Micro-Chap20

Prévia do material em texto

Microeconomia: Princ´ıpios Ba´sicos
Cap´ıtulo 20. Minimizac¸a˜o de custos
Escola de Po´s-Graduac¸a˜o em Economia 2009
Mestrado em Financ¸as e Economia Empresarial
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 1 / 29
To´picos cobertos
1 Minimizac¸a˜o de custos
2 Minimizac¸a˜o de custo revelada
3 Rendimentos de escala e func¸a˜o custo
4 Custos de curto e de longo prazos
5 Custos fixos e quase-fixos
6 Custos irrecupera´veis
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 2 / 29
Minimizac¸a˜o de custos
Suponhamos que tenhamos dois fatores de produc¸a˜o de prec¸os w1
e w2
Suponhamos que queiramos encontrar o meio mais barato de
alcanc¸ar um dado n´ıvel de produc¸a˜o y
Se x1 e x2 medirem as quantidades utilizadas dos dois fatores, e
f(x1, x2) for a func¸a˜o de produc¸a˜o
Podemos escrever esse problema como
min{w1x1 + w2x2 : (x1, x2) > 0 e f(x1, x2) = y}
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 3 / 29
Minimizac¸a˜o de custos
Representamos a soluc¸a˜o como c(w1, w2, y)
A func¸a˜o (w1, w2, y) 7→ c(w1, w2, y) e´ conhecida como func¸a˜o
custo
Representamos os custos e as restric¸o˜es tecnolo´gicas no mesmo
diagrama
Todas as combinac¸o˜es de insumos (x1, x2) que tenham um dado
n´ıvel de custo, C verificam
w1x1 + w2x2 = C
E´ uma reta com inclinac¸a˜o −w1/w2 e intercepto vertical C/w2
Variando C, obteremos uma famı´lia de retas isocusto
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 4 / 29
Minimizac¸a˜o de custos
O produtor move-se ao longo da isoquanta (restric¸a˜o tecnolo´gica)
para encontrar a posic¸a˜o o´tima
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 5 / 29
Minimizac¸a˜o de custos
Se a soluc¸a˜o o´tima envolver o uso de certa quantidade positiva de
cada fator (soluc¸a˜o interior)
E se a isoquanta formar uma curva suave a volta do soluc¸a˜o
Enta˜o o ponto de minimizac¸a˜o de custos sera´ caracterizado pela
condic¸a˜o de tangeˆncia
A taxa te´cnica de substituic¸a˜o tem de ser igual a` raza˜o de prec¸os
dos fatores
PM1(x?1, x
?
2)
PM2(x?1, x
?
2)
= TTS(x?1, x
?
2) =
w1
w2
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 6 / 29
Minimizac¸a˜o de custos
Se tivermos uma soluc¸a˜o de fronteira (um dos dois fatores na˜o for
utilizado)
A condic¸a˜o de tangeˆncia na˜o precisa ser satisfeita
Do mesmo modo, se a func¸a˜o de produc¸a˜o apresentar “quebra”, a
condic¸a˜o de tangeˆncia na˜o tera´ sentido
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 7 / 29
Minimizac¸a˜o de custos
Imagine qualquer mudanc¸a no padra˜o de produc¸a˜o (∆x1,∆x2) que
mante´m a produc¸a˜o constante:
PM1(x?1, x
?
2)∆x1 + PM2(x
?
1, x
?
2)∆x2 = 0
Observa que ∆x1 e ∆x2 teˆm de ter sinais contra´rios
Se estivermos no custo mı´nimo, essa mudanc¸a na˜o podera´ diminuir
os custos
w1∆x1 + w2∆2 > 0
Considerando a mudanc¸a (−∆x1,−∆x2) obtemos
w1∆x1 + w2∆2 = 0
A condic¸a˜o de tangeˆncia segue
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 8 / 29
Minimizac¸a˜o de custos
As escolhas de insumos que geram custos mı´nimos sa˜o notadas
x1(w1, w2, y) e x2(w1, w2, y)
Essas expresso˜es sa˜o chamadas func¸o˜es demanda de fatores
condicionadas ou demanda de fatores derivadas
Elas medem a relac¸a˜o entre os prec¸os, a produc¸a˜o e a escolha
o´tima de fatores da empresa, condicionado a que a empresa tenha
um dado n´ıvel de produc¸a˜o y
Atenc¸a˜o: As func¸o˜es demanda de fatores que maximizam lucros
fornecem as escolhas que maximizam lucros para determinado
prec¸o do produto
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 9 / 29
