Teoria Cinética dos Gases

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Teoria Cinética dos Gases
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Viviane Galvão
vivgalvao@gmail.com
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Estudo dirigido – Teoria Cinética dos Gases
 O que é um gás???
 Número de Avogadro
 Modelo do Gás Ideal ou Perfeito
 Definição da Pressão e Energia Cinética de um gás
 Velocidade Quadrática média
 Caminho livre médio
 Calor específico molar a volume constante
 Calor específico molar a pressão constante
 Teorema da Equipartição de Energia – graus de liberdade
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Estudo dos Gases
 O que é um gás???
 Um dos estados físicos da matéria com 
mais energia
 Não possui forma nem volume definido
 Apresenta uma estrutura desorganizada
 É considerado um fluido por suas 
propriedades de compressibilidade e
expansibilidade
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Pressão

p = pressão
F = força
A = área
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 Variáveis de Estado
 Temperatura (T)
 sempre em Kelvin (TK = Tc+273)
 Pressão (p)
- em atmosferas ou pascal(N/m2) 
 Volume (V)
- em litros ou m3
Estudo dos Gases
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Estudo dos Gases
 Gás formado por átomos (isolados ou unidos em moléculas) que ocupam totalmente o volume do recipiente, exercem pressão sobre suas paredes e possui uma temperatura
 Estas 3 propriedades de um gás (volume, pressão e temperatura) estão relacionadas ao movimento dos átomos
 Volume é o resultado da liberdade que os átomos têm de espalhar por todo o recipiente
 Pressão é causada por colisões dos átomos com as paredes do recipiente
 Temperatura está associada à energia cinética dos átomos
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Estudo dos Gases
 As moléculas interagem entre elas, e essa interação acontece aos pares, ou seja elas interagem duas a duas
 Se neste gás existirem N moléculas cada molécula interage com todas as outras N-1 moléculas
 Cada molécula deve ter o seu movimento governado pela segunda lei de Newton, e portanto temos N equações referentes a aplicação dessa lei, uma para cada molécula
 Como cada molécula interage com as restantes, o seu movimento irá interferir no movimento de todas as outras, e dizemos então que essas equações estão acopladas
 O número de equações resultante deste modelo torna a sua solução numérica impossível usando computadores atuais
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Algumas considerações microscópicas
 Como pode-se quantificar as relações entre quantidades macroscópicas (as variáveis de estado) e microscópicas (energia, momento linear, etc) de um sistema?
 A resposta é o objetivo de estudo da chamada.....
Teoria cinética dos gases
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Teoria Cinética dos Gases
 Termodinâmica lida apenas com variáveis macroscópicas, tais como a pressão, a temperatura e o volume. Suas leis básicas, expressas em termos de tais grandezas, nada dizem a respeito da constituição atômica da matéria
 Mecânica Estatística, entretanto, lidando com a mesma área da ciência que a Termodinâmica, pressupõe a existência de átomos; suas leis fundamentais são as da mecânica, aplicadas aos átomos que constituem o sistema.
 O estudo individual do movimento dos átomos que constituem um gás não é importante se desejarmos apenas determinar o seu comportamento macroscópico. 
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 Modelo microscópico bastante rudimentar que explica muitas propriedades dos gases sem a formulação da teoria quântica.
Hipótese Básicas:
1) O gás é constituído de um no extremamente grande de
moléculas idênticas
2) O tamanho de uma molécula de gás é desprezível em
comparação com a distância média entre elas. As moléculas
ocupam uma fração pequena do volume total ocupado pelo
gás (as moléculas são separadas por distâncias grandes)
3) As moléculas são consideradas como pequenas esferas em sua forma, pois se pretende analisar somente o movimento de translação e a energia associada a ele, desprezando-se os movimentos de rotação e as energias a este associada
Teoria Cinética dos Gases
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Teoria Cinética dos Gases
4) As moléculas estão em movimento constante em todas as direções 
	a) capacidade de expansão do gás
	b) velocidades moleculares são altas (centenas m/s)
	c) freqüentes colisões das moléculas com as paredes e 	umas com as outras
	d) devido as colisões as velocidades de distribuem 	uniformemente (todas as direções e velocidades são 	igualmente prováveis)
5) Forças de interação entre as moléculas são de curto alcance, atuando somente durante as colisões (moléculas como esferas impenetráveis)
6) Tanto as colisões entre as moléculas como as colisões com as paredes do recipientes são perfeitamente elásticas energia cinética se conserva) caso contrário (perde de energia) a pressão do gás iria decrescer espontaneamente.
