Buscar

APOSTILA_MAT.FINANC.APLICADA

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 52 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 52 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 52 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA FINANCEIRA 
APLICADA 
 
 
 
 
CURSO DE GESTÃO COMERCIAL 
 
 
 
 
 1
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
1. CONCEITUAÇÃO 
 
A Matemática Financeira é um ramo da Matemática e é extremamente importante para 
as tomadas de decisões nas empresas. Estuda o comportamento do dinheiro no tempo. Principais 
variáveis envolvidas: Capital, Juro e Taxa de Juro. 
 
CAPITAL INICIAL (C): valor monetário, aplicado em uma operação financeira ou emprestado a 
outra pessoa, durante certo período de tempo. Outras denominações: Principal, Valor Presente (PV 
= present valere) ou Valor Atual. 
 
JURO (J): remuneração do capital (para o aplicador) 
 custo do empréstimo (tomador) 
 
TAXA DE JURO (i): índice (coeficiente) referido a um intervalo de tempo (a.m. , a.a. , a.s.), 
através do qual se calcula o juro. 
 
Forma unitária Forma percentual 
 0,02 2% a.s. 
 0,005 0,5% a.m. 
 0,1 10% a.a 
NOTA: Sempre transformar a forma percentual em unitária. 
 
 
FLUXO DE CAIXA EM UMA OPERAÇÃO 
 
Representação esquemática do fluxo (entrada ou saída) de dinheiro num determinado período 
(tempo). 
 Diagrama do Fluxo de Caixa, do ponto de vista do aplicador 
 
 
 
 
 
Diagrama do Fluxo de Caixa, do ponto de vista do banco 
 
 
 2
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
2. JUROS SIMPLES 
 
É aquele que incide somente sobre o Capital. Seja C o Capital inicial aplicado ou 
principal, i a Taxa de juros e n o número de períodos (tempo de aplicação). 
A fórmula básica para o cálculo de juros simples é dada por: 
 
 
J = C . i . n 
 
 
onde, o prazo de aplicação (n) deve estar na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa (i). 
 
Exemplo1: Suponha que a quantia de R$ 3.527,00 seja emprestada, pelo prazo de 2 anos, 
a uma taxa de juros de 10% a.a. Qual será o valor pago como juro? 
 
Resolução: C = R$ 3.527,00,00 
 i = 10% a.a. ou 0,1 a.a. 
 n = 2 anos 
 J = ? 
 
Então: J = C . i . n 
 J = R$ 3.527,00 × 0,1 × 2 = R$ 705,40 
 
Resposta: O valor pago como juro será de R$ 705,40. 
 
Exemplo2: Quanto rende um principal de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 5% ao 
semestre e por um prazo de 2 anos? 
 
Resolução: C = 1.000,00 
 i = 5% a.s. ou 0,05 a.s. 
 n = 2 anos (4 semestres) 
 J = ? 
 
Então: J = C . i . n 
 J = R$ 1.000,00 × 0,05 × 4 = R$ 200,00 
 
Resposta: Esse principal rende R$ 200,00. 
 
 
3. MONTANTE 
 
Define-se como montante (M) de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n 
períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial. 
Assim: M = C + J , onde J = C . i . n, logo: 
 M = C + C . i . n 
 3
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
A fórmula para o cálculo do montante é dada por: 
 
 
M = C . (1 + i.n) 
 
 
Exemplo1: Qual é o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 8% a.a. 
pelo prazo de 2 anos? 
Resolução: C = 1.000,00 
 i = 8% a.a. ou 0,08 a.a. 
 n = 2 anos 
 
Como: J = C . i . n 
 J = 1.000,00 × 0,08 × 2 = R$ 160,00. 
 
Então: M = C + J 
 M= 1.000,00 + 160,00 = R$ 1.160,00 
 
 OU 
 
 Sendo: M = C . (1 + i.n), tem-se: 
 M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,08 × 2) 
 M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,16) 
 M = R$ 1.000,00 . (1,16) 
 M = R$ 1.160,00 
 
Resposta: O Montante é R$ 1.160,00. 
 
Exemplo2: Qual o montante de uma aplicação de R$ 13.729,51, à taxa de 2,5% a.m. 
durante 2 anos? 
Resolução: C = 13.729,51 
 i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. 
 n = 2 anos (24 meses) 
 
Sendo: M = C (1 + i.n), tem-se: 
 M = R$ 13.729,51. (1 + 0,025 × 24) 
 M = R$13.729,51 . (1,6) 
 M = R$ 21.967,22 
 
Resposta: O Montante é R$ 21.967,22. 
 
 
Exemplo3: “A” empresta a “B” R$ 1.000,00, à taxa de juros simples de 20% a.a., pelo 
prazo de 1 ano. Suponhamos que no final do oitavo mês, “B” resolve saldar sua dívida. Quanto 
deverá pagar? 
 4
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
Resolução: C = 1.000,00 
 i = 20% a.a. ou 0,2 a.a. 
 n = 8 meses ou 8/12 ano ou 0,666666667 ano 
 M = ? 
 
Sendo: M = C (1 + i.n), tem-se: 
 M = R$ 1.000,00. (1 + 0,2 × 0,666666667) 
 M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,133333333) 
 M = R$ 1.000,00 . 1,133333333 
 M = R$ 1.133,33 
 
Resposta: O Montante é R$ 1.133,33. 
 
Exemplo4: Determine o juro e o montante de um capital de R$ 1.000,00 que é aplicado 
à taxa de juros simples de 12% a.s., pelo prazo de 5 anos e 9 meses. 
 
Resolução: C = 1.000,00 
 i = 12% a.s. ou 0,12 a.s. 
 n = 5 anos e 9 meses (69 meses) ou 11,5 semestre 
 J = ? 
 M = ? 
 
Como: J = C . i . n 
 J = R$ 1.000,00 . 0.12 . 11,5 
 J = R$ 1.380,00 
 
Sendo: M = C + J, tem-se: 
 M = R$ 1.000,00 + R$ 1.380,00 
 M = R$ 2.380,00 
 
Resposta: O Juro é R$ 1.380,00 e o Montante é R$ 2.380,00. 
 
 
4. TAXAS EQUIVALENTES 
 
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, a juros simples, quando aplicadas a um mesmo 
capital durante um mesmo período de tempo (n), produzirem montantes iguais. 
Assim: 
2
1
2
1
n
n
i
i
= 
 
Exemplo1: Sendo dada a taxa de 10% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe é 
equivalente (ou proporcional). 
 
Resolução: i1 = taxa trimestral n1 = 3 meses 
 i2 = 10% a.s. n2 = 6 meses 
 
 5
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Como: 
6
3
10
1 =
i
 
 
Tem-se: i1 = 
6
30 = 5% a.t. 
 
Resposta: A taxa trimestral equivalente a 10% a.s. é 5% a.t. 
 
Exemplo2: Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à 
taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são 
equivalentes. 
 
Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de: 
 
J1 = 10.000,00 × 0,02 × 24 = R$ 4.800,00 
 
Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a., por 2 anos, teremos um juro igual a: 
 
J2 = 10.000,00 × 0,24 × 2 = R$ 4.800,00 
 
Resposta: A taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a. (juros iguais nas duas hipóteses). 
 
 
5. VALOR NOMINAL, VALOR ATUAL E VALOR FUTURO 
 
5.1. Valor nominal 
 
É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento, ou seja: uma pessoa que 
aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por R$ 20.000,00 daqui a 12 meses, o valor nominal (N) 
da aplicação será de R$ 20.000,00 no mês 12. É um valor a vencer ou vencível. 
 
 
5.2. Valor atual 
 
É o valor (V) que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. 
Seu cálculo pressupõe que já exista um compromisso que vença numa data futura. 
Assim: Uma pessoa aplicou hoje certa quantia, a uma taxa de 5% a.m. e recebeu pela 
aplicação um título que irá valer R$ 24.000,00 no mês 12. Qual será o valor atual aplicado? 
 
Sendo: M = C . (1 + i.n), pode-se escrever: 
 N = V . (1 + i.n) 
 N = 24.000 
 i = 5%a.m. ou 0,05 a.m. 
 n = 12 meses 
 6
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Nestas condições: 
 24.000 = V (1 + 0,05 x 12) 
 24.000 = V (1 + 0,60) 
 24.000 = V (1,60) 
 24.000 = V 
 1,60 
 V = 15.000 
 
Uma vez aplicado, o valor atual corresponde ao capital inicial, com o valor nominal especificado e a 
taxa de juros utilizada na operação. 
 
 
5.3 Valor futuro 
 
É o mesmo que montante (M), quando a data considerada for o vencimento da 
aplicação, ou seja: uma pessoa hoje possui a quantia de R$ 10.000,00, logo, o valor futuro dessa 
quantia, daqui a 3 meses, com uma taxa de 5% a.m. será de R$ 11.500,00. 
 
Demonstração: 
Sendo: M = C (1 + i.n) M = 10.000,00 (1 + 0,05 x 3) 
 C = 10.000 M = 10.000,00 (1 + 0,15) 
 i = 5% a.m. ou 0,05 M = 10.000,00 (1,15) 
 n = 3 meses M = 11.500,00 
 
Portanto, o valor futuro é o montante de R$ 11.500,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Por quantos dias, um indivíduo pagou uma dívida de R$ 1.000,00, a uma taxa de 10% a.a. 
sabendo-se que no final do período, a quantia inicial passou para R$ 1.200,00? 
 
2. Qual o juro simples devido ao capital de R$ 10.000,00, colocado a taxa de juros de 6% a.s. 
durante 5 anos e 9 meses? 
 
3. Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 840, 00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros 
equivalente trimestral? 
 
4. Uma loja vende um gravador por R$ 1.500,00 a vista. A prazo, vende por R$ 1.800,00, sendo 
R$ 200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada? 
 
5. Quantos meses, deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras? 
 Capital inicial Montante Taxa de juros 
a) R$ 800,00 R$ 832,00 16% a.a. 
b) 1.200,00 R$ 2.366,00 22% a.a. 
 
