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Algebra-Linear-Z

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f(x)− f(x) = 0,
∀x ∈ [a, b], ou seja, f + (−f) = 0.
M1. α(f + g) = α · f + α · g: De fato, dados α ∈ R e f, g ∈ C([a, b]), temos,
∀x ∈ [a, b], que
(α(f + g))(x) = α((f + g)(x)) = α(f(x) + g(x)) = α · f(x) + α · g(x) =
= (α · f)(x) + (α · g)(x) = (α · f + α · g)(x),
ou seja, α(f + g) = α · f + α · g.
M2. (α+ β)f = α · f + β · f : Análogo ao anterior, fica como exerćıcio.
M3. (αβ)f = α(βf): De fato, dados α ∈ R e f ∈ C([a, b]), temos ∀x ∈ [a, b],
que
((αβ)f)(x) = (αβ)(f(x)) = α(βf(x)) = α((βf)(x)) = (α(βf))(x),
ou seja, (αβ)f = α(βf).
M4. 1 · f = f : Este é óbvio, pois ∀x ∈ [a, b] (1 · f)(x) = 1 · (f(x)) = f(x).
60 Álgebra linear I
Portanto, C([a, b]) é um espaço vetorial, o espaço vetorial das funções cont́ınuas
em [a, b]. Nesse caso, as funções cont́ınuas em [a, b] são os vetores desse espaço.
Exemplo 4. Fixado n ∈ N, seja Pn = {anxn + an−1xn−1 + ... + a0 : ai ∈
R, i = 0, 1, 2, ..., n} o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n, mu-
nido da adição usual de polinômios e produto de um escalar por un polinômio.
Não é dif́ıcil verificar as oito propriedades da definição para comprovar que Pn
é um espaço vetorial. Fica como exerćıcio para o leitor.
Exemplo 5. Seja D = {f : (a, b)→ R : f é derivável em (a, b)}, munido da
adição usual de funções com o produto de um escalar por uma função. Como
valem as regras de derivação
(f + g)′ = f ′ + g′ e (k · f)′ = k · f ′,
onde f, g ∈ D e k ∈ R, não é dif́ıcil mostrar que D é um espaço vetorial.
Exerćıcios
1. Seja R∞ o conjunto de todas as sequências infinitas de números reais, ou
seja,
R∞ = {x = (x1, x2, ..., xn, ...) : xi ∈ R},
munido da operações de adição
(x1, x2, ..., xn, ...) + (y1, y2, ..., yn, ...) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn, ...),
e multiplicação por escalar
α(x1, x2, ..., xn, ...) = (αx1, αx2, ..., αxn, ...).
Mostre que R∞ munido das operações acima é um espaço vetorial.
2. Em Rn defina as operações
~u⊕ ~v = ~u− ~v e α� ~u = −α · ~u.
Quais axiomas de espaço vetorial são satisfeitos para (Rn,⊕,�)?
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3. Verifique se são espaços vetoriais os seguintes conjuntos:
(a) o R2 munido da adição usual e a multiplicação α(x, y) = (αx, 0).
(b) o R2 munido da adição (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + 2x2, y1 + 2y2) e a
multiplicação por escalar usual.
(c) o R2 munido da adição (x1, y1) + (x2, y2) = (y1 + y2, x1 + x2) e a
multiplicação por escalar usual.
4. Dados os espaços vetoriais V1 e V2, considere o conjunto E = V1 × V2,
cujos elementos são os pares ordenados v = (v1, v2), onde v1 ∈ V1 e
v2 ∈ V2. Defina operações que tornem V um espaço vetorial.
3.2 Subespaços vetoriais
Nesta seção vamos estudar o conceito de subespaço vetorial de um espaço veto-
rial, que na verdade trata-se de um espaço vetorial “menor” dentro do espaço
dado, que preserva as mesmas operações do espaço “maior”.
Definição 3.2 Seja V um espaço vetorial e considere W ⊂ V um subconjunto
não vazio de V . Dizemos que W é um subespaço vetorial de V se cumprir as
seguintes condições: para quaisquer u, v ∈W e α ∈ R, valem,
(a) u+ v ∈W ;
(b) α · u ∈W .
Note que, dado um espaço vetorial V qualquer, um subconjunto W de V
automaticamente herdará todas as oito propriedades de espaço vetorial, isso
porque todo elemento de W é um elemento de V e por essa razão as propri-
edades estarão válidas. No entanto, para que W possa ter uma estrutura de
espaço vetorial, resta verificar se a adição e a multiplicação por escalar estão
fechadas em W , ou seja, se somarmos dois vetores em W o vetor resultante deve
continuar em W , e o mesmo para o produto de um escalar por um elemento de
W . E exatamente essas duas exigências estão encerradas na definição acima de
subespaço vetorial.
