Física - Movimento unidimensional

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Física I para Engenharia
FEP111 (4300111)
1º Semestre de 2014
Instituto de Física
Universidade de São Paulo
Professor: Valdir Guimarães 
E-mail: valdirg@if.usp.br Fone: 3091.7104
04 e 05 de agosto
Movimento Unidimensional
Bem-vindos à aula 1!
Recados: Cadastramento e acesso no STOA – faça o seu cadastro e 
realize o primeiro acesso o quanto antes.
Livros-texto: Newtonian Mechanics – A. P. French (En)
Mecánica Clássica – A. P. French (Esp)
Complementos: Física 1 – H. M. Nussenzveig
Plantão de dúvidas on-line: segunda à sexta, das 18 às 19 hs.
E vamos à pergunta do dia:
Um maratonista corre a constantes 15 km/h. Quando o corredor está a 7.5
km da linha de chegada um pássaro começa a voar do maratonista até a
chegada a 30 km/h. Quando o pássaro alcança a linha de chegada, dá a volta e
voa em direção ao corredor e então dá a volta novamente, repetindo as idas e
voltas até o maratonista alcançar a linha de chegada. Quantos quilômetros o
pássaro viaja?
1. 10 km 2. 15 km 3. 20 km 4. 30 km
Cinemática e dinâmica 
Grandezas básicas:
Distância
Tempo
massa
Movimento Unidimensional
Medidas de tempo
Grandeza
(dimensão) 
unidades
Definição inicial Definição hoje
Tempo (T)
segundos (s)
(1/60)(1/60)(1/24) do dia
solar médio
9 192 631 458 períodos de uma
transição específica do césio
Movimento Unidimensional
Grandeza
(dimensão) 
unidades
Definição inicial Definição hoje
Comprimento (L) em
metros (m)
1/10000000 da distância
do equador ao polo norte
Distância percorrida pela luz
em (1/299 792 458) segundos
Medidas de distância
Metro-padrão em platina iridiada.
Movimento Unidimensional
50
1
360
2.7
3602


R
s
Eratostenes e o raio da Terra
s=5.0000 stadia = 5.000 x 157 = 785.000 m
R=6.247 km
Valor aceito atualmente 6.370 km
Movimento Unidimensional
Sistema Internacional de unidades (SI)
Grandeza
(dimensão) 
unidades
Definição inicial Definição hoje
Massa (M) em
quilogramas (kg)
Massa de um litro de
água a 4°C
Massa de um cilindro de Pt-Ir
existente no BIPM-França
Medidas de massa
Movimento Unidimensional
A pressão em um fluido em movimento depende da sua densidade e da sua velocidade. 
Encontre uma combinação destas grandezas que tenha a dimensão de pressáo.
Dimensões das grandezas físicas
Quantidade Símbolo Dimensão
Área A [A]= L2
Volume V L3
Velocidade v L/T
Aceleração a L/T2
Força F ML/T2
Pressão (F/A) p M/LT2
Densidade (M/V) ρ M/L3
Energia E ML2/T2
Potência (E/T) P ML2/T3
[P]= [ρ] [v2]
Movimento Unidimensional
escalas no Universo
L ~ 2 m
L ~ 1 cm
L ~10 mm
Movimento Unidimensional
L ~ 1 Angstron
Atom (ferro sobre cobre)
L ~ 0,1mm 
escalas no Universo
Movimento Unidimensional
D ~ 12,7 10 3 km
R ~1,5 108 km
escalas no Universo
Movimento Unidimensional
D ~ 105 anos-luz ~ 1018 km
escalas no Universo
Movimento Unidimensional
10-1 Deci (d)
10-2 Centi (c)
10-3 Mili (m)
10-6 Micro (µ)
10-9 Nano (n)
10-12 Pico (p)
10-15 Femto (f)
10-18 Ato (a)
101 Deca (da)
102 Hecto (h)
103 Quilo (k)
106 Mega (M)
109 Giga (G)
1012 Tera (T)
1015 Peta (P)
1018 Exa (E)
Vamos convencionar escrever as quantidades físicas no formato:
A x 10n
onde n é um número inteiro e A se encontra entre 1 e 10.
Notação científica
O número de algarismos de A, indica a precisão da 
quantidade indicada (algarismos significativos).
A parte 10n, indica a ordem de grandeza da quantidade indicada.
Movimento Unidimensional
Posição, velocidade, aceleração: Galileu 
Movimento Unidimensional
Deslocamento, velocidade e rapidez
O deslocamento do carro entre os instantes t1 e t2 é ∆x e corresponde 
à variação da posição do carro.
(deslocamento é uma quantidade vetorial)
Mas, a distância percorrida é uma quantidade escalar (comprimento do 
caminho percorrido). 
Para descrever o movimento de uma partícula, precisamos 
descrever a posição da partícula e como esta posição varia ao 
longo do seu movimento.
Precisamos de um referencial.
Movimento Unidimensional
Video referencial
Movimento Unidimensional
Rapidez média
A velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento (∆x) 
e o intervalo de tempo (∆t) do movimento.
Deslocamento não é necessariamente igual a distância percorrida.
(velocidade média é uma grandeza vetorial)
Definimos a rapidez média de uma partícula, como a razão entre a 
distância percorrida e o tempo total do percurso. (grandeza escalar)
Velocidade média
t
s
totaltempo
totaldistância
médiarapidez