6. Em quantos semestres, um montante produzido por um capital de R$ 1.920,00 aplicado a 25% a.a. 
se iguala ao montante de um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a? Admitir que ambos, 
tenham sido investidos na mesma data. 
 
7. O valor nominal de uma Nota Promissória é de R$ 4.770,00. Qual é seu valor atual 3 meses antes 
do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a.? 
 
8. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses, se seu valor nominal for 
de R$ 20.000,00, e se eu quiser ganhar 30% a.a? 
 
9. Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de 
R$ 3.000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu? 
 
10. Um capital empregado a 24% a.a. rendeu em 1 ano, 2 meses e 15 dias; o juro de R$ 7.830,00. 
Qual foi esse capital aplicado? 
 
11. Quantos anos, meses e dias, um capital de R$ 96.480,00 rende um Montante de R$ 175.875,00, 
a uma taxa de mercado de 25% a.a.? 
 
12. Certa pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes 
da data do vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá 
ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32% a.a na ocasião da transferência? 
 
RESPOSTAS 
1. 720 dias 2. R$ 6.900,00 3. 5,25 % a.t 4. 38,46 % a.a. 
5. a) 3 meses b) 53 meses 6. 8 semestres 7. R$ 4.500,00 8. R$ 17.391,30 
9. 10 % a.s. 10. R$ 27.000,00 11. 3 anos, 3 meses e 15 dias 12. R$ 11.558,58 
 8
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
1. CONCEITUAÇÃO 
 
Quando o juro gerado pela aplicação se incorpora a mesma e passa a participar da 
geração de juros no período seguinte. 
 
Exemplo: Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 20% a.a. por um período de 4 anos a 
juros simples e juros compostos. 
 
Diferença entre os regimes de Capitalização (vide tabela) 
 
OBS: A formação do Montante em juros simples é linear, enquanto que em juros compostos é 
exponencial. 
 
 
2. MONTANTE 
 
Considere o exemplo acima para recalcular o Montante sob a notação linear: 
 
M1 = C0 (1 + i) = 1.000 (1,2) = 1.200 
M2 = C1 (1 + i) = 1.200 (1,2) = 1.440 ou M2 = C (1 + i)2 
M3 = C2 (1 + i) = 1.440 (1,2) = 1.728 M3 = C (1 + i)3 
M4 = C3 (1 + i) = 1.728 (1,2) = 2.074 M4 = C (1 + i)4 ... (n períodos, à taxa i de juros), 
tem-se: 
 
Mn = C . (1 + i)n 
 
 9
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Exemplo: Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 
10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 
 
Resolução: C = R$ 1.000,00 
 i = 2% a.m. ou 0,02 a.m. 
 n = 10 meses 
 
Tem-se que: Mn = C (1 + i)n 
Logo: M10 = C (1 + i)10 
 M10 = R$ 1.000,00 (1 + 0,02)10 
 M10 = R$ 1.000,00 (1 + 0,02)10 
 M10 = R$ 1.000,00 (1,02)10 
 M10 = R$ 1.000,00 (1,218994) 
 M10 = R$ 1.218,99 
 
Resposta: O montante a ser devolvido é de R$ 1.218,99 
 
 
3. CÁLCULO DO JURO COMPOSTO 
 
Sabe-se que: Jn = M – C por n períodos, à taxa i de juros. Portanto, para se determinar 
o juro composto, basta determinar o Montante e subtrair do Capital inicial. 
 
Exemplo: Calcule o juro pago por um empréstimo realizado por João, de R$ 4.000,00 à 
taxa de juros compostos de 25% a.a. por um período de 18 meses. 
 
Resolução: C = R$ 4.000,00 
 i = 25% a.a. ou 0,25 a.a. 
 n = 18 meses ou 1,5 anos 
 M = ? 
 J = ? 
 
Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n 
 
Logo: Mn = R$ 4.000,00 . (1 + 0,25)1,5 
 Mn = R$ 4.000,00 . 1,397542486 
 Mn = R$ 5.590,17 
 
Como Jn = Mn - C 
 Jn = R$ 5.590,17 – R$ 4.000,00 
 Jn = R$ 1.590,17 
 
Resposta: O juro pago será de R$ 1.590,17. 
 
 10
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
3.1. CÁLCULO DO CAPITAL INICIAL (C) 
 
Para se determinar o Capital inicial (C), conhecendo-se o Montante (M), a taxa de juros 
(i) e o prazo (n), deve-se isolar a variável C na equação: Mn = C . (1 + i)n. 
 
Exemplo: João aplicou certa quantia, no regime de juros compostos, à taxa de 25% a.a., 
por um período de 18 meses e obteve um montante de R$ 5.590,17. Determine o valor do Capital 
aplicado. 
 
Resolução: M = R$ 5.590,17 
 n = 18 meses ou 1,5 anos 
 i = 25% a.a. 
 C = ? 
 
Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n 
 
Logo: 5.590,17 = C. (1 + 0,25)1,5 
 5.590,17 = C. (1,25)1,5 
 5.590,17 = C. (1,397542486) 
 
397542486,1
17,590.5 = C 
 4.000 = C 
Resposta: O valor do Capital aplicado é de R$ 4.000,00 
 
 
3.2. CÁLCULO DA TAXA (i) 
 
Para se determinar a taxa de juros (i), conhecendo-se o Capital Inicial(C), o Montante 
(M) e o prazo (n), deve-se extrair a raiz n-ésima, na equação: Mn = C . (1 + i)n, ou seja: 
 
i
C
M
n +=1 
 
 
Exemplo: João aplicou R$ 4.000,00 no regime de juros compostos e após 18 meses, 
verificou que o montante importava em R$ 5.590,17. Qual foi o valor da taxa anual de aplicação? 
 
Resolução: C = R$ 4.000,00 
 M = R$ 5.590,17 
 n = 18 meses ou 1,5 anos 
 i = ? 
 
Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n 
 11
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Logo: 5.590,17 = 4.000,00 . (1 + i)1,5 
 
00,000.4
17,590.5 = (1 + i)1,5 
 1,39754250 = (1 + i)1,5 
 5,1 39754250,1 = 1 + i 
 1,25 = 1 + i 
 1,25 – 1 = i 
 0,25 (x 100) = i 
 25% = i 
Resposta: O valor da taxa de aplicação foi de 25% a.a. 
 
 
3.3. CÁLCULO DO PRAZO (n) 
 
Para se determinar o prazo (n), conhecendo-se o Capital Inicial (C), o Montante (M) e a 
taxa de juros (i), pode-se aplicar o logaritmo nos dois membros da equação Mn = C . (1 + i)n, ou 
seja: 
 
 
Log Mn = Log C . (1 + i)n 
 
 
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, determine o prazo (em meses) da aplicação, 
do capital de R$ 4.000,00, que gerou um montante de R$ 5.590,17, a uma taxa de juros compostos 
de 25% a.a. 
 
Resolução: C = R$ 4.000,00 i = 25% a.a. 
 M = R$ 5.590,17 n = ? 
 
Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n 
 
Logo: 5.590,17 = 4.000,00 . (1 + 0,25)n 
 
00,000.4
17,590.5 = (1 + 0,25)n 
 1,39754250 = (1,25)n 
 Log 1,39754250 = Log (1,25)n 
 0,145365023 = n . Log 1,25 
 0,145365023 = 0,096910013 . n 
 
096910013,0
145365023,0 = n 
 1,5 (anos) = n ou n = 18 meses 
 
Resposta: O tempo de aplicação será de 1,5 anos ou 18 meses. 
 12
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
4. VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL 
 
Seja M o montante de um capital C aplicado na data zero, à taxa de juros compostos (i), 
após n períodos, isto é: Mn = C (1 + i)n. 
O valor atual corresponde ao valor do compromisso em uma data inferior ao seu 
vencimento, e o valor nominal (a vencer), corresponde ao valor do compromisso na data do seu 
vencimento. 
 
No regime de juros compostos tem-se: 
V → valor atual na data zero (C0) e N → valor nominal na data n (Mn) 
 
Então: N = V(1 + i)n (valor nominal) 
Logo: 
 V = N (valor atual) 
 (1 + i)n 
 
Exemplo1: Por quanto devo comprar, hoje, um título, vencível daqui a 5 meses, com 
valor nominal de R$ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m.? 
 
Resolução: N = R$ 1.131,40 
 i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. 
 n = 5 meses 
 
Temos que: V = N (valor atual) 
 (1 + i)n 
 
 V = 1.131,40 ⇒ 1.131,40 ⇒ V = R$ 999,99 
 (1 + 0,025)5 1,1314082 
 
Resposta: Na data de hoje, o título vale R$ 999,99. 
 
Exemplo2: Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor 
nominal de R$ 1.344,89. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro vencível daqui a 3 meses 
e no valor de R$ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m. quer saber-se, 
se a troca é vantajosa. 
 
Resolução: N1 = R$ 1.344,89 n1 = 1 ano ou 12 meses i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. 
 N2 = R$ 1.080,00 n2 = 3 meses i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. 
V1 = N ⇒ 1.344,89 ⇒ 1.344,89 ∴ V1 = R$ 1.000,00 
 (1 + i)n (1 + 0,025)12 1,3448888 
V2 = N ⇒ 1.080,00 ⇒ 1.080,00 ∴ V2 = R$ 1.002,89 
 (1 + i)n (1 + 0,025)3 1,07689062 
 
Resposta: A troca é vantajosa. 
 13
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
5. TAXAS EQUIVALENTES 
 
Duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo 
capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. A fórmula que determina a taxa de juros 
compostos equivalente é: 
 
 
 iq = q i+1 - 1 
 
 
 
Exemplo1: Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros 
compostos, equivalente mensal. 
 
