 𝑦 ∗
𝑖𝑗
) ∙ ∆𝐴
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
 
Com isso, conseguimos definir o volume do sólido 𝑆 que corresponde à região que está abaixo do 
gráfico de 𝑓 e acima do retângulo 𝑅 e chegamos na seguinte definição: 
 
DEFINIÇÃO 
 
A integral dupla de 𝑓 sobre o retângulo 𝑅 é 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = 𝐥𝐢𝐦
𝒎,𝒏→∞
∑ ∑ 𝒇 (𝒙 ∗
𝒊𝒋
, 𝒚 ∗
𝒊𝒋
) ∙ ∆𝑨
𝒏
𝒋=𝟏
𝒎
𝒊=𝟏
 
 
se esse limite existir. 
 
 
Nesse sentido, para todo 𝜀 > 0, existe um inteiro 𝑁 tal que 
|∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝑨 = lim
𝑚,𝑛→∞
∑ ∑ 𝑓 (𝑥 ∗
𝑖𝑗
, 𝑦 ∗
𝑖𝑗
) ∙ ∆𝐴
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
| < 𝜀 
para todos os inteiros 𝑚 e 𝑛 maiores que 𝑁 e para qualquer escolha de (𝑥 ∗
𝑖𝑗
, 𝑦 ∗
𝑖𝑗
) em 𝑅 ∗
𝑖𝑗
. 
Temos também que uma função é dita integrável se o limite dessa definição existir. E com isso, vale 
ressaltar que apesar de podermos escolher qualquer ponto amostral no sub-retângulo𝑅𝑖𝑗, se o 
escolhermos como o canto superior direito de 𝑅𝑖𝑗, então a expressão da soma dupla ficará mais 
simples: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 =
𝑅
lim
𝑚,𝑛→∞
∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗) ∙ ∆𝐴
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
 
 
Logo, se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0, então o volume 𝑉 do sólido que está acima do retângulo 𝑅 e abaixo da 
superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é: 
𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 
Em algumas circunstâncias seria muito difícil calcular a integral diretamente pela Definição, por isso 
podemos optar pelo cálculo da integral interpretando-a como um volume, como no exemplo a seguir: 
Exemplo: Se 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|−1 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 − 2 ≤ 𝑦 ≤ 2}, calcule a integral 
∬ √1 − 𝑥²𝑑𝐴
𝑅
 
Como √1 − 𝑥² > 0, temos que: 
Se 𝑧 = √1 − 𝑥², então 𝑥2 + 𝑧2 = 1 𝑒 𝑧 ≥ 0, logo a integral dupla dada representa o volume do 
sólido 𝑆 que está abaixo do cilindro circular 𝑥2 + 𝑧2 = 1 e acima do retângulo 𝑅, como na figura a 
seguir: 
Logo, o volume de 𝑆 é a área de um semicírculo com raio igual uma vez o comprimento do cilindro. 
Portanto, 
 
∬ √1 − 𝑥2𝑑𝐴
𝑅
 
= 
1
2
𝜋 ∙ 12 × 4 = 2𝜋 
 
 
 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010