Aula_04 Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
LUIZ ROBERTO
Rio de Janeiro, 13 de agosto de 2011
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
AULA 04 – TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
TAXA EQUIVALENTE 
Taxas equivalentes são aquelas que referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo Montante. 
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
TAXA EQUIVALENTE 
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. O montante M ao final do período de 1 ano será igual a 
M = C (1 + ia) 
Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
 O montante M’ ao final do período de 12 meses será: 
M’ = C (1 + im)
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 1: 
Seja:
im = 1% am (Período mês)
Qual a taxa equivalente ao ano (ia % aa )? (Período ano)
(1 + ia ) = ( 1 + im)
(1 + ia ) = ( 1 + 0,01)
(1 + ia) = 1.1268 (da Tabela)
Logo: ia = 1,1268 - 1 = 0,1268 ou 12,68% aa
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 2: 
Qual o montante no final de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?
C = 100
i = 1% am ou i = 0,01 am
t = 1 ano  n = 12 meses
M = ?
Temos: M = C (1 + i) 
M = 100 ( 1 + 0,01)
M = 100 x 1,126825 (da Tabela)
M = R$112,68
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 3: 
Calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano.
im = ? % am (Período mês)
(ia = 60% aa )? (Período ano)
( 1 + i )  ( 1 + im )  (1 + 0,60 ) = ( 1 + im )
1,60 = ( 1 + im )
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
na linha n = 12, encontramos 1,60, que corresponde à taxa de 4%.
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 4: 
Calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano.
it = ? % at (Período trimestre)
(ia = 60% aa )? (Período ano)
(1 + ia ) = ( 1 + it ) (1 ano = 4 trimestres)
(1 + 0,60 ) = ( 1 + it )
1,6 = ( 1 + it )
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna 
it = 12% am
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 5: 
Calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre.
im= ? % at (Período mês)
(it = 60% at )? (Período trimestre)
(1 + it ) = ( 1 + im ) (1 trimestre = 3 meses)
(1 + 0,60 ) = ( 1 + im )
1,6 = ( 1 + im )
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna
 im = 17% am
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 6.
Qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?
C = R$2.000,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 2 anos 
n = 24 meses
M = ?
Temos: M = C ( 1 + i )
M = 2000 ( 1 + 0,01 )
M = 2000 x 1,269735 (da Tabela)
M = R$2.539,47
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 7.
Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre? Solução: Teremos: 1 + ia = (1 + is) Como 5% a.s.= 0.05 a.s.
1 + ia = 1,05
ia = 0,1025 = 10,25% 
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 8.
Qual a taxa mensal equivalente a 48% ao ano? Solução: Teremos: 1 + ia = (1 + im) Como 48% = 48/100 = 0,48 1 + 0,48 = (1 + im) 1,48 = (1 + im) Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
im = 0,02 = 2% a.m. 
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ia = taxa de juros anual is = taxa de juros semestral im = taxa de juros mensal id = taxa de juros diária
As conversões das taxas podem ser feitas assim: 1 + im = (1 + id) [1 mês = 30 dias] 1 + ia = (1 + im) [1 ano = 12 meses] 1 + ia = (1 + is) [1 ano = 2 semestres] 1 + ia = (1 + im) [1 semestre = 6 meses]
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Todas baseadas no princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital, produzem montantes iguais.
Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. 
Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever: 1 + ia = (1 + iq) [porque 1 ano = 3 quadrimestres] 
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
TAXA NOMINAL OU TAXA PROPORCIONAL OU EFETIVA
Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização.
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada pela expressão: 
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
TAXA NOMINAL OU TAXA PROPORCIONAL OU EFETIVA
Se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por: Juros pagos = jp = 150.000 – 100.000 = 50.000 Taxa nominal: in = = 50%
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de inflação.
Suponha que um determinado capital C é aplicado por um período de tempo, a uma certa taxa nominal in. O montante M1 ao final do período será dado por 
 M1 = C ( 1 + in )
Durante o mesmo período, a taxa de inflação j
O montante será: M2 = C ( 1 + j ) 
Fórmula: (1 + in) = (1 + r) . (1 + j) onde r é a taxa real
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
TAXA REAL 
Fórmula: 
(1 + in) = (1 + r) . (1 + j) onde r é a taxa real
Ou (1+r) = 
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 1:
O capital de R$10.000 produziu em 1 ano o montante de R$13.500. Se neste período houve um inflação de 30%, qual a taxa real do juro?
Solução
(1+r) = = 
 
(1+r) = 1,0385
r = 0,0385 
r = 3,85%
(1 + in ) = 1,35
(1 + j ) = 1,30
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AULA 04 – Conceitos de Taxas de Juros
Exemplo 2:
Um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação igual a 10%, calcule a taxa real deste empréstimo. 
Solução
in = 30.000 / 120.000 = 25%
(1 + r) = = 
 
(1 + r) = 1,1364
r = 0,0385 
r = 3,85%
(1 + in ) = 1,25
(1 + j ) = 1,10
Taxa de juros
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Taxa de juros
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