_
_
_
if
if
med
tt
xx
t
x
v





 tvx med
e
Movimento Unidimensional
Corresponde à inclinação da reta 
que une os pontos P1 e P2.
Velocidade média
if
if
med
tt
xx
t
x
v






Gráfico da posição de uma 
partícula em função do tempo.
12
12
21 tt
xx
vm




A velocidade média entre os pontos P1 e P’2 é 
maior ou menor que entre P1 e P2 ?
Movimento Unidimensional
Reduzindo-se o intervalo de tempo para o 
cálculo, converge-se para a tangente à 
curva (vermelha) no ponto P1.
Velocidade instantânea
t
x
tv
t 


 0
lim)(
Gráfico da posição de uma 
partícula em função do tempo.
tg
t
x
tt
xx
vm 







12
12
21
Define-se a velocidade instantânea como a 
inclinação da tangente no ponto considerado.
Isto corresponde a se tomar o intervalo 
∆t→0.
dt
dx
tv )(
Derivada 
Derivada = inclinação da reta = 
tg
Movimento Unidimensional
Velocidade instantânea
Gráfico da posição de uma partícula em função do tempo.
1) Determine a velocidade instantânea no instante t= 1,8 s.
2) Quando a velocidade é maior? Quando ela é nula? Ela chega a ser negativa?
dt
dx
tv )(
Movimento Unidimensional
Velocidade instantânea
A posição uma pedra largada de um penhasco é descrita por x= 5t2, onde x 
está em metros e t em segundos. Encontre a velocidade da pedra durante a 
queda, em função do tempo.
dt
dx
tv )(
t
x
tv
t 


 0
lim)(
t
txttx
tv
t 



)()(
lim)(
0
ttv 10)( 
nCtx 
1 nCnt
dt
dx
Derivada de um polinômio
Movimento Unidimensional
A aceleração média é definida como a taxa de variação da velocidade 
(∆v) em relação ao intervalo de tempo (∆t) do movimento.
Aceleração média
if
if
med
tt
vv
t
v
a





 tav med
e
A aceleração instantânea é o limite da razão ∆x/∆t, quando ∆t tende a 
zero. Em um gráfico de velocidade em função do tempo, a aceleração 
instantânea é a inclinação da reta tangente em um dado ponto.
Aceleração instantânea
t
v
ta
t 