Resolução: iq = q i+1 - 1 
 
Sendo que: q = 3 meses 
 i = 9,2727% a.t. (taxa trimestral) 
 
Portanto: i3 = 3 092727,01+ - 1 
 i3 = 3 092727,1 - 1 
 i3 = 1,03 – 1 
 ∴ i3 = 0,03 a.m. ou i3 = 3% a.m. (taxa mensal) 
Resposta: A taxa mensal equivalente a 9,2727 a.t. é de 3% a.m. 
 
 Por outro lado, para se obter o inverso, pode-se utilizar uma outra fórmula, do tipo: 
 
 
 
 iq = (1 + i)q - 1 
 
 
 
Exemplo2: Dada a taxa de juros de 3% ao mês, determinar a taxa de juros compostos, 
equivalente trimestral. 
 
Resolução: iq = (1 + i)q - 1 
 
Sendo: q = 3 meses 
 i = 3% a.m. (taxa mensal) 
 
 14
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Portanto: i3 = (1 + 0,03)3 – 1 
 i3 = (1,03)3 – 1 
 ∴ i3 = 0,092727 a.t. ou i3 = 9,2727% a.t. (taxa trimestral) 
Resposta: A taxa trimestral equivalente a 3% a.m. é de 9,2727 a.t. 
 
Exemplo3: Verificar se i e iq , são taxas equivalentes, considerando, C0 = R$ 1.000,00; 
iq = 2% a.m.; i = 26,824% a.a. e n = 1 ano. 
 
Resolução: O montante em 1 ano para a taxa i é: 
 M1 = 1.000,00 . (1 + 0,26824)1 
 M1 = 1.000,00 . (1,26824)1 
 M1 = R$ 1.268,24 
 
O montante em 1 ano ou 12 meses para a taxa iq é: 
 M12 = 1.000,00 . (1 + 0,02)12 
 M12 = 1.000,00 . (1,02)12 
 M12 = 1.000,00 . (1,26824) → M12 = R$ 1.268,24 
 
Resposta: Como M1 = M12, pode-se concluir que, a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 
26,824% a.a. 
 
Exemplo4: Se um capital de R$ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de juros compostos 
de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, determinar a melhor aplicação. 
 
Resolução: O capital disponível à taxa de 10% a.a. por 3 anos é: 
C3 = 1.000,00 . (1 + 0,1)3 
C3 = 1.000,00 . (1,1)3 
C3 = 1.000,00 . (1,331) 
C3 = R$ 1.331,00 
 
O capital disponível à taxa de 33,1% ao triênio por 1 triênio é: 
 C1 = 1.000,00 . (1 + 0,331)1 
 C1 = 1.000,00 . (1,331)1 
 C1 = 1.000,00 . (1,331) 
 C1 = R$ 1.331,00 
 
Resposta: Como a taxa de 10% a.a. é equivalente à taxa de 33,1% ao triênio, é indiferente aplicar 
em qualquer uma das taxas. 
 
 
 15
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 sob as hipóteses a seguir: 
 Taxa Prazo 
a) 5% a.s. 3 anos e meio 
b) 2,5 % a.m. 1 ano 
 
2. Qual é o juro auferido de um capital de R$ 1.500,00 aplicado segundo as hipóteses abaixo:Taxa Prazo 
a) 8% a.t. 18 meses 
b) 1 % à semana 2 meses 
 
3. Se eu quiser comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, quanto devo aplicar hoje para que 
daqui a 2 anos possua tal valor? Considere as seguintes taxas de aplicação: 
a) 2,5% a.m. b) 10% a.s. c) 20% a.a. 
 
4. Qual a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R$ 1.000,00 e resgata os 
montantes, segundo as hipóteses abaixo: 
a) R$ 1.076,89 – 3 meses b) R$ 1.125,51 – 4 meses 
 
5. Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 e após 1 ano recebeu R$ 8.728,87 de juros. Qual foi a taxa de 
juros mensal paga pela financeira, onde o dinheiro foi aplicado? 
 
6. Qual a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o 
montante de R$ 45.666,57, sendo R$ 25.666,57 referente a juros? 
 
7. Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período de 
tempo, ele recebeu R$ 35.644,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital 
investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado? 
 
8. Um apartamento é vendido à vista, por R$ 220.000,00. Caso o comprador opte por pagar em uma 
única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige R$ 61.618,59 de juros, pois quer 
ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima? 
 
9. Calcular a taxa equivalente anual, dadas as seguintes taxas por período: 
a) 1% a.m. 
b) 2% a.t. 
c) 5% a.q. 
d) 10% a.s. 
 
10. Calcular as taxas equivalentes a 20% a.a., conforme solicitado abaixo: 
a) taxa semestral 
b) taxa quadrimestral 
c) taxa trimestral 
d) taxa mensal 
 16
 
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
11. Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Se o 
investidor souber de uma alternativa diferente, com a qual possa ganhar 9% a.t., qual será sua 
escolha? 
 
12. A Casa Armando, vende uma mercadoria por R$ 2.000,00, podendo ser financiada em até 3 
meses, ou seja, o comprador tem 3 meses como prazo-limite para efetuar o pagamento. Caso opte 
por pagar a vista, a loja oferece um desconto de 10%. Sabendo-se que a taxa de mercado 
(concorrentes) é de 40% a.a., vale a pena comprar a prazo, nesta loja? 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1. a) R$ 14.071,00 b) R$ 13.448,89 
 
2. a) R$ 880,31 b) R$ 124,29 
 
3. a) R$ 33.172,52 b) R$ 40.980,81 c) R$ 41.666,67 
 
4. a) 2,5% a.m. b) 3% a.m. 
 
5. 3,9% a.m. 
 
6. 3,5% a.m. 
 
7. 12 meses 
 
8. 10 meses 
 
9. a) i ≅ 12,68% a.a. c) i ≅ 15,76% a.a. 
 b) i ≅ 8,24% a.a. d) i ≅ 21% a.a. 
 
10. a) i ≅ 9,54% a.s. c) i ≅ 4,66% a.t. 
 b) i ≅ 6,26% a.q. d) i ≅ 1,53% a.m. 
 
11. A segunda alternativa é a melhor (9% a.t.). 
 
12. Não vale a pena comprar a prazo (52,42% a.a. é superior a taxa dos concorrentes, 40% a.a.). 
 
 
 
 17
 
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A chamada operação de desconto em geral, é realizada quando se conhece o valor 
futuro de um título (valor nominal ou de resgate) e se pretende determinar o seu valor atual. 
O desconto deve ser entendido como sendo a diferença entre o valor nominal e o seu 
valor atual na data da operação. Desse modo: 
 
 
D = N - V 
 
em que: 
D: representa o Valor monetário do Desconto 
N: representa o Valor futuro ou Valor nominal 
V: representa o Valor atual ou creditado 
 
Juros e Descontos são critérios diferentes. No cálculo de juros, a taxa incide sobre o 
capital inicial ou PV, enquanto que, no cálculo do DESCONTO, a taxa do período incide sobre o 
seu montante ou FV. 
De modo análogo aos juros, os DESCONTOS são também classificados em simples e 
composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e cálculos exponenciais, no 
caso do desconto composto. 
Destaca-se nesse estudo o DESCONTO COMERCIAL SIMPLES e COMPOSTO. 
 
 
2. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES 
 
Nesse caso a taxa de desconto i, incide sobre o valor nominal do título, descontado n 
períodos antes do vencimento. Logo, o desconto comercial simples pode ser calculado da seguinte 
forma: 
 
Dc = N . i . n 
 
 
Uma expressão para o valor descontado comercial (valor liberado), obtido com o 
desconto, pode ser escrita por: 
 
Vc = N - Dc 
 
 
Esta expressão, chamada de valor atual comercial, também pode ser escrita por: 
 
Vc = N . (1 – i . n) 
 
 18
 
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1. Qual o valor do desconto simples (comercial) de um título de R$ 2.000,00 com 
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% a.m.? Determine o valor atual do título. 
 
Solução: 
N = R$ 2.000,00 
n = 90 dias ou 3 meses 
i = 2,5% a.m. ou 0,25 
Dc = ? 
Vc = ? 
 
a) Como, 
Dc = N . i . n 
Então: 
Dc = 2.000 x 0,25 x 3 = R$ 150,00 
 
∴ Dc = R$ 150,00 
 
b) Vc = N - Dc 
Vc = 2.000,00 – 150 = R$ 1.850,00 
 
∴ Vc = R$ 1.850,00 
 
2. O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de juros 
de 30% a.a., quantos dias faltariam para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de 
R$ 20.000,00? 
 
Solução: 
Dc = R$ 750,00 
i = 30% a.a. ou 0,30 
N = R$ 20.000,00 
n = ? 
 
Dc = N . i . n 
750 = 20.000 x 0,3 x n 
anosn 125,0
3,0000.20
750
=
×
= 
 
Em termos de dias: 
 1 ano - - - - - - - - - - 360 dias 
0,125 ano - - - - - - - - - - X dias 
Logo: X = 0,125 x 360 = 45 dias ∴ X = 45 dias 
 19
 
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
2.1. TAXA EFETIVA LINEAR 
 
A taxa efetiva de desconto é aquela que é realmente cobrada na operação de desconto. 
No desconto comercial, a taxa de desconto fornecida pelo banco não é capaz de produzir o valor 
nominal a partir do valor liberado. 
Portanto, é necessário distinguir entre taxa de desconto fornecida pelo banco (taxa 
contratada) e taxa de desconto efetiva da operação. 
 
EXEMPLOS: 
1. Uma pessoa pretende saldar (descontar) um título no valor de R$ 5.500,00, 3 meses 
antes do seu vencimento. Sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação, uma taxa de 
desconto comercial de 40% a.a., qual seria o valor atual a ser pago? Determine o valor da taxa de 
desconto, efetiva da operação. 
 
