Questão resolvida - Limite envolvendo o limite fundamental - número de Euler - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o limite abaixo:
 
lim
x +∞→
x+ 1
x- 1
2x
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; = =lim
x +∞→
x + 1
x - 1
2x
+∞+ 1
+∞- 1
2⋅ +∞( )
+∞
+∞
+∞
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação vamos manipular a integral 
+∞
+∞
reescrevendo-a convenientemente:
 
= = ; assim, o limite fica:
x + 1
x - 1
x - 1 + 2
x - 1
+ = 1 +
x - 1
x - 1
2
x - 1
2
x - 1
 
 , fazemos = 1 +lim
x +∞→
x + 1
x - 1
2x
lim
x +∞→
2
x - 1
2x
t = t ⋅ x - 1 = 2 t ⋅ x - t = 2
2
x - 1
→ ( ) →
 
; perceba que quando x tende a t ⋅ x = 2 + t x = x = + x = + 1→ →
2 + t
t
→
2
t
t
t
→
2
t
, t tende a zero, pois; , x indo para ; +∞ t =
2
x - 1
+∞ t = t = t = 0
2
+∞- 1
→
2
+∞
→
 
Fazendo estas substituições, o limite fica: 1 + t = 1 + tlim
t 0→
( )
2⋅ +1
2
t
lim
t 0→
( )
+2
4
t
 
Usando as propriedades de potência: e sabendo que o limite a = a . a e a = (a )(m+n) m n m n
do produto é igual ao produto dos limites, vem;
 
1 + t = 1 + t ⋅ 1 + t = 1 + t ⋅ 1 + tlim
t 0→
( )
+2
4
t
lim
t 0→
( )
4⋅
1
t
( )2 lim
t 0→
( )
1
t
4
lim
t 0→
( )2
= 1 + t ⋅ 1 + tlim
t 0→
( )
1
t
4
lim
t 0→
( )2
 
 
 
1 + t = e limite fundamental, número de Eulerlim
t 0→
( )
1
t →
 
1 + t = 1 + 0 = 1 = 1lim
t 0→
( )2 ( )2 ( )2
Com isso, o valor do limite é : = e ⋅ 1 = elim
x +∞→
x + 1
x - 1
2x
( )4 → lim
x +∞→
x + 1
x - 1
2x
4