62 Álgebra linear I
Observação 3.3 Convém notar que se W ⊂ V é um subespaço vetorial de
V , obrigatoriamente segue que o neutro aditivo 0 de V também pertence a
W . Isto se justifica pela propriedade (b) da definição de subespaço, tomando
α = 0. Assim, se 0 6∈W , segue que W não é um subespaço vetorial de V .
Abaixo apresentamos alguns exemplos e contra-exemplos de subespaço ve-
torial.
Exemplo 1. Todo espaço vetorial V possui pelo menos dois subespaços, cha-
mados de subespaços triviais: o subespaço {0} formado apenas pelo vetor nulo
e todo o espaço V , subespaço de si mesmo.
Exemplo 2. Seja V = R2 com as operações de adição de vetores e multi-
plicação de escalar por vetor usuais. Defina W ⊂ V por
W = {(x, y) ∈ R2 : y = 2x}.
Ou seja, estamos considerando como espaço vetorial V o plano cartesiano
e tomamos como W o subconjunto do plano formado pelos pontos da reta
y = 2x. Note que W 6= ∅, pois (0, 0) ∈ W , ou seja e reta y = 2x que define o
subconjunto W passa pela origem do R2.
Afirmamos que W é um subespaço vetorial de V . De fato, dados ~u = (a, 2a)
e ~v = (b, 2b) elementos quaisquer de W e α ∈ R um escalar qualquer, segue que
(a) ~u+ ~v = (a, 2a) + (b, 2b) = (a+ b, 2a+ 2b) = (a+ b, 2(a+ b)) ∈W ;
(b) α · ~u = α · (a, 2a) = (α · a, α · 2b) = (αa, 2(αa)) ∈W .
Logo, W é um subespaço de V .
Podemos dar uma interpretação geometrica para esse exemplo. Observe o
desenho abaixo, onde temos que W é o conjunto de pontoa do R2 sobre a reta
y = 2x, uma reta que passa pela origem do plano R2 = V . Como estudado na
Geometria anaĺıtica, sabemos que existe uma correspondência biuńıvoca entre
ponto e vetor, segue que um vetor pertencerá a um conjunto se a “ponta da
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seta” estiver no conjunto. Dessa forma, dados ~u,~v ∈ W e α ∈ R, vemos que
~u+ ~v ∈W e que α · ~u ∈W , e portanto, W ⊂ V é um subespaço vetorial de V
(no desenho tomamos α < 0).
Exemplo 3. No mesmo contexto do exemplo anterior, considere V = R2 e W
subconjunto de V dado por W = {(x, y) ∈ R2 : y = 2x+ 1}.
Neste caso temos que W não é um subespaço vetorial de V , pois, por exemplo,
dado ~u = (a, 2a+ 1) um vetor qualquer em W e α 6= 1 um escalar, temos que
α · ~u = α(a, 2a+ 1) = (αa, 2αa+ α) 6∈W,
ou seja, o produto de um escalar por um vetor de W não fica em W . O mesmo
aconteceria se somássemos dois elementos quaisquer de W : verificaŕıamos que
a soma também estaria fora de W . Repare, neste exemplo que W é uma reta
que não passa pela origem, logo, o vetor nulo não pertencendo a W já nos
mostra que W não pode ser subespaço de V . Veja a ilustação abaixo.
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Exemplo 4. Sendo V = R2 com as operações de adição de vetores e multi-
plicação de escalar por vetor usuais. Defina W = {(x, y) ∈ R2 : y = x2}, ou
seja W é o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano que estão sobre a
parábola y = x2. Não é dif́ıcil verificar que W não é um subespaço vetorial de
V . Deixaremos os detalhes para o leitor, inclusive recomendamos fazer um dese-
nho para expressar V e W , destacando os vetores ~u,~v ∈W , ~u+~v e também α~u.
Repare neste contra-exemplo que a origem ~0 = (0, 0) pertence a W , mas
mesmo assim W não é subespaço de V . Isso porque o neutro pertencer a W
não é garantia de que W seja subespaço de V , sabemos apenas que se o neutro
não pertencer a W , então W não é subespaço de V .
Exemplo 5. Seja V = R3 com as operações de adição de vetores e multi-
plicação de escalar por vetor usuais. Considere
W = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0}.
Note que o subconjunto W corresponde ao plano xz de equação y = 0, perpen-
dicular ao plano horizontal xy. Vamos mostrar que W é um subespaço vetorial
de V = R3. De fato, dados ~u = (u1, 0, u3) e ~v = (v1, 0, v3) elementos de W e α
um escalar real, temos que
(a) ~u+ ~v = (u1, 0, u3) + (v1, 0, v3) = (u1 + v1, 0, u3 + v3) ∈W ;
(b) α~u = α(u1, 0, u3) = (αu1, 0, αu3) ∈W .
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Logo, W é um subespaço vetorial de V . Faça um desenho para ilustrar.
Exemplo 6. Seja V = M(3, 3) o espaço vetorial das matrizes 3 × 3 com en-
tradas reais, munido da adição de matrizes e o produto de escalar por matriz
usuais. Defina W