Solução: 
N = R$ 5.500,00 
n = 3 meses ou 0,25 ano 
i = 40% a.a. ou 0,40 
Vc = ? 
 
a) Como: Dc = N . i . n 
Então: 
Dc = 5.500 x 0,40 x 0,25 = R$ 550,00 ∴ Dc = R$ 550,00 
 
Vc = N - Dc 
 Vc = 5.500,00 – 550 = R$ 4.950,00 ∴ Vc = R$ 4.950,00 
 
Nota: Observe que, se o valor atual a ser pago (R$ 4.950,00) fosse aplicado à taxa de 
40% a.a., durante o prazo da operação (3 meses ou 0,25 ano); ter-se-ia o seguinte montante: 
M = C . (1 + i . n) 
M = 4.950 (1 + 0,40 x 0,25) = R$ 5.445,00 (menor que o valor nominal do título). 
Logo, no desconto comercial a taxa de desconto fornecida pelo banco não é capaz de 
produzir o valor nominal. 
 
b) A taxa cobrada de fato na operação pode ser calculada, considerando que em três 
meses, o banco ganha R$ 550,00 sobre um valor de R$ 4.950,00. 
 aaouta
V
D
i
c
c
f .%44,44..1111,04950
550
=== 
 
Nota: Observe que, se o valor atual a ser pago (R$ 4.950,00) fosse aplicado à taxa de 
44,44% a.a., ou 11,11% a.t., durante o prazo da operação (3 meses ou 1 trimestre); ter-se-ia o 
seguinte montante: 
M = C . (1 + i . n) 
 M = 4.950 (1 + 0,1111 x 1) = R$ 5.500,00 (igual ao valor nominal do título). 
 ∴ if = 44,44% a.a. ou 11,11% a.t. 
 20
 
DESCONTO COMERCIAL – Matemática FinanceiraAplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
2. Determine o desconto comercial de um compromisso no valor nominal de 
R$ 7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 28,8% a.a. e o prazo de antecipação do resgate, 
como sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva está sendo cobrada? 
 
Solução: 
N = R$ 7.500,00 
n = 50 dias ou ano
360
50 
i = 28,8% a.a. ou 0,288 
Dc = ? Vc = ? 
if = ? 
 
a) Como: Dc = N . i . n 
 Então: 
00,300$
360
50288,0500.7 RDc =××= ∴ Dc = R$ 300,00 
 
Vc = N - Dc 
Vc = 7.500,00 – 300 = R$ 7.200,00 ∴ Vc = R$ 7.200,00 
 
b) A taxa cobrada de fato na operação pode ser calculada, considerando que em 50 dias, 
o banco ganha R$ 300,00 sobre um valor de R$ 7.200,00. 
 aaou
V
D
i
c
c
f .%3050
360041667,0
7200
300
×=== 
 
NOTA: 
 
M = C . (1 + i . n) 
M = 7.200 (1 + 0,30 x 
360
50 ) = R$ 7.500,00 (igual ao valor nominal do título). 
 
∴ if = 30% a.a. 
 
 
3. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO 
 
Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou 
valor futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. 
É obtido em função de cálculos exponenciais e praticamente não é utilizado em nenhum 
país do mundo. 
No caso do desconto comercial simples, a taxa de desconto incide somente sobre o valor 
futuro dos títulos, tantas vezes quantas forem os períodos unitários. 
Assim: Dc = N . i . n 
 21
 
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Como Vc = N - Dc , deduz-se que: Vc = N - (N . i . n) 
Logo: Vc = N . (1 – i . n) 
 
Já, no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, 
da seguinte forma: 
V1 = N . (1 – i ) 
V2 = N . (1 – i ) (1 – i ) = N . (1 – i )2 
V3 = N . (1 – i ) (1 – i ) (1 – i ) = N . (1 – i )3 
 M M 
 
Vn = N . (1 – i )n-1 (1 – i )n = N . (1 – i )n 
 
 
Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários, calculado 
com base no desconto composto, é dado pela expressão: 
 
 
 Vn = N . (1 – i )n 
 
 
O desconto comercial composto é a diferença entre o valor nominal e o valor líquido 
correspondente. 
 
 
Dc = N - Vn 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1. Uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias para o seu vencimento, é 
descontada a uma taxa de 2,5% a.m., de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o 
valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido. 
 
Solução: 
N = R$ 28.800,00 
n = 120 dias ou 4 meses 
i = 2,5% a.m. ou 0,025 
Vc = ? 
Dc = ? 
Como: Vn = N . (1 – i )n 
Então: V4 = 28.800 ( 1 – 0,025)4 = 26.026,21 ∴ V4 = R$ 26.026,21 
 Dc = 28.800 – 26.026,21 = 2.773,79 ∴ Dc = R$ 2.773,79 
 22
 
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
2. Um título com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% a.m., produzindo um 
desconto composto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título. 
Solução: 
Dc = R$ 1.379,77 
 i = 3% a.m. ou 0,03 
n = 90 dias ou 3 meses 
N = ? 
Como: Dc = N - Vn e Vn = N . (1 – i )n 
 
Então: Dc = N - N . (1 – i )n ou 
 Dc = N [ 1 - (1 – i )n ] 
 
 ( )[ ]303,01177,379.1 −−= N 
 087327,077,379.1 ×= N 
 N=
087327,0
77,379.1 
 800.15=N ∴ N = R$ 15.800,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
 
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – 
 Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Determine o valor nominal de um título, cujo desconto comercial simples foi de R$ 750,00; 45 
dias antes do seu vencimento. Considere a taxa de juros adotada nessa transação de 30% a.a. 
Resposta: R$ 20.000,00 
 
2. Se o valor descontado comercial simples de uma Nota Promissória for de R$ 14.195,00 e o prazo 
de antecipação for de 270 dias, qual será o valor da nota no vencimento, considerando-se uma taxa 
de 22% a.a.? 
Resposta: R$ 17.000,00 
 
3. Uma duplicata de R$ 70.000,00 com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por 
um banco à taxa comercial simples de 2,70% a.m. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao 
cliente. Determine a taxa efetiva da operação. 
Resposta: R$ 64.330,00; 2,94% a.m. 
 
4. Calcular o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 100.000,00, com 115 dias a 
vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% a.m. Ainda, qual é a taxa cobrada de fato? 
Resposta: R$ 11.500,00; 3,39% a.m. 
 
5. Determinar o valor nominal de um título, com 144 dias para seu vencimento, que descontado à 
taxa comercial simples de 48% a.a. proporcionou um valor atual de R$ 38.784,00. 
Resposta: R$ 48.000,00 
 
6. Um capitalista investe R$ 50.000,00 em letras de câmbio, com vencimento para 180 dias e renda 
fixada em 5% a.m. de juros simples. 
a) Determine o valor nominal do título. 
b) Se o título for descontado 150 dias antes do seu vencimento, quanto o investidor receberá por ele, 
se o desconto for comercial simples, à taxa de 5% a. m.? 
c) E se o desconto for comercial composto, considerando o mesmo prazo (150 dias) e a mesma taxa? 
Respostas: a) R$ 65.000,00 b) R$ 48.750,00 c) R$ 50.295,76 (valor maior, por estar no 
regime de juros compostos) 
 
7. Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00, com 4 meses a 
vencer, sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 3,25% a.m. 
Resposta: R$ 78.858,12 
 
8. Calcular o valor do desconto comercial composto concedido num Certificado de Depósito 
Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o seu 
vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8 a.m. 
Resposta: R$ 21.944,57 
 
9. Uma Nota Promissória no valor nominal de R$ 16.800,00 foi descontada no regime composto 
por R$ 15.000,00. Uma vez que a taxa considerada fora de 33% a.a. determine o prazo, em dias, de 
antecipação do resgate. Resposta: 102 dias 
 24
 
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
1. CONCEITUAÇÃO 
 
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma única vez, ou 
através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. 
São exemplos de rendas ou anuidades: 
- quando o objetivo é saldar uma dívida (amortização) 
- quando o pagamento se faz pelo uso, sem amortização (aluguel) 
 
As rendas podem ser: 
a) Rendas certas: aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não 
dependendo de condições externas. 
Os diversos parâmetros (taxa de juros, prazo de duração, valor dos termos, etc.) são 
fixos e imutáveis. Este tipo de renda é estudado pela Matemática Financeira. 
 
b) Rendas aleatórias: os valores dos pagamentos ou recebimentos e os prazos não são 
pré-determinados, podem ser variáveis. 
Ex: seguros de vida (os valores das mensalidades são certos, sendo aleatório o valor do 
seguro a receber e a data de recebimento). 
Este tipo de renda é estudado pela Matemática Atuarial. 
 
OBS: Neste tópico, serão abordadas somente as rendas certas ou anuidades, no regime 
de juros compostos. 
 
 
2. DEFINIÇÕES 
 
Consideremos a seqüência de capitais referidos às respectivas datas: 
 
R1 → n1 
R2 → n2 
R3 → n3 
 . . 
. . 
. . 
Rm → nm 
 
 
Este quadro com os capitais R1, R2, R3 ... Rm referidos às respectivas datas n1, n2, n3, ... 
nm e a uma taxa de juros i, caracteriza uma anuidade ou renda certa. 
Ainda: 
- os valores das prestações (R1 , R2 ... Rm) são os termos da renda. 
- o intervalo de tempo entre dois termos chama-se período. 
- a soma dos períodos define a duração da renda. 
 
 
 25
 
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
3. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES 
 
3.1 Quanto ao prazo 
a) Temporárias: quando a duração for limitada. 
b) Perpétuas: quandoa duração for ilimitada. 
 
3.2 Quanto ao valor dos termos 
a) Constante: se todos os termos são iguais. 
b) Variável: se os termos não são iguais entre si. 
 
3.3 Quanto à forma de pagamento ou de recebimento 
a) Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do 1° período. 
1) Postecipadas: quando os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
2) Antecipadas: quando os termos são exigíveis no início dos períodos. 
 
b) Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o 1° período. 
1) Postecipadas: quando os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
2) Antecipadas: quando os termos são exigíveis no início dos períodos. 
 
3.4 Quanto à periodicidade 
a) Periódicas: quando todos os períodos são iguais. 
b) Não-periódicas: quando todos os períodos não são iguais entre si. 
 