 0
lim)(
2
2)/(
)(
dt
xd
dt
dtdxd
dt
dv
ta 
Movimento Unidimensional
Velocidade e aceleração instantâneas
A posição uma pedra largada de um penhasco é descrita por x= 5t2, onde x 
está em metros e t em segundos. Encontre a velocidade e a aceleração da 
pedra durante a queda, em função do tempo.
2
2)/(
)(
dt
xd
dt
dtdxd
dt
dv
ta 
2/10)( smta 
t
dt
dx
tv 10)( 
ttv 10)( 
25)( ttx 
Movimento Unidimensional
Velocidade e aceleração instantâneas
Suponha que a posição uma partícula seja descrita por x= Ct3, onde x está em 
metros e t em segundos. Encontre as expressões para as suas velocidade e a 
aceleração, em função do tempo.
dt
dx
tv )(
23)( Cttv 
nCtx 
1 nCnt
dt
dx
2
2)/(
)(
dt
xd
dt
dtdxd
dtdv
ta  Ctta 6)( 
Movimento Unidimensional
Suponha que a posição uma partícula seja descrita por 
x=xo+vot+ a/2t
2, eq. do movimento retilíneo uniformemente acelerado,
onde x está em metros e t em segundos. 
Encontre as expressões para as suas velocidade e a aceleração, em função do 
tempo.
nCtx 
1 nCnt
dt
dx
Exercícios
Movimento Unidimensional
Exercícios
1) Um carro é freado até parar com a velocidade decrescendo a uma taxa 
constante de 5,0 m/s/s. Se a velocidade inicial é de 30 m/s, 
a) qual é a distância percorrida durante a frenagem? 
b) Quanto tempo leva até o carro parar? 
c) Qual a distância percorrida no último segundo do movimento?
2) Em um teste de colisão, um carro viajando a 100 km/h atinge uma parede 
de concreto imóvel. Qual a aceleração do carro durante a colisão? 
Deformação do carro = 0.75m
Compare com a aceleração da gravidade.
Movimento Unidimensional
Exercícios
3) Uma pedra atirada para cima com velocidade de 14,7 m/s. Sabendo que a 
aceleração da gravidade no local é de 9,81 m/s2, 
(a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o ponto mais alto da trajetória? 
(b) Qual a altura atingida? 
(c) Voltando ao ponto de origem, qual é o tempo total do percurso?
Movimento Unidimensional
Exercícios
4) Um carro corre com velocidade de 90 km/h em uma zona escolar. Um carro de 
polícia parte do repouso quando o corredor passa por ele e acelera à taxa de 5,0 
m/s2. 
(a) quando a polícia alcançará o carro? 
(b) qual será a velocidade da polícia ao alcançá-lo?
Movimento Unidimensional
Efeito chicote (corpo ir para frente e depois para trás) numa colisão causa 
lesões no pescoço.
Na década de 70 instalaram encostos de cabeça nos bancos mas as lesões 
continuavam. Porque ?
Porque o air bag tem que ser acionado em menos de 0.05 s (50 ms) ?
Movimento Unidimensional
Exercício desafiador:
A figura mostra a aceleração do tronco e da cabeça de uma pessoa durante uma
colisão, que começa no instante t=0.
O início da aceleração do tronco sofreu um retardo de 40 ms, tempo que o
encosto levou para ser comprimido contra a pessoa. A aceleração da cabeça
sofreu um retardo de mais de 70ms. Qual era a velocidade do tronco quando a
cabeça começou a acelerar ?
Movimento Unidimensional
Vetores
Em 3D, muitas grandezas físicas são representadas através de vetores.
Apresentam “módulo”, “direção” e “sentido”.
Vetores não são localizados no espaço
Movimento Unidimensional
Soma e subtração de vetores
Revisão sobre vetores (soma)
Regra do paralelogramo
Movimento Unidimensional
Revisão sobre vetores (subtração)
Movimento Unidimensional
Vetores
Vetores não são 
localizados no espaço
Precisamos de um referencial 
(3 eixos ortogonais entre si) 
)ˆ,ˆ,ˆ( kji
Sistema de coordenadas cartesianas 
Movimento Unidimensional
)ˆ,ˆ,ˆ( r
Sistema de coordenadas esféricas 
Sistema de coordenadas geográficas 
Latitude e longitude
22° 54' 21.64"S 47° 03' 38.06"W
Movimento Unidimensional
Sistema de coordenadas cilindricas parabólicas 
Sistema de coordenadas cilindricas 
)ˆ,ˆ,ˆ( zr 
Vetores
kAjAiAA zyx
ˆˆˆ 

Decomposição vetorial em coordenadas
Movimento Unidimensional
Soma de vetores pelas coordenadas
BAC


kBAjBAiBAC zzyyxx
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 

kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ




kCjCiCC zyx
ˆˆˆ 

222
zyx CCCC 
Módulo do vetor
Movimento Unidimensional
Deslocamento
Vetor Posição 
Deslocamento
trajetória
kzjyixr
kzzjyyixxr
rrr
ˆˆˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 121212
12






kxjyixkrjrirr zyx
ˆˆˆˆˆˆ 

Módulo do 
deslocamento 222 zyxr kzjyixr
kzjyixr
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2222
1111



