Cálculo 1

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MATEMÁTICA APLICADA 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Dayane Perez Bravo 
 
 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
 Durante o desenvolvimento desta aula, iremos apresentar algumas das 
principais ferramentas utilizadas em situações que a matemática se faz 
necessária. A álgebra e a geometria serão utilizadas para abstrair informações 
de problemas reais, de forma que seja possível tomar decisões com base nos 
resultados obtidos. 
Utilizada nas mais diversas áreas, por exemplo, na ciência da 
computação, estatística, engenharias, economia e medicina, a matemática nos 
permite modelar um problema de maneira que se torne possível solucioná-lo da 
melhor maneira. 
Nesta aula iremos introduzir conceitos essenciais para que você possa se 
familiarizar com as ferramentas que irá utilizar nas demais disciplinas do seu 
curso. Sendo assim, primeiramente abordaremos algumas operações básicas 
manipulação algébrica, polinômios, fatoração, expressões, equações e 
inequações. 
TEMA 1 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
1.1 Potenciação 
Você já percebeu que algumas vezes nos deparamos com números ou 
expressões muito grandes? Que tal descobrirmos como reduzir e simplificar 
esses resultados? Para fazer isso, dizemos que foi utilizada a notação 
exponencial. Veja a seguir alguns exemplos: 
a. (−3)(−3)(−3)(−3) 
(−3)(−3)(−3)(33)(−(−3)4 = 81 
b. (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)2 
c. (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)4 
Cuidado! 
 Veja que (−3)4 ≠ −34, afinal, (−3)4 = 81 por conta de que os parênteses 
incluem o sinal na operação de potenciação. Já −34 = −(3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3) = −81. 
 
 
3 
 Simbolicamente, podemos resumir essa simplificação fazendo 𝒂 um 
número real, uma variável ou expressão e 𝒏 um número inteiro positivo. Então 
 𝑎𝑛 = 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗. . .∗ 𝑎⏟ 
𝑛−𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
 
em que 𝑛 é o expoente, 𝑎 é a base. Podemos ler essa generalização dizendo 
que 𝑎𝑛 é a n-ésima potência de 𝑎 (ou 𝑎 elevado a 𝑛 ). 
Agora vamos observar algumas propriedades da potenciação. Para isso, 
vamos utilizar alguns valores genéricos: sejam 𝑎 e 𝑏 números reais (ou variáveis 
ou expressões numéricas) não nulos, e 𝑚 e 𝑛 números inteiros. Então: 
i. 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
ii. 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 
iii. 𝑎0 = 1 
iv. 𝑎−𝑚 =
1
𝑎𝑚
 
v. (𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ∗ 𝑏𝑚 
vi. (𝑎𝑚)𝑚 = 𝑎𝑚∗𝑛 = 𝑎𝑛∗𝑚 = (𝑎𝑛)𝑚 
vii. (
𝑎
𝑏
)
𝑚
=
𝑎𝑚
𝑏𝑚
 
Com base nessas propriedades, vamos resolver alguns exemplos: 
i. 32 ∗ 37 = 32+7 = 39 
ii. 
32
37
 = 32−7 = 3−5 
iii. 
37
32
 = 37−2 = 35 
iv. 510 = 1 
v. 3−5 =
1
35
 
vi. (3 ∗ 5)9 = 39 ∗ 59 
vii. (35)2 = 32∗5 = (32)5 = 310 
viii. (
3
7
)
2
 =
32
72
 
ix. (2𝑎𝑏3)(5𝑎2𝑏5) = 10(𝑎𝑎2)(𝑏3𝑏5) = 10𝑎1+2𝑏3+5 = 10𝑎3𝑏8 
x. (
𝑥2
2
)
−3
= (
2
𝑥2
)
3
=
23
(𝑥2)3
=
8
𝑥2∗3
 =
8
𝑥6
 
 
 