 
4. MODELO BÁSICO DE ANUIDADE 
 
Entende-se por modelo básico de anuidade as anuidades que são simultaneamente: 
- temporárias; 
- constantes; 
- imediatas e postecipadas; 
- periódicas. 
Ainda, que a taxa de juros “i” seja referida ao mesmo período. 
 
Exemplo: Carlos compra um carro, em 4 prestações mensais de R$ 2.626,24, sem 
entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou 
estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Qual será o preço do carro à vista? 
 
Resolução: O preço do carro à vista corresponde à soma dos valores atuais das prestações, na data 
focal zero, à taxa de 2% a.m. 
 
P = R + R + R + R ⇒ 
 (1,02)1 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4 
P = R ( )⎢⎣
⎡
02,1
1 + 
( )202,1
1 + 
( )302,1
1 + 
( )402,1
1
⎥
⎦
⎤
 ⇒ 
 26
 
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
P = R [0,980392 + 0,961169 + 0,942322 + 0,923845] ⇒ 
P = R [3,807728] 
 
Como R = R$ 2.626,24, tem-se: 
P = R$ 2.6926,24 x 3,807728 
P ≅ R$ 10.000,00 
 
Neste caso, o valor 3,807728 é uma constante numérica, que depende do número de períodos e da 
taxa de juros adotada. 
 
 
4.1 VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO 
 
Seja um principal (valor atual) P a ser pago em termos iguais a R, imediatos, 
postecipados e periódicos. Seja também a taxa de juros i, referida ao mesmo período dos termos. 
A soma do valor atual dos termos na data focal zero é: 
 
P = R + R + R + ... + R . 
 (1+ i) (1+ i)2 (1+ i)3 (1+ i)n 
 
Colocando-se R em evidência, tem-se: 
P = R ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
++
+
+
+
+
+ niiii 1
1...
1
1
1
1
1
1
32 
 
Colocando-se a soma entre colchetes como sendo an⎤ i : 
 
 an⎤ i = ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
++
+
+
+
+
+ niiii 1
1...
1
1
1
1
1
1
32 
 
Obtemos, portanto: 
 
 P = R . an⎤ i 
 
(lê-se: preço a vista, é igual a prestação vezes “a, n cantoneira i”) 
O valor de an⎤ i é obtido através da soma dos termos de uma progressão geométrica, de razão i+1
1 ; 
donde surge a fórmula: 
 
 an⎤ i = n
n
ii
i
)1(
1)1(
+×
−+
 
 
 27
 
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Exemplo1: Carlos compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de 
R$ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o 
vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Qual será o preço do 
carro à vista? 
 
Resolução: P = R . an⎤ i 
 an⎤ i = (1 + i)n - 1 i = 2% a.m. (0,02 a.m.) 
 i (1 + i)n 
 n = 4 m. 
 R = 2.626,24 P =? 
 
a4⎤ 2 = (1 + 0,02)4 - 1 ⇒ (1,02)4 - 1 ≅ 3,807729 
 0,02 (1 + 0,02)4 0,02 (1,02)4 
 
P = R . an⎤ i 
P = R$ 2.626,24 x 3,807729 ≅ R$ 10.000,00 
 
∴ P = R$ 10.000,00 
 
 
Exemplo2: Um televisor tela plana, 50 polegadas, custa R$ 5.000,00 à vista, mas pode 
ser financiado sem entrada, em 10 prestações mensais, à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser 
paga pelo comprador. 
 
Resolução: R = P n = 10 m. 
 an⎤ i 
 P = 5.000,00 i = 3% a.m. (0,03 a.m.) 
 
a10⎤ 3 = (1 + 0,03)10 - 1 ⇒ (1,03)10 - 1 ≅ 8,530203 
 0,03 (1 + 0,03)10 0,03 (1,03)10 
 
R = P ⇒ R = 5.000,00 = R$ 586,15 
 an⎤ i 8,530203 
 
∴ R = R$ 586,15 
 
Exemplo3: Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas seguintes 
condições: R$ 1.500,00 de entrada e 3 prestações mensais iguais de R$ 1.225,48. Sabendo-se que o 
juro cobrado nas lojas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço à vista. 
Resolução: P = E + R . an⎤ i 
 E = 1.500,00 i = 2,5% a.m. (0,025 a.m.) 
 R = 1.225,48 n = 3 meses 
 P = ? a3⎤ 2,5 = ? 
 28
 
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
a3⎤ 2,5 = (1 + 0,025)3 - 1 ⇒ (1,025)3 - 1 ≅ 2,856024 
 0,025 (1 + 0,025)3 0,025 (1,025)3 
 
Logo: P = E + R . an⎤ i 
 P = R$ 1.500,00 + R$ 1.225,48 x 2,856024 
 P = R$ 1.500,00 + R$ 3.500,00 
 
∴ P = R$ 5.000,00 
 
 
5. ANUIDADES PERPÉTUAS 
 
São aquelas de duração ilimitada, ou seja, o prazo é infinito (n = ∞ ). Sendo P um 
principal a ser pago em infinitos termos iguais a R, isto é, constantes, postecipados, imediatos e 
periódicos, a uma taxa de juros i, referida a um mesmo período dos termos, tem-se: 
 
 
P = R . a∝⎤ i 
 
P = R . 1 
 i 
P = R 
 i 
 
Ou seja, o Principal (Capital inicial) é obtido dividindo-se o valor do termo (valor da 
prestação) pela taxa de juros correspondente. 
 
Nota Importante: Para se fazer uma avaliação rápida de imóveis, pode-se utilizar a fórmula acima, 
desde que o imóvel tenha um horizonte de aproveitamento infinito e que renda um aluguel 
constante. Este aluguel seria o pagamento pela utilização de um capital (valor do imóvel), pagando-
se os juros, mas sem devolução do capital, visto que, o imóvel nunca pertencerá ao locatário. 
 
Exemplo1: Levi possui um apartamento alugado por R$ 500,00 por mês. Se a taxa da 
melhor aplicação no mercado financeiro for de 1% a.m., qual seria uma primeira estimativa do valor 
do imóvel? 
Resolução: Admitindo-se a hipótese de duração ilimitada do apartamento e de ser o aluguel 
constante, tem-se: P = R 
 i 
 
 P = 500,00 
 0,01 
 P = R$ 50.000,00 
 
∴ Numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado em R$ 50.000,00. 
 29
 
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Exemplo2: O proprietário de um imóvel deseja alugá-lo por R$ 15.000,00 mensais 
exigindo, contudo, que o aluguel seja pago com um mês de antecedência. Sabendo-se que a taxa de 
juros vigente é de 2,5% a.m., qual o valor aproximado deste imóvel? 
 
 
Resolução: Admitindo-se a hipótese de duração ilimitada do apartamento, de ser o aluguel 
constante, e da exigência do pagamento de um mês de antecedência, tem-se: P = E + R 
 i 
 P = 15.000,00 + 15.000,00 
 0,025 
P = R$ 615.000,00 
 
∴ O imóvelseria avaliado aproximadamente, em R$ 615.000,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30
 
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.000,00, que deve ser paga em 24 meses a 
uma taxa de juros de 1% a.m.? 
 
2. Determine o preço à vista de uma mercadoria, que foi comprada em 36 meses de R$ 300,00 cada, 
a uma taxa de 3% a.m. 
 
3. Uma revendedora de veículo oferece, em lançamento, um carro nas seguintes condições: 
R$ 20.000,00 de entrada, mais 36 prestações mensais de R$ 1.000,00. Qual é o preço a vista do 
carro, uma vez que a taxa de mercado é de 3% a.m.? 
 
4. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em 24 prestações mensais 
de R$ 61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do 
crédito pessoal é de 2,5% a.m., pergunta-se: Qual é o melhor sistema para o comprador? 
 
5. Um carro está à venda por R$ 10.000,00 de entrada mais 24 prestações mensais de R$ 2.236,51. 
Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de R$ 1.613,16, sendo neste caso exigida 
uma entrada de R$ 12.000,00. Qual é a melhor alternativa para o comprador, se a taxa de mercado 
for de 3% a.m.? 
 
6. Uma loja vende a geladeira X por R$ 2.000,00 à vista ou financiada em 18 meses, a juros de 
3,5% a.m. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação 
vencer após 1 mês? 
 
7. Numa agência de automóveis o preço de um carro à vista é de R$ 50.000,00. Qual é o valor da 
prestação mensal, se o carro for financiado em 24 meses, sem entrada, e a taxa de juros contratada 
for de 3% a.m.? 
 
8. A loja de confecções Roupa Certa Ltda, vende um terno por R$ 3.000,00. No crediário é exigida 
uma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5 % a.m. Qual será o valor das 
prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais? 
 
9. Rony é gerente de uma imobiliária especializada na venda de apartamentos usados. Coloca à 
venda uma “kitchenette” por R$ 120.000,00 a vista ou em 5 anos a prazo, com uma entrada de 
R$ 30.000,00. Qual é o valor da prestação mensal, se a taxa considerada for de 1% a.m.? 
 
10. Marlene vendeu seu sítio na seguinte situação: entrada de R$ 50.000,00 mais 24 prestações 
trimestrais de R$ 3.500,00. Qual é o preço a vista do sítio, se nesta operação for utilizada uma taxa 
de 2% a.t.? 
 
11. Um apartamento é alugado por R$ 5.000,00 por mês. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 
mercado é de 2% a.m., qual é o valor aproximado deste imóvel? 
 
 
 31
 
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
12. Um imóvel é avaliado em R$ 1.000.000,00. Seu proprietário está disposto a alugá-lo por 
R$ 15.000,00 mensais, contudo, exige um mês de aluguel antecipadamente. Que taxa de juros ao 
mês, está cobrando? 
 
