M- ¦ódulo 8

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Ao aplicar a fórmula para determinar o 
valor de n para estimar média e total, 
esbarramos em uma limitação prática: S2, 
a variância populacional, é desconhecida.
Vimos formas usuais para contornar este 
problema, mas nenhuma delas leva à
solução correta, que precisa do S2 real.
8 - Tamanho da Amostra para 
Estimar uma Proporção
No caso da estimação de uma proporção, 
teremos uma limitação semelhante. 
Todavia, neste caso, existe uma solução 
bastante elegante e largamente aplicada. 
8.1 - Tamanho de Amostra para estimar P
O procedimento é basicamente o mesmo 
que foi usado para achar n na seção 7.1. 
O que muda é apenas o fato de que o 
resultado do qual partimos passa a ser:
).1,0(N)Pˆ(EP
PPˆ
AAS
AAS
≈
−
n
)P1(P
1N
nN −
−
−
Após um certo algebrismo, chegamos a:
N
)1n(1
n
n
0
0
−
+
=
.
)P1(Pz
n 2
2
0 





ε
−
=
Se N >> n (situação usual), faz-se: n = n0.
Porém, neste caso, há uma forma de 
resolver, que é justamente a tal solução 
elegante que foi mencionada anteriormente, 
e que será apresentada a seguir.
Problema: o valor de P é desconhecido!
A idéia é que, embora P seja 
desconhecido, a função P(1-P) 
possui um valor máximo em P = 0,5.
Este valor é 0,25. 
Vejamos graficamente...
2
Gráfico de f(P) = P(1-P) x P:
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0
0,
06
0,
12
0,
18
0,
24 0,
3
0,
36
0,
42
0,
48
0,
54 0,
6
0,
66
0,
72
0,
78
0,
84 0,
9
0,
96
P
f(P
) =
 
P
*
(1-
P
)
P = 0,5
Se, na fórmula de n0, utilizarmos o valor 
máximo 0.25 no lugar de P(1-P) obtemos:
.
z
25,0n 2
2
0
2
ε
=
α limite superior
para n0.
Se P for diferente de 0,5, a fórmula acima 
fornece um n0 maior do que o necessário, o 
que não é problema, pois leva à uma margem 
de erro que será menor do que a especificada.
Este procedimento para determinar o 
valor de n é chamado “conservador”, e 
largamente utilizado na prática.
Observação importante - todo o 
procedimento apresentado demanda que 
o plano amostral adotado seja AAS!
Exemplo 8.1 - Para estimar uma 
proporção P com base em uma AAS, 
com margem de erro de 10% (a 95% de 
confiança), qual o tamanho de amostra 
necessário? (considere 1,96 ≅ 2).
.100)1,0(
11225,0n 222
2
==
ε
=
ε
≅
Solução:
E se reduzirmos esta margem para 0,05?
Conclusão: para reduzir a 
margem de erro pela metade, é 
necessário quadruplicar o 
tamanho da amostra!
Solução:
.4001n 2 =ε
≅
A tabela a seguir apresenta a relação 
entre a margem de erro requerida e o 
valor de n, considerando N >> n e z ≅ 2:
D n
0,1 100
0,05 400
0,02 2.500
n usual das 
pesquisas 
eleitorais 
(problema: elas 
não usam AAS!)
3
Obs - se soubermos que P é menor ou 
maior do que um certo valor, a abordagem 
conservadora perde o sentido, sendo mais 
razoável, neste caso, adotar o valor máximo 
de P(1-P) no intervalo de variação de P.
Exemplo 8.2 - Suponha que queiramos 
estimar a prevalência de uma doença 
rara em uma região bastante populosa (N 
grande), sabendo que o percentual de 
doentes certamente não ultrapassa 10%. 
Calcule o tamanho de amostra 
necessário para obter uma margem 
de erro de 5% (considere z ≅ 2).
.900)02,0(
209,0z09,0n 2
2
2
2
==
ε
≅
Solução:
Perceba que o valor de n é bem menor do 
que aquele que seria necessário caso não 
tivéssemos nenhuma informação sobre o 
valor real de P (abordagem conservadora).