Aula 6

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Prof. Otto H. M. Silva
Aula 6
Cálculo Diferencial e 
Integral a uma 
Variável
Conversa Inicial
Nessa aula 
realizaremos um 
estudo sobre as 
técnicas de integração 
e a aplicação do cálculo 
integral na obtenção 
de área de superfícies 
e de volumes de 
sólidos geométricos
Técnicas de integração e 
aplicações do cálculo integral
Técnicas de 
integração (parte 1)
Seja 
� � � � . �� � �� � 	 � �
fazendo � � ���
,
tem-se �� � �� � ��
substituindo na 
expressão anterior:
Método de substituição
�� � � . �� � �� � �� � �� � 	 � � �
1. Calcule a integral 
� �����² ��
 . Fazendo 
� � 1 � �², então
�� � 2���
Substituindo na
integral
2
� 2�1 � �² ��
� ����
� ln � � �
� 2�1 � �² �� � ln �� � 1 � �
2. Calcule: � ������
 .
Fazendo:
� � � � 1
 , então
� � �� � 1 e
2�� � �����
Substituindo,
� ���� � 1
� 2� �� � 1 �� � 2�³3
� 2� � �
� ���� � 1
� 23 �� � 1
�/��2 � � 1
 � �
��� � � � � ��
Calcule � ln � ��
fazendo � � ln �
e � � ��	; então
�� � ��� e � �; logo
Método de integração por partes
� ln � ��
� �#$ � � ���
� ln � �� � �#$ � � � � �
� ln � ��
� � #$ � � 1 � �
Técnicas de
integração (parte 2)
Caso 1: %� � �²
Para � &� ' ( '
&
�,
seja � � %)*$�(
,
�� � acos ( �(
Substituição trigonométrica
3
Logo, 
%� � �²
 � %�/) (
Substituição trigonométrica
% �
(
%� � �²
Para � &� 0 ( 0
&
�, seja � � %1��(
, então 
d� � %)*�� ( �(
Logo, %� � �²
 � %)*� (
Caso 2: 3� � 4²
%
�
(
%� � �²
Para 0 ' ( 0 &� ou 
π ' ( ' �&� , seja � � %sec	�(
; então, 
d� � %. sec θ 1� ( �(
Logo, �� � %�
 � %. 1��(
Caso 3: 4� � 3²
� Calcule � %� � �²
 ��
 .
� Seja � � %. )*$�(
; então, 
�� � %. cos ( �(; �� &� ' ( '
&
�
e %� � �²
 � acos (
	� %� � �²
 �� � %²� cos² ( �(
cos² ( � ���
9:;��<
�
%� � =>�?@A >B> �<
 � C>� D( �
EFG �<
� H �
C>
� �( �)*$ ( cos�(
Substituindo:
)*$ ( � �C e cos ( �
C>I�²
C
� C>� D)*$I�
�
C �
�
C> %� � ��
 H � �
Técnicas de 
integração – parte 3
4
Caso 1: J��
 se 
decompõe em fatores 
lineares distintos
Então, J � � �� �
%�
 � � %� … � � %G ,
em que %L ∈ N são 
distintos; então
Integração de funções racionais � � � O��
P��
 �
Q=
�IC= �
Q=
�IC= �
⋯� Q=�IC=
Em que S�, S�, ..., SG
são constantes a 
determinar
Calcule I � � ��I��>���I�U
 ��
Fatorando:
�� � 3� � 10 � �� � 5
�� � 2
Então:
��I�
�>���I�U �
Q=
��W �
Q>
�I� �
Q= �I� �Q> ��W
��W �I�
3� � 2 � S� � � 2 �
S� � � 5
S� � �XX e S� �
Y
X
��I�
�>���I�U �
�X
X ��W �
Y
X �I�
I � � �XX ��W �
Y
X �I� ��
I � �XX ln� � � 5 �
�X
X ln� � � 2 � �
Cálculo de áreas
Sejam �, �: \%, ]^ → N
funções contínuas. A 
área de uma região 
plana R delimitada 
pelo gráfico das 
funções contínuas 
` � ���
 e ` � ���
 e 
(...)
Área de uma região plana
5
(...) pelas retas
� � % e � � ] é:
S a � � |� � � � � |��
c
C
Se ���
 d 0 e � � � 0, 
para todo � ∈ \%, ]^, 
então:
S a � � � � ��cC , em que:
a � e��, `
/% ' � ' ], 0 ' ` ' � � f
Calcule a área da 
região limitada pelo 
eixo dos � e pelo 
gráfico de ` � 4 � ��
Solução:
S � � 4 � �� �� � 2� �4 ��U�I�
��
�� �2 4� � �³� U
� � ��� �. %.
Exemplo
Cálculo de volumes
Se giramos uma 
região plana em 
torno de uma reta, 
obtemos o que é 
chamado um sólido 
de revolução 
Volume de sólidos de revolução
Sejam �: \%, ]^ → N uma 
função contínua tal
que ���
 d 0 em
\%, ]^ e a região 
a � e %, ] ∈ N/% ' � ' ],
																0 ' ` ' ���
f
Então o volume 
h ) � i � � �cC
� ��
Cálculo do volume do sólido
6
Calcule o volume do 
sólido de revolução 
obtido girando em 
torno dos eixos dos �, 
da região limitada 
pela curva ` � )*$ � ,
�	 ∈ \0,2i^ e o eixo dos 
�
Exemplo Região R e volume
h ) � 2i � )*$� � �� �?	&U
Usando )*$� � �
�I9:;���
�
h ) � 2i � �I9:;���
� ��
&
U
�
�� �� �
&
U
&
�
Cálculo do volume
� 9:;	���
� �� �
�
�
�
� )*$��
U& � 0
&
U
h ) � 2i &� � 0 � i��. 
Na Prática
Determine o volume
do sólido de revolução 
gerado pela rotação em 
torno do eixo dos x da 
região R delimitada 
pelos gráficos das 
seguintes equações: 
` � � � 1
� � 0
� � 2		
` � 0
7
A região R é 
mostrada a seguir:
Solução
k � l� m � n opmoq
k � l m�n rr |qo
k � lr os � n �
otl
r 	4. u.
Cálculo do volume
Finalizando
Nessa aula 
estudamos
as técnicas de 
integração e a 
aplicação do
cálculo integral na 
obtenção de área
de superfícies e de 
volumes de sólidos 
geométricos.
Referências
FACCIN, G. M. 
Elementos de
Cálculo Diferencial
e Integral. Curitiba: 
Intersaberes, 2013.
FÍSICA MAIS 
MATEMÁTICA. 
Disponível em: 
<http://fisicamaismat
ematica.blogspot.com.
br>. Acesso em: 5 dez. 
2017.
8
GEOGEBRA. 
Disponível em: 
<https://www.geoge
bra.org/?lang=pt_BR
015>. Acesso em: 5 
dez. 2017.