13. Uma chácara foi avaliada em R$ 350.000,00, a uma taxa corrente de mercado de 2,54% a.m. 
Qual seria o valor do aluguel mensal, se o proprietário exigisse dois meses de antecedência? 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1. R$ 21.243,39 
2. R$ 6.549,68 
3. R$ 41.832,25 
4. O melhor sistema é a 1ª alternativa 
5. A 2ª alternativa 
6. R$ 151,63 
7. R$ 2.952,37 
8. R$ 354,63 
9. R$ 2.002,00 
10. R$ 116.198,74 
11. R$ 250.000,00 
12. 1,52% a.m. 
13. R$ 8.460,22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32
 
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
 
1. CONCEITUAÇÃO 
 
Em termos financeiros a dívida surge quando uma dada importância é emprestada por 
um determinado prazo. Quem assume a dívida obriga-se a restituir o principal mais os juros devidos, 
no prazo estipulado. 
Segundo as práticas habituais os empréstimos classificam-se em: de curto, de médio e 
de longo prazo. 
Os empréstimos de curto ou de médio prazo caracterizam-se, em geral, por serem 
saldados em até 3 anos (anuidades). 
Os empréstimos de longo prazo sofrem um tratamento especial, pois existem várias 
modalidades de tratamento de restituição do principal e juros. 
As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização. 
Nos sistemas de amortização a serem estudados, os juros serão calculados sempre sobre o saldo 
devedor (regime de juros compostos). 
 
2. DEFINIÇÕES 
 
Alguns termos, de uso corrente, devem ser explicitados para maior clareza posterior: 
- Mutuante ou credor: aquele que dá o empréstimo. 
- Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo. 
- Taxa de juros: é a taxa de juros contratada entre as partes. 
- Prazo de utilização: corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é 
transferido do credor para o devedor. 
- Prazo de carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e 
o pagamento da primeira amortização. 
- Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, 
do capital emprestado. 
- Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as 
amortizações. 
- Prestação: é a soma da amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos em 
um dado período. 
- Planilha: é um quadro, padronizado ou não, colocados os valores referentes ao 
empréstimo. 
- Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com o prazo de 
amortização. 
- Saldo devedor: é o estado da dívida, ou débito, em um determinado instante de tempo. 
- Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações. 
 
3. CLASSIFICAÇÃO DAS MODALIDADES DE AMORTIZAÇÃO 
 
Os principais sistemas de amortização são os seguintes: 
a) Sistema de amortização constante (SAC) 
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada período, 
multiplicando-se a taxa de juros contratada (forma unitária), pelo saldo devedor existente no 
período anterior. 
 33
 
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
 
b) Sistema francês (SF) 
As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e 
a outra o principal. A dívida fica completamente saldada na última prestação. 
Este sistema, acrescida certa peculiaridade de cálculo, é também conhecido como 
Sistema Price. 
 
c) Sistema misto (SAM) 
Criado em 1979, pelo BNH, e pelo próprio nome, constitui-se num misto entre o 
Sistema Francês (Tabela Price) e o Sistema de Amortização Constante. 
 
d) Sistema americano 
Após, certo prazo o devedor paga, em única parcela, o capital emprestado. A 
modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência. 
 
3.1. Sistema de amortização constante (SAC) 
 
Por esse sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo 
os juros sobre o saldo devedor. Como n amortizações iguais devem saldar a dívida PV, então, para 
calcular cada uma, basta dividir o total do empréstimo PV pelo número n de parcelas: 
 
 
n
PVA = 
 
Em seguida, são calculados os juros (J1, J2, J3,..., Jn) para cada período e só então, 
calcula-se o valor de cada prestação (P1, P2, P3,..., Pn), que representa a soma dos juros com a 
amortização correspondente ao período. 
 
Exemplo1: Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00, que o banco entrega no ato. 
Sabendo-se que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% a.a. pelo prazo de 4 
anos, através do SAC, construir a planilha: 
 
Resolução: 
A amortização anual é: 000.25
4
000.100
===
n
PVA 
 
 
000.75000.25000.100
000.35000.10000.25
000.1010,0.000.100.
1
11
1
=−=−=
=+=+=
===
APVSDJAP
iPVJ
 
 
000.50000.25000.75
500.32500.7000.25
500.710,0.000.75.
12
22
12
=−=−=
=+=+=
===
ASDSD
JAP
iSDJ
 
 34
 
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
000.25000.25000.50
000.30000.5000.25
000.510,0.000.50.
23
33
23
=−=−=
=+=+=
===
ASDSD
JAP
iSDJ
 
0000.25000.25
500.27500.2000.25
500.210,0.000.25.
34
44
34
=−=−=
=+=+=
===
ASDSD
JAP
iSDJ
 
 
Admita que o principal fora emprestado no início do primeiro ano e que as prestações e 
os juros sejam pagos no fim de cada ano. 
Tem-se: 
 (R$) 
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 
0 
1 
2 
3 
4 
 
Total 
 
- 
35.000,00 
32.500,00 
30.000,00 
27.500,00 
 
125.000,00 
 
- 
10.000,00 
7.500,00 
5.000,00 
2.500,00 
 
25.000,00 
 
- 
25.000,00 
25.000,00 
25.000,00 
25.000,00 
 
100.000,00 
 
100.000,00 
75.000,00 
50.000,00 
25.000,00 
0,00 
 
- 
 
Observa-se que no SAC os pagamentos das prestações são decrescentes, uma vez que, 
são a soma de amortizações iguais com juros cada vez menores. 
 
Exemplo2: Considerando-se o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00, que o banco 
entrega no ato. Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão pagos 
anualmente, que a taxa de juros é de 10% a.a. e que o principal será amortizado (SAC) em 4 
parcelas anuais, construir a planilha: 
 
Resolução: 
A amortização anual é: 000.25
4
000.100
===
n
PVA 
 
Do mesmo modo, que o exemplo anterior, admita que o principal fora emprestado no 
início do primeiro ano e que as prestações e os juros sejam pagos no fim de cada ano. 
Tem-se: 
 (R$) 
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
Total 
 
- 
10.000,00 
10.000,00 
35.000,00 
32.500,00 
30.000,00 
27.500,00 
 
145.000,00 
 
- 
10.000,00 
10.000,00 
10.000,00 
7.500,00 
5.000,00 
2.500,00 
 
45.000,00 
 
- 
- 
- 
25.000,00 
25.000,00 
25.000,00 
25.000,00 
 
100.000,00 
 
100.000,00 
100.000,00 
100.000,00 
75.000,00 
50.000,00 
25.000,00 
0 
 
- 
 35
 
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
3.2. Sistema francês de amortização (SF) 
 
Por esse sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em 
prestações iguais entre si e periódicas; incluindo em cada, uma amortização parcial do empréstimo e 
os juros sobre o saldo devedor. 
Neste caso, tem-se que resolver dois problemas para a construção da planilha: como 
calcular a prestação e como separar a amortização dos juros. Admita-se que a taxa de juros seja 
referida ao período de amortização. 
As prestações iguais são calculadas como se fossem os termos de uma anuidade, de 
acordo com o modelo básico: 
P = R . an⎤ i ou 
R = P 
 an⎤ i 
 
Em seguida, são calculados os juros (J1, J2, J3,..., Jn) para cada período, que incide sobre 
o saldo devedor do período anterior, e só então, calcula-se o valor de cada amortização (A1, A2, A3,..., 
An), que representa a diferença entre a prestação e o juro correspondente ao período. Por sua vez, o 
saldo devedor do período (SD1, SD2, SD3,..., SDn) será calculado como sendo a diferença entre o 
saldo devedor do período anterior e a amortização no período. 
 
Exemplo3: Um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato sem prazo de carência. 
Sabendo que o banco utiliza o SF, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a 
devolução em 5 prestações, construir a planilha: 
 
Resolução: 
 
Se o principal PV vai ser devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas, tem-se uma 
anuidade que se conforma ao modelo básico: 
P = R . an⎤ i ou seja: 
100.000,00 = R . a5⎤ 10 
100.000,00 = R . 3,790787 
790787,3
00,000.100 = R ou R ≅ R$ 26.379,75 (prestação anual) 
 
 
25,620.8375,379.16000.100
75,379.16000.1075,379.26
000.1010,0.000.100.
101
11
1
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iPVJ
 
 
53,602.6572,017.1825,620.83
72,017.1803,362.875,379.26
03,362.810,0.25,620.83.
212
22
12
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iSDJ
 
 
 
 36
 
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
 
03,783.4550,819.1953,602.65
50,819.1925,560.675,379.26
25,560.610,0.53,602.65.
323
33
23
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iSDJ
 
 
58,981.2345,801.2103,783.45
45,801.2130,578.475,379.26
30,578.410,0.03,783.45.
434
44
34
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iSDJ
 
 
00,058,981.2358,981.23
58,981.2316,398.275,379.26
16,398.210,0.58,981.23.
545
55
45
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iSDJ
 
 
Tem-se então, a planilha: 
 (R$) 
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Total 
 
- 
26.379,75 
26.379,75 
26.379,75 
26.379,75 
26.379,74 
 
131.898,74 
 
- 
10.000,00 
8.362,03 
6.560,25 
4.578,30 
2.398,16 
 
31.898,74 
 
- 
16.379,75 
18.017,72 
19.819,50 
21.801,45 
23.981,58 
 
100.000,00 
 
100.000,00 
83.620,25 
65.602,53 
45.783,03 
23.981,58 
0,00 
 
- 
Nota: Fez-se um pequeno acerto na última prestação para zerar o SD. 
 
Exemplo4: Um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato, com 3 anos de 
carência. Sabendo que o banco utiliza o SF, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco 
quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha, no caso do mutuário pagar os juros devidos 
durante a carência. 
 