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Número de Avogadro
 O mol (SI) é definido da seguinte forma:
Um mol é o número de moléculas que existem em 12g de carbono 12
 Experimentalmente, se determina quantas moléculas existem em um mol, e esse é o chamado número de Avogadro NA,
NA = 6,02x1023 mol-1
Desse modo, já podemos relacionar número de mols n e número de moléculas da amostra N , ou seja:
n = N / NA
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 Gás Ideal ou Perfeito
 Um gás ideal, independente da pressão e da temperatura, não sofre mudança de fase e permanece sempre na fase gasosa
 Medidas experimentais mostram que se colocarmos 1 mol de vários gases em recipientes de mesmo volume e mantivermos os gases a mesma temperatura, as pressão serão quase iguais
 Contudo, para baixas concentrações, o gás real se comporta aproximadamente como um gás ideal e obedece à relação:
PV = nRT
onde, P = pressão, n = número de mols, R (constante dos gases ideais) = 8,31 J/mol.K, T = temperatura em Kelvin.
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Gás Ideal ou Perfeito
 Podemos escrever a lei dos gases ideais em termos da constante de Boltzmann k, definida como:
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Colisões e pressões do gás
 Para cada colisão a componente x
da velocidade varia de –vx até +vx
 Na física clássica, o momento linear (P) é 
definida pelo produto de massa e velocidade
 Componente x do momento linear
varia de –mvx até +mvx 
 Variação da componente x do momento linear é dada 
por:		 mvx – (-mvx) = 2mvx
 Volume é Avxdt. Supondo que o no de moléculas seja uniforme  o no de moléculas é (N / V) Avx dt. 
 Na média metade das moléculas se aproximam da parede e metade se afastam  o no de colisões na área A durante dt é:
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 Variação total do momento linear dpx durante dt = no de
colisões multiplicado pela variação de momento na componente x
Colisões e pressões do gás
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Colisões e pressões do gás
 2ª Lei de Newton, a taxa de variação do momento linear é a 
força que a área A da parede exerce sobre a molécula
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Pressão e Energia Cinética
 O módulo da velocidade v da molécula é relacionado as
componentes vx, vy, vz por
 Em nosso modelo não existe nenhuma diferença real entre
as direções x, y e z  (vx2)med, (vy2)med, (vz2)med devem ser iguais
 Então, (v2)med = 3(vx2)med 
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Pressão e Energia Cinética
 Lembrando,
e
 O produto da Ec média pelo no total de moléculas N é igual a
Energia Cinética Aleatória Ktr do movimento de translação de 
todas as moléculas 
 O produto PV é igual a dois terços da Energia Cinética 
Translacional total
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Pressão e Energia Cinética
 Como, PV = nRT (eq. Gás ideal) ou PV = NkBT (eq. Gás ideal 
em termos da constante de Boltzmann kB) 
 Do slide anterior  O produto PV é igual a dois terços da Energia Cinética Translacional total
ou
 Ec translacional é diretamente proporcional a Temperatura 
absoluta T  não depende da pressão, volume, nem do tipo de
molécula
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Velocidade Quadrática média
 Ec translacional média de uma única molécula é a Ec 
translacional total Ktr dividida pelo n0 de moléculas N  para a eq. do Gás Ideal
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Velocidade Quadrática média
 Ec translacional média de uma única molécula é a Ec 
translacional total Ktr dividida pelo n0 de moléculas N  eq. Gás ideal em termos da constante de Boltzmann kB) 
 Lembrando da Ec translacional média usando a eq. do Gás ideal
 Podemos obter expressões para a raiz quadrada de (v2)med,
a chamada velocidade quadrática média vq-méd
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Caminho livre médio
 O movimento das moléculas componentes de um gás ideal é completamente aleatório; 
 O gás não é perfeitamente
ideal devido a colisões entre as moléculas
 Qual é a distância média entre as colisões?