Minimizac¸a˜o de custos para tecnologias espec´ıficas
Suponhamos que consideremos uma tecnologia em que os bens sa˜o
complementares perfeitos
f(x1, x2) = min{x1, x2}
Os custos mı´nimos de produc¸a˜o sera˜o
c(w1, w2, y) = w1y + w2y = (w1 + w2)y
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 10 / 29
Minimizac¸a˜o de custos para tecnologias espec´ıficas
Suponhamos que consideremos uma tecnologia em que os bens sa˜o
substitutos perfeitos
f(x1, x2) = x1 + x2
Os custos mı´nimos de produc¸a˜o sera˜o
c(w1, w2, y) = min{w1y, w2y} = min{w1, w2}y
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 11 / 29
Minimizac¸a˜o de custos para tecnologias espec´ıficas
Suponhamos que consideremos uma tecnologia Cobb–Douglas
f(x1, x2) = xa1x
b
2
Os custos mı´nimos de produc¸a˜o sera˜o
c(w1, w2, y) = kw
a
a+b
1 w
b
a+b
2 y
1
a+b
onde K e´ uma constante que depende de a e b
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 12 / 29
Minimizac¸a˜o de custo revelada
O pressuposto de que a empresa escolhe fatores para minimizar o
custo de produc¸a˜o tera´ implicac¸o˜es em como as escolhas
observadas se modificam a` medida que os prec¸os dos fatores se
modificam
Suponhamos que observamos
I dois conjuntos de prec¸os, (wt1, w
t
2) e (w
s
1, w
s
2)
I dois conjuntos de escolhas da empresa, (xt1, x
t
2) e (x
s
1, x
s
2)
Suponhamos que todas essas escolhas proporcionem o mesmo n´ıvel
de produto y
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 13 / 29
Minimizac¸a˜o de custo revelada
Se cada escolha for uma escolha minimizadora de custo aos prec¸os
a ela associados, teremos de ter
wt1x
t
1 + w
t
2x
t
2 6 wt1xs1 + wt2xs2
e
ws1x
s
1 + w
s
2x
s
2 6 ws1xt1 + ws2xt2
Chamaremos esse tipo de desigualdades de Axioma Fraco da
Minimizac¸a˜o de Custo (AFMC)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 14 / 29
Minimizac¸a˜o de custo revelada
Rearrumando, obtemos
(wt1 − ws1)(xt1 − xs1) + (wt2 − ws2)(xt2 − xs2) 6 0
De forma mais condensada
∆w1∆x1 + ∆w2∆x2 6 0
Se o prec¸o do primeiro bem aumenta e o prec¸o do segundo bem
permanece constante, enta˜o a demanda pelo fator 1 tem de
diminuir: as demandas por fatores condicionadas se inclinem para
baixo
Os custos teˆm de crescer se qualquer um dos prec¸os dos fatores
aumentar
Se uma empresa escolher produzir uma quantidade maior de
produtos, e os prec¸os dos fatores permanecerem constantes, os
custos dessa empresa tera˜o de crescer
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 15 / 29
Rendimentos de escala e func¸a˜o custo
Suponhamos que tenhamos o caso natural de rendimentos
constantes de escala
Suponhamos que tenhamos resolvido o problema de minimizac¸a˜o:
c(w1, w2, 1) a func¸a˜o custo unita´ria
Qual o modo mais barato de produzir y unidades de produto?
Usamos y vezes mais de cada insumo que utiliza´vamos para
produzir uma unidade de produto
O custo mı´nimo para se produzir y unidades de produto sera´ de
c(w1, w2, 1)y
No caso de rendimentos constantes de escala, a func¸a˜o custo e´
linear no produto
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 16 / 29
Rendimentos de escala e func¸a˜o custo
E se tivermos rendimentos crescentes de escala?
Se uma empresa decide produzir duas vezes mais, ela pode fazeˆ-lo
por menos de duas vezes o custo, desde que os prec¸os dos fatores
permanec¸am fixos
Pois, se a empresa dobra os insumos, ela mais do que dobrara´ seu
produto
Do mesmo modo, se a tecnologia apresentar rendimentos
decrescentes de escala, a func¸a˜o custo crescera´ mais do que
linearmente no que diz respeito ao produto.