Resolução: 
 
O procedimento para o período de carência é o mesmo já visto para o SAC, ou seja, os 
juros são calculados sobre o saldo devedor. 
O cálculo das prestações e a separação entre amortizações e juros se processa como no 
exemplo anterior. 
Se o principal PV vai ser devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas, tem-se uma 
anuidade que se conforma ao modelo básico: P = R . an⎤ i ou seja: 
100.000,00 = R . a5⎤ 10 
100.000,00 = R . 3,790787 
 R ≅ R$ 26.379,75 (prestação anual) 
 37
 
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
 
Tem-se a planilha: 
 (R$) 
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
Total 
 
- 
10.000,00 
10.000,00 
26.379,75 
26.379,75 
26.379,75 
26.379,75 
26.379,74 
 
151.898,74 
 
- 
10.000,00 
10.000,00 
10.000,00 
8.362,03 
6.560,25 
4.578,30 
2.398,16 
 
51.898,74 
 
- 
- 
- 
16.379,75 
18.017,72 
19.819,50 
21.801,45 
23.981,58 
 
100.000,00 
 
100.000,00 
100.000,00 
100.000,00 
83.620,25 
65.602,53 
45.783,03 
23.981,58 
0,00 
 
- 
Nota: Fez-se um pequeno acerto na última prestação para zerar o SD. 
 
 
3.2.1. Sistema Price 
 
Este sistema também é conhecido como “tabela price” e é um caso particular do sistema 
francês, com as seguintes características: 
a) A taxa de juros contratada é dada em termos nominais. Na prática esta taxa é dada em 
termos anuais. 
 
b) As prestações têm período menor que aquele a que se refere à taxa. Em geral, as 
amortizações são feitas em base mensal. 
 
c) No cálculo, é utilizada a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, 
calculada a partir da taxa nominal. 
 
Exemplo5: Um banco emprestou R$ 100.000,00 entregues no ato, sem prazo de carência. 
Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 12% a.a., tabela Price, e que a 
devolução deve ser feita em 8 meses, construir a planilha. 
 
Resolução: 
 
Se o sistema adotado é “tabela Price” e sendo de 12% a.a. a taxa, tem-se que,a taxa 
proporcional mensal é: 
i12 = 01,0
12
12,0
= a.m. ou i12 = 1% a.m. 
Como são 8 prestações iguais e postecipadas, calcula-se a8⎤1 e aplica-se a fórmula: 
P = R . an⎤ i 
a8⎤1 ≅ 7,651678 e R = 651678,7
000.100
≅ R$ 13.069,03 (prestações mensais) 
 38
 
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena PinedoTem-se a planilha: 
 
 (R$) 
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 
Total 
 
- 
13.069,03 
13.069,03 
13.069,03 
13.069,03 
13.069,03 
13.069,03 
13.069,03 
13.069,03 
 
104.552,24 
 
- 
1.000,00 
879,31 
757,41 
634,30 
509,95 
384,36 
257,51 
129,40 
 
4.552,24 
 
- 
12.069,03 
12.189,72 
12.311,62 
12.434,73 
12.559,08 
12.684,67 
12.811,52 
12.939,63 
 
100.000,00 
 
100.000,00 
87.930,97 
75.741,25 
63.429,63 
50.994,90 
38.435,82 
25.751,15 
12.939,63 
0,00 
 
- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
 
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Elabore um plano de pagamento com base no SAC, correspondente a um empréstimo de 
R$ 300.000,00, à taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 10 prestações mensais. 
 
2. Um empréstimo de R$ 120.000,00 é feito pelo SAC, à taxa de 2% a.m., devendo ser devolvido 
em 8 prestações mensais. Sabendo que houve um prazo de carência de 3 meses, elabore uma 
planilha de pagamento. 
 
3. Construa uma planilha referente a um empréstimo pelo SF de R$ 85.000,00, à taxa de 1,5% a.m., 
para ser liquidado em 10 prestações mensais. 
 
4. Um financiamento de R$ 400.000,00 é feito à taxa de 18% a.a. (Tabela Price) para liquidação em 
6 meses. Elabore o plano de pagamento. 
 
5. Um empréstimo feito pelo sistema Price, de R$ 20.000,00 é concedido para ser pago em 20 
prestações trimestrais. Sabendo que a taxa de juros é de 40% a.a., calcule o saldo devedor após o 
pagamento da décima prestação. 
 
6. Um apartamento é comprado por R$ 150.000,00, sendo R$ 30.000,00 de entrada e o restante a 
ser pago pelo SF, em 12 prestações mensais, à taxa de 2% a.m., com 4 meses de carência. Construa 
a planilha para pagamento dos juros devidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A análise de investimento envolve decisões de aplicação de recursos, a longo prazo 
(maiores que um ano), a fim de propiciar expectativas na viabilidade de investimentos. 
Existem diversas técnicas, métodos e critérios decisórios utilizados, em geral, que 
asseguram uma tomada de decisão em investimentos de projetos financeiros. 
Propõem-se neste estudo, dois métodos mais usuais na análise econômico-financeira: 
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR). 
 
 
2. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS 
 
2.1. VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 
 
O cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) ou Net Present Value (NPV), uma das 
técnicas consideradas sofisticadas em análise de projetos, leva em conta o valor do dinheiro no 
tempo atual. Retorna o valor líquido atual de um investimento, baseado em uma taxa de desconto e 
em uma série de pagamentos futuros e de recebimentos. Portanto, todas as entradas e saídas de 
caixa são tratadas no tempo presente. 
É obtido, calculando-se o valor presente de uma série de fluxos de caixa (pagamento ou 
recebimento), iguais ou diferentes, baseado em uma taxa de custo de oportunidade conhecida ou 
estimada, e subtraindo-se o investimento inicial. 
Escreve-se: 
VPL =∑
=
−
+
n
j
j
j FC
i
FC
1
0)1(
 ou 
 
VPL = 04
4
3
3
2
2
1
1
)1(
...
)1()1()1()1(
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
n
n −⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
++
+
+
+
+
+
+
+
 
 
Em que, FCj representa os valores dos Fluxos de Caixa de ordem “j”, com j = 1, 2, 3,..., n; FC0 
representa o valor do Fluxo Inicial e “i ”a taxa de juros da operação financeira. 
 
 
2.1.1. CRITÉRIOS DE DECISÃO 
 
Quando usamos o VPL para tomar decisões de aceitação-rejeição, os critérios são os 
seguintes: 
• Se o VPL for maior ou igual a $0, aceitar o projeto. 
• Se o VPL for menor que $0, rejeitar o projeto. 
 
Em termos de análise serão consideradas interessantes as alternativas de ação, cujo VPL 
seja positivo, sendo tanto mais interessante quanto maior for o VPL, porque esse valor positivo 
representará a quantidade de dinheiro que teremos ganhado, em dinheiro de hoje, além da 
expectativa. 
 41
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Por outro lado, um resultado de VPL negativo para um Fluxo de Caixa que tenha 
receitas e despesas envolvidas significará que aquele negócio possui uma remuneração aquém da 
expectativa, ou ainda, que aquele negócio paga aquela quantidade de dinheiro, em dinheiro de hoje, 
a menos do que gostaríamos. 
Finalmente, um resultado do VPL nulo para a somatória dos valores na data zero, 
demonstrará que aquele investimento paga exatamente a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), 
portanto, também poderá ser considerado um investimento interessante. 
 
2.1.2. EXEMPLOS 
 
Exemplo1: Uma empresa transportadora está analisando a conveniência da compra de 
um caminhão, no valor de R$ 103 milhões. Segundo os técnicos dessa empresa, a utilização desse 
veículo nos próximos cinco anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em R$ 30, R$ 35, R$ 32, 
R$ 28 e R$ 20 milhões; respectivamente. Sabendo-se que no final do 5º ano se espera vender esse 
caminhão por R$ 17 milhões, verificar qual a decisão da empresa para taxas de retorno fixadas em 
15% e 18% ao ano. 
 Fluxo de Caixa, esquematicamente. 
 
Observação: Fluxo de Caixa no 5º ano é representado pelo preço de venda do caminhão mais 
receita do ano, ou seja: R$ 17 + R$ 20 = R$ 37 milhões. 
 
a) Solução para taxa de retorno de 15% a.a. 
 
VPL =∑
=
−
+
n
j
j
j FC
i
FC
1
0)1(
 
 
VPL = 00,103
)15,01(
37
)15,01(
28
)15,01(
32
)15,01(
35
)15,01(
30
54321 −+
+
+
+
+
+
+
+
+
 
 
VPL = 26,09 + 26,47 + 21,04 + 16,01 + 18,40 – 103,00 
 
VPL = 108,01 – 103,00 
 
VPL = R$ 5,01 (milhões) 
∴ Como o VPL é superior a zero (R$ 5,01 milhões), significa que se todas as entradas forem 
trazidas para a data focal zero, elas cobrem o investimento inicial de R$ 103 milhões e ainda, geram 
um adicional de R$ 5,01 milhões, tornando assim, o projeto viável. 
 42
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
b) Solução para taxa de retorno de 18% a.a. 
 
VPL =∑
=
−
+
n
j
j
j FC
i
FC
1
0)1(
 
 
VPL = 00,103
)18,01(
37
)18,01(
28
)18,01(
32
)18,01(
35
)18,01(
30
54321 −+
+
+
+
+
+
+
+
+
 
 
VPL = 25,42 + 25,14 + 19,48 + 14,44 + 16,17 – 103,00 
 
VPL = 100,65 – 103,00 
 
VPL = R$ – 2,35 (milhões) 
 
∴ Como nesta hipótese o VPL é negativo (– R$ 2,35 milhões), significa que se todas as entradas 
forem trazidas para a data focal zero, elas NÃO cobrem o investimento inicial de R$ 103 milhões e 
ainda, geram um prejuízo de R$ 2,35 milhões, tornando assim, o projeto inviável. 
 
 
Exemplo2: Um televisor LCD 50 polegadas, é financiado em 18 prestações mensais 
iguais e sucessivas de R$ 325,00 e mais três prestações semestrais (prestação-reforço) de R$ 775,00; 
R$ 875,00 e R$ 975,00. Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela Financeira 
foi de 8,7% a.m. 
 
Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa 
 
 
Observação: Os valores dos fluxos do 6º, 12º e 18º meses são iguais, ao valor das prestações 
mensais acrescidos dos respectivos valores das prestações semestrais. 
 
VPL = 00,0
)087,01(
975
)087,01(
875
)087,01(
775
)087,01(087,0
1)087,01(325 1812618
18
−
+
+
+
+
+
+
+×
−+
× 
 43
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
VPL = 2.903,42 + 469,81 + 321,55 + 217,21 – 0,00 
 
VPL = R$ 3.911,99 
 
∴ Portanto, o valor financiado do televisor foi de R$ 3.911,99, isto é, considerando-se o Fluxo 
inicial igual a R$ 0,00; o valor do financiamento pode ser determinado através do cálculo do VPL. 
 
Exemplo3: Um apartamento foi colocado à venda, pelo valor de R$ 3 milhões a vista, ou 
em doisanos de prazo, com R$ 800.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de 
R$ 180.000,00 e mais 12 de R$ 281.860,00. Admitindo-se que você esteja interessado em adquiri-lo 
e que tenha recursos para comprá-lo até mesmo a vista, qual seria sua decisão? Utilize nesta análise, 
taxas de 6% a.m., 8% a.m. e 10% a.m. 
 
Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa 
 
 
 
 
 
a) Solução para taxa de 6% a.a. 
 
VPL= 00,0
)06,01(
1
)06,01(06,0
1)06,01(860.281
)06,01(06,0
1)06,01(000.180000.800 1212
12
12
12
−
+
×
+×
−+
×+
+×
−+
×+ 
VPL= 800.000 + 1.509.091,91 + 1.174.373,52 – 0,00 
 
VPL= R$ 3.483.465,43 
 
∴ Do ponto de vista econômico, é mais viável comprar a vista, uma vez que, o VPL que representa 
o valor presente dos pagamentos realizados a prazo; é maior que os R$ 3 milhões pedidos a vista. 
 
b) Solução para taxa de 8% a.a. 
 
VPL= 00,0
)08,01(
1
)08,01(08,0
1)08,01(860.281
)08,01(08,0
1)08,01(000.180000.800 1212
12
12
12
−
+
×
+×
−+
×+
+×
−+
×+ 
 
 44
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
VPL= 800.000 + 1.356.494,04 + 843.516,86 – 0,00 
 
VPL= R$ 3.000.010,90 
 
∴ Do ponto de vista econômico, é indiferente comprar a vista ou a prazo; uma vez que, o VPL é 
praticamente igual ao valor a vista. 
 
c) Solução para taxa de 10% a.a. 
 
VPL= 00,0
)10,01(
1
)10,01(10,0
1)10,01(860.281
)10,01(10,0
1)10,01(000.180000.800 1212
12
12
12
−
+
×
+×
−+
×+
+×
−+
×+ 
VPL= 800.000 + 1.226.464,53 + 611.932,77 – 0,00 
 
VPL= R$ 2.638.397,30 
 
∴ Neste caso, é mais aconselhável comprar a prazo, uma vez que, o VPL que representa o valor 
presente dos pagamentos realizados a prazo; é menor que os R$ 3 milhões pedidos a vista. 
 
2.2. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
 
A Taxa Interna de Retorno (TIR) ou Internal Rate of Return (IRR) de um fluxo de 
caixa, é a taxa que iguala o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor 
presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa). Como em geral, tem-se o fluxo inicial 
(valor do investimento, ou empréstimo, ou financiamento) e diversos fluxos futuros de caixa 
(valores das receitas ou prestações), a equação que dá a Taxa Interna de Retorno (TIR) pode ser 
escrita a seguir: 
 
0
)1(
...
)1()1()1()1( 04
4
3
3
2
2
1
1 =−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
++
+
+
+
+
+
+
+
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
n
n 
 
0
)1( 01
=−
+∑=
FC
i
FCn
j
j
j
 
 
De onde se deduz que: 
 
∑
= +
=
n
j
j
j
i
FC
FC
1
0 )1( 
 
 
 45
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Em que “ i ” representa a Taxa Interna de Retorno, “FC0” o Fluxo Inicial, no momento zero e 
“∑
= +
n
j
j
j
i
FC
1 )1(
”a soma dos valores futuros de Fluxos de Caixa. 
 
 
2.2.1. CRITÉRIOS DE DECISÃO 
 
Quando usamos a TIR para tomar decisões de aceitação-rejeição, os critérios são os 
seguintes: 
• Se a TIR for maior ou igual à TMA, aceitar o projeto. 
• Se a TIR for menor que a TMA, recusar o projeto. 
 
Esses critérios garantem que a empresa receba, pelo menos, o retorno requerido. Tal 
resultado deve aumentar seu valor de mercado, portanto, a riqueza de seus proprietários. 
O método da TIR é aquele que nos permite encontrar a remuneração do investimento 
em termos percentuais, ou seja, o percentual exato de remuneração que o investimento oferece. 
A utilização exclusiva da TIR como ferramenta de análise, poderá levar ao equívoco de 
se aceitar projetos que não remuneram adequadamente o capital investido, por isso, deve ser uma 
ferramenta complementar à análise de investimentos. 
 
2.2.2. EXEMPLOS 
 
Exemplo1: Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de 
R$ 1.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00. 
 
Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa 
 
 
Solução: Utilizando-se a fórmula 0
)1( 01
=−
+∑=
FC
i
FCn
j
j
j ou ∑
= +
=
n
j
j
j
i
FC
FC
1
0 )1(
, tem-se: 
 
( ) ( ) 321 )1(
400
1
500
1
300000.1
iii +
+
+
+
+
= 
 
 46
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
Observação: O cálculo do valor da taxa interna de retorno “ i ” é extremamente complexo e pode 
ser resolvido por “tentativa e erro”, utilizando-se o processo de interpolação linear. Neste estudo 
deve-se optar pelo uso de calculadoras adequadas ou do Microsoft Excel. 
 
 
Portanto, tem-se no Exemplo1, que TIR = 9,26% a.m. ou TIR = 9,265% a.m. Ainda, se 
for feito um cálculo do Valor Presente dos três pagamentos citados, à taxa de 9,265% a.m.; obtém-
se um valor de R$ 999,99 (diferença de R$ 0,01); correspondente ao empréstimo de R$ 1.000,00. 
 
 
Exemplo2: Um equipamento no valor de R$ 70 milhões é integralmente financiado, para 
pagamento em sete parcelas mensais; as três primeiras de R$ 10 milhões, as duas seguintes de R$ 
15 milhões, a 6ª de R$ 20 milhões e a 7ª de R$ 30 milhões. Determinar a taxa interna de retorno 
dessa operação. 
 
Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa 
 
 
 
Solução: Utilizando-se a fórmula 0
)1(1
0 =+
−∑
=
n
j
j
j
i
FC
FC ou ∑
= +
=
n
j
j
j
i
FC
FC
1
0 )1(
, tem-se: 
 
( ) ( ) 76543
3
)1(
30
)1(
20
)1(
15
1
15
1
1)1(1070
iiiiii
i
+
+
+
+
+
+
+
+
+×
−+
×= 
 
 
Portanto, tem-se no Exemplo2, que TIR = 10,40% a.m. ou TIR = 10,397% a.m. Ainda, 
se for feito um cálculo do Valor Presente das sete prestações mencionadas, à taxa de 10,397% a.m.; 
obtém-se um valor de R$ 70 milhões; correspondente ao financiamento do equipamento. 
 
 
Exemplo3: Um consumidor adquire um eletrodoméstico pelo sistema de crediário para 
pagamento em seis prestações mensais de R$ 735,70. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 
2.450,00 e que a primeira prestação será paga no final do 5º mês (4 meses de carência); determinar 
a taxa de juros cobrada pela loja. 
 47
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
A seguir, a representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa da operação. 
 
 
 
Solução: Utilizando-se a fórmula 0
)1(1
0 =+
−∑
=
n
j
j
j
i
FC
FC ou ∑
= +
=
n
j
j
j
i
FC
FC
1
0 )1(
, tem-se: 
 
( ) 46
6
)1(
1
1
1)1(70,735450.2
iii
i
+
×
+×
−+
×= 
 
 
Portanto, tem-se no Exemplo3, que TIR = 8,30% a.m. ou TIR = 8,2997% a.m. Ainda, se 
for feito um cálculo do Valor Presente das seis prestações mencionadas, com 4 meses de carência à 
taxa de 8,2997% a.m.; obtém-se um valor de R$ 2.449,99 (diferença de R$ 0,01); correspondente ao 
financiamento do eletrodoméstico de R$ 2.450,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48
 
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – 
Profª. Maria Helena Pinedo 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Um investimento proposto custando $60.000,00 deve resultar nas seguintes entradas de caixa 
após o imposto de renda durante um período de sete anos: 
 
Ano Valor 
1 10.000 
2 15.000 
3 15.000 
4 20.000 
5 15.000 
6 10.000 
7 5.000 
 
a) Calcule o VPL a 10% e 16% ao ano. 
b) Determine a TIR da preposição. 
c) Se os fluxos de caixas anuais fossem $13.000 por ano durante sete anos, qual seria o VPL a 10% 
ao ano? 
 
2. Um investimento proposto custando $1.000.000,00 deve resultar nas seguintes entradas de caixa 
após o imposto de renda, durante um período de sete anos: 
Ano Valor 
1 100.000 
2 100.000 
3 350.000 
4 400.000 
5 200.000 
6 150.000 
7 100.000 
a) Calcule o VPL a 5% e 12% ao ano. 
b) Determine a TIR da preposição. 
c) Se os fluxos de caixas anuais fossem $200.000,00 por ano, durante sete anos, qual seria o VPL a 
3%ao ano? 
 
3. Cristina precisa avaliar um novo investimento, que segundo suas estimativas, vai gerar os 
seguintes fluxos de caixa anual: $7.000; $6.000; $5.000; $4.000; $3.000; $2.000; $1.000. O 
investimento será de $18.000 e ele trabalha com uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano.

Outros materiais