Questão resolvida - pontos críticos de uma função implícita - cálculo I - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine os pontos críticos da função sabendo que y é dada y = f x( )
implicitamente por .x − 2y − xy− x + 5y + 34 = 02 2
 
Resolução:
 
Para encontrar os pontos críticos fazemos a derivada implícita e igualamos a zero;
2x− 4y ⋅ y'− 1 ⋅ y + x ⋅ 1 ⋅ y' − 1 + 5 ⋅ 1 ⋅ y' = 0( )
−4y ⋅ y'− y - xy' + 5y' = 1 - 2x
 −4y ⋅ y' - xy' + 5y' = 1 - 2x + y
 y' ⋅ −4y - x + 5 = 1 - 2x + y( )
 y' =
1 - 2x + y
−4y - x + 5
 
Os pontos críticos são aqueles em que y'=0; 
= 0 1 - 2x + y = 0 y = 2x - 1
1 - 2x + y
−4y - x + 5
→ →
Substituindo na equação primitiva, temos:
 x − 2 2x - 1 − x 2x - 1 − x + 5 2x - 1 + 34 = 02 ( )2 ( ) ( )
x − 2 4x - 4x + 1 - 2x + x - x + 10x - 5 + 34 = 02 2 2
x - 8x + 8x - 2 - 2x + 10x + 29 = 02 2 2
-9x + 18x + 27 = 0 -9x + 18x + 27 = 0 ÷ -92 → 2 ( )
x - 2x - 3 = 02
 
x = = = =
- -2 ±
2 ⋅ 1
( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ -3( )2 ( ) 2 ±
2
4 + 12 2 ±
2
16 2 ± 4
2
x = = = 3; x = = = - 11
2 + 4
2
6
2
2
2 - 4
2
-2
2
 
substituindo na expressão : y = 2x - 1 y = 2 3 - 1 y = 6 - 1 y = 5→ ( ) → →
 y = 2 -1 - 1 y = -2 - 1 y = -3( ) → →
 
Dessa forma, os pontos críticos da função f x são 3, 5 e -1, -3( ) ( ) ( )