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 17 / 29
Rendimentos de escala e func¸a˜o custo
Definimos a func¸a˜o de custo me´dio sendo o custo unita´rio de
produzir y unidades de um produto
CM(y) =
c(w1, w2, y)
y
Se a tecnologia apresentar rendimentos constantes de escala, o
custo me´dio sera´
CM(w1, w2, y) = c(w1, w2, 1)
O custo por unidade produzida sera´ constante
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 18 / 29
Rendimentos de escala e func¸a˜o custo
Se a tecnologia proporcionar rendimentos crescentes de escala, os
custos me´dios sera˜o decrescentes com relac¸a˜o ao produto
Se a tecnologia proporcionar rendimentos decrescentes de escala,
os custos me´dios crescera˜o a` medida que o produto cresce
No resto do cap´ıtulo,iremos fixar os prec¸os dos fatores
Escreveremos a func¸a˜o custo como func¸a˜o somente do produto:
y 7→ c(y)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 19 / 29
Custos de curto e de longo prazos
E´ importante distinguir os custos mı´nimos em dois casos
diferentes: quando a empresa pode ajustar todos os seus fatores de
produc¸a˜o e quando ela so´ pode ajustar alguns desses fatores
A func¸a˜o custo de curto prazo e´ definida como o custo mı´nimo
para alcanc¸ar um dado n´ıvel de produto, mediante apenas o ajuste
dos fatores de produc¸a˜o vara´veis
A func¸a˜o custo de longo prazo fornece o custo mı´nimo de
alcanc¸ar um dado n´ıvel de produto pelo ajuste de todos os fatores
de produc¸a˜o
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 20 / 29
Custos de curto e de longo prazos
Suponhamos que no curto prazo o fator 2 seja fixado num n´ıvel
predeterminado x2
A func¸a˜o custo de curto prazo sera´ definida por
cs(y, x2) = min{w1x1 + w2x2 : x1 > 0 e f(x1, x2) = y}
No caso de dois fatores, basta encontrar a menor quantidade de
x1, de modo que f(x1, x2) = y
Se houver mais fatores de produc¸a˜o varia´veis no curto prazo, o
problema de minimizac¸a˜o exigira´ um ca´lculo mais elaborado
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 21 / 29
Custos de curto e de longo prazos
A func¸a˜o demanda de fatores de curto prazo do fator 1 e´ denotada
xs1(w1, w2, y.x2, y)
Por definic¸a˜o da func¸a˜o custo de curto prazo
cs(y, x2) = w1xs1(w1, w2, x2, y) + w2x2
A func¸a˜o custo de longo prazo e´ definida por
c(y) = min{w1x1 + w2x2 : (x1, x2) > 0 e f(x1, x2) = y}
As func¸o˜es demanda de longo prazo sa˜o escritas da forma
x1(y) e x2(y)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 22 / 29
Custos de curto e de longo prazos
A func¸a˜o custo de long prazo tambe´m pode ser escrita como
c(y) = cs(y, x2(y))
A quantidade minimizadora de custos do fator varia´vel no longo
prazo e´ aquela que a empresa escolheria no curto prazo–caso
tivesse a quantidade de fator fixo que minimiza os custos no long
prazo
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 23 / 29
Custos fixos e quase-fixos
Os fatores fixos sa˜o os que teˆm de receber pagamento, haja ou na˜o
produc¸a˜o
Os fatores quase-fixos so´ teˆm de ser pagos se a empresa decidir ter
uma quantidade positiva de produto
Os custos fixos sa˜o aqueles associados aos fatores fixos: eles
independem do n´ıvel do produto e, sobretudo, teˆm de ser pagos
mesmo que a empresa na˜o produza nada
Os custos quase-fixos tambe´m independem do n´ıvel de produto,
mas so´ precisam ser pagos se a empresa produzir uma quantidade
positiva de bens
Na˜o ha´ custos fixos no longo prazo
Entretanto, pode haver facilmente custos quase-fixos no longo
prazo
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 24 / 29
Apeˆndice
O problema de minimizac¸a˜o de custo consiste numa minimizac¸a˜o
com restric¸a˜o da forma
min{w1x1 + w2x2 : (x1, x2) > 0 e f(x1, x2) 6 y}
Constru´ımos a Lagrangiana
L(w1, w2, λ) ≡ w1x1 + w2x2 − λ[f(x1, x2)− y]
com λ > 0
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 25 / 29
Apeˆndice
As condic¸o˜es de primeira ordem sa˜o
∂L
∂x1
(x, λ) = 0⇐⇒ w1 = λ ∂f
∂x1
(x)
∂L
∂x2
(x, λ) = 0⇐⇒ w2 = λ ∂f
∂x2
(x)
e
∂L
∂λ
(x, λ) = 0⇐⇒ f(x) = y
Podemos rearranjar as duas primeiras equac¸o˜es para obter
w1
w2
=
[∂f/∂x1](x)
[∂f/∂x2](x)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 26 / 29
Apeˆndice
Apliquemos esse me´todo a` func¸a˜o de produc¸a˜o Cobb–Douglas
f(x1, x2) = xa1x
b
2
As treˆs condic¸o˜es de primeira ordem sa˜o
w1 = λaxa−11 x
b
2
w2 = λbxa1x
b−1
2
y = xa1x
b
2
Multiplicamos a primeira equac¸a˜o por x1 e a segunda por x2
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 27 / 29
Apeˆndice
Obtemos
w1x1 = λaxa1x
b
2 = λay
w2x2 = λbxa1x
b
2 = λby
Substituindo na terceira equac¸a˜o(
λay
w1
)a(λby
w2
)b
= y
Podemos resolver para λ
λ = (a−ab−bwa1w
b
2y
1−a−b)
1
a+b
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 28 / 29
Apeˆndice
As func¸o˜es demandas por fatores assumira˜o a forma
x1(w1, w2, y) =
(a
b
) b
a+b
w
−b
a+b
1 w
b
a+b
2 y
1
a+b
x2(w1, w2, y) =
(a
b
) −a
a+b
w
a
a+b
1 w
−ab
a+b
2 y
1
a+b
Um pouco de algebra tediosa mostra que a func¸a˜o custo e´
c(w1, w2, y) =
[(a
b
) b
a+b +
(a
b
) −a
a+b
]
w
a
a+b
1 w
b
a+b
2 y
1
a+b
Observe que os custos ira˜o crescer mais do que, igual a, ou menos
do que linearmente com o produto, a` medida que a+ b for menor,
igual a, ou maior que 1
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 29 / 29
	Main Talk