Caminho livre médio
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Caminho livre médio
 Uma colisão acontece quando os centros de 2 moléculas ficam a uma distância d (diâmetro)
 Rep. equivalente – a molécula em movimento tem raio d e todas as outras moléculas são pontuais
 Se a densidade de partículas no gás for ρ = N/V , existirão no cilindro N partículas, onde
N = ρV = ρ (πd2 . vΔt)
 Este número de partículas N será exatamente 
o número de colisões num dado intervalo de 
tempo Δt  caminho livre médio é:
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 A temperatura do gás aumenta
T + ΔT e a pressão aumenta
p + Δp
 Modificando a eq. Q = mcΔT,
podemos escrever em mols
	 Q = nCvΔt 
 CV é a capacidade calorífica 
molar a volume constante 
Calor específico molar a volume constante
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 No processo isocórico V = constante 
 Do primeiro princípio da termodinâmica 
Calor específico molar a volume constante
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 Válida para qualquer processo no qual há variação de temperatura, não apenas para um processo isocórico 
 Verdade também para gases monoatômicos e poliatômicos
 Para variações infinitesimais, 
 Podemos generalizar a eq. para a Energia Interna de qualquer gás ideal substituindo 3R/2 por Cv:
Calor específico molar a volume constante
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Calor específico molar a pressão constante
 A temperatura do gás aumenta
T + ΔT e o volume aumenta
V + ΔV
 Modificando a eq. Q = mcΔT,
podemos escrever em mols
	 Q = nCpΔt 
 Cp é a capacidade calorífica 
molar a pressão constante 
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Calor específico molar a pressão constante
 No processo isobárico p = constante 
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Capacidades térmicas molares dos gases ideais (temperatura ambiente)
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Capacidades Térmicas e Equipartição de Energia
 Para gases não-monoatômicos tem-se em geral
 É uma indicação direta de que, nesse caso, as moléculas
não possuem apenas de energia cinética de translação. É
preciso levar em conta outras contribuições à energia das
Moléculas
 Como obter uma expressão para a energia interna de um
gás que inclua outras contribuições além da energia
cinética de translação?
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Capacidades Térmicas e Equipartição de Energia
Existem três modos atômicos de movimento:
– translação (movimento de uma molécula de um ponto no
espaço para outro)
– vibração (encurtamento e o alongamento de ligações,
incluindo a mudança nos ângulos de ligação)
– rotação (giro de uma molécula em torno de algum eixo)
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Capacidades Térmicas e Equipartição de Energia
1) Incluir outras contribuições
 Molécula diatômica: sistema de duas massas puntiformes, semelhante a um haltere  6 graus de liberdades:
 3 graus estão relacionados ao movimento translacional  a molécula se move como um todo e sua velocidade pode ser descrita como os componentes x, y e z do seu centro de massa (vx, vy, vz)  Energia Cinética de Translação
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Capacidades Térmicas e Equipartição de Energia
 2 graus de liberdade adicionais pelo movimento de rotação da molécula. A molécula gira ao redor do seu centro de massa  molécula tem 2 eixos de rotação independentes (x e y, x e z ou y e z)  Energia cinética de Rotação
 1 grau de liberdade adicional pelo movimento vibracional da molécula  molécula oscila como se os núcleos estivessem ligados por uma mola  Energia Cinética de vibração e Energia Potencial de vibração:
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Capacidades Térmicas e Equipartição de Energia
 Para levar em conta todas as formas pelas quais a Energia
pode ser armazenada em um gás, James Maxwell propôs o 
Teorema da Equipartição de Energia
Toda molécula tem um certo número f de graus de liberdade, que são formas independentes pelas quais a molécula pode armazenar Energia. A cada grau de liberdade está associada (em média) uma energia igual a:
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 A energia de um sistema em equilíbrio térmico está igualmente dividida entre todos os graus de liberdade 
 “Graus de liberdade” refere-se ao número de maneiras independentes pelas quais uma molécula pode ter energia.
 No caso do gás ideal cada molécula têm 3 graus de liberdade uma vez que se movimentam na direção dos eixos x,y e z
 A Energia Cinética Translacional total de N moléculas de gás é simplesmente N vezes a energia translacional média por molécula = Energia interna de um gás monoatômico 
Capacidades Térmicas e Equipartição de Energia 
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 Expressão para a energia interna
Capacidades Térmicas e Equipartição de Energia 
- Para a molécula diatômica vibratória, a expressão da
energia envolve sete termos quadráticos:
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Capacidades Térmicas e Equipartição de Energia 
 Do primeiro princípio da termodinâmica: 
 moléculas monoatômicas: f = 3
 moléculas diatômicas (sem vib): f = 5
 moléculas diatômicas (com vib): f = 7
 moléculas poliatômica (+ de 2 átomos)  possibilidade de rotação em torno de 3 eixos ortogonais, mesmo tratando-a como um corpo rígido: no mínimo f = 6
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Capacidades térmicas molares dos gases ideais (temperatura ambiente)
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Valores experimentais de Cv (calor específico molar a volume constante) para o gás hidrogênio (H2). A 
temperatura é representada em escala logaritmica
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