4 
Percebeu como essas propriedades facilitam e simplificam a escrita 
quando abordamos números muito grandes ou muito pequenos? Esses 
conceitos são importantes, principalmente quando trabalhamos com potências 
na base 10, já que todo número pode ser escrito em notação científica: 
𝐶 ∙ 10𝑚, em que 1 ≤ 𝑐 < 10 e 𝑚 é um inteiro positivo 
Por exemplo, sabendo que a distância aproximada entre a Terra e o Sol 
é de 149.597.870,700 quilômetros, podemos escrever essa distância em notação 
científica 1,5 ∗ 108 km. Note que o expoente 8 indica que podemos obter 
novamente o número original ao mover a vírgula por 8 casas do número decimal 
para a direita (Demana et al., 2009). 
Vamos fazer o mesmo para a massa de um elétron, que é 
aproximadamente 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg. 
Em notação científica 9, 109 382 2 ∗ 10−31. Aqui o expoente negativo −31 indica 
que temos a forma do número original ao mover a vírgula do número decimal 31 
casas para a esquerda. 
Vamos simplificar a seguinte expressão: 
(370 000)(4 500 000)
18 000
= 
(3,7 ∗ 105)(4,5 ∗ 109)
1,8 ∗ 104
 
= 
3,7 ∗ 4,5 ∗ 109 ∗ 105
1,8 ∗ 104
= 
3,7 ∗ 4,5 ∗ 109+5
1,8 ∗ 104
 
= 
3,7 ∗ 4,5
1,8
∗
1014
104
= 
3,7 ∗ 4,5
1,8
∗ 1014−4 
= 9,25 ∗ 1010 = 92 500 000 000 
1.2 Radiciação 
Agora vamos ver o que acontece quando trabalhamos com expoentes 
radicais. Mas antes disso, observe que na potenciação temos um número 
chamado base, que é multiplicado por si mesmo 𝑛 vezes, em que 𝑛 é o expoente. 
Na radiciação, é feito o contrário: é dada a potência a fim de encontrar a base. 
 Os casos mais comuns que encontramos são a raiz quadrada e a raiz 
cúbica: se 𝑏2 = 𝑎, então, 𝑏 é raiz quadrada de a. Por exemplo, −3 e 3 são raízes 
de 9, já que (−3)2 = 9 e também (3)2 = 9. Analogamente, se 𝑏3 = 𝑎, então, 𝑏 
é a raiz cúbica de 𝑎. Por exemplo, 2 é a raiz cúbica de 8, pois 23 = 8. 
 
 
5 
Assim podemos dizer que, sendo 𝑛 um número inteiro maior que 1, 𝑎 > 0 
e 𝑏 números reais, então: 
i. Se 𝑏𝑛 = 𝑎, então, 𝑏 é a raiz 𝑛-ésima de 𝑎. 
ii. Se 𝑎 tem uma raiz n-ésima, então, a principal raiz 𝑛-ésima de 𝑎 é 
aquela com o mesmo sinal de 𝑎. 
A definição de principal raiz 𝑛-ésima de 𝑎 é indicada pela expressão com 
o radical 𝑎
1
𝑛⁄ . O inteiro positivo 𝑛 é o índice do radical e 𝑎 é o radicando. Dessa 
forma, dizemos que o expoente é fracionário. 
 Agora vamos observar as propriedades de radicais, novamente 
generalizando alguns temos para facilitar a compreensão: sejam 𝑢 e 𝑣 números 
reais ou expressões algébricas, e 𝑚 e 𝑛 números positivos inteiros maiores que 
1. Supondo que todas as raízes sejam números reais com denominadores não 
nulos. 
i. √𝑢𝑣
𝑛 = √𝑢
𝑛 ∗ √𝑣
𝑛 
ii. √𝑢 𝑣⁄
𝑛
 = √𝑢
𝑛
√𝑣
𝑛⁄ 
iii. √√𝑢
𝑛𝑚 = √𝑢
𝑚+𝑛
 
iv. (√𝑢
𝑛 )
𝑛
= 𝑢 
v. √(𝑢)𝑚
𝑛
 = (√𝑢
𝑛 )
𝑚
 
vi. √(𝑢)𝑛
𝑛
= {
|𝑢|, para 𝑛 par
 𝑢, para 𝑛 ímpar
 
Vejamos alguns exemplos: 
i. √6 = √2 ∗ 3 = √2 ∗ √3 
ii. √96
4
√6
4⁄ = √96 6⁄
4
 = √16
4
 = 2 
iii. √√5
7
 = √5
2+7
= √5
9
 
iv. (√2
3
)
3
 = 2 
v. √82
3
 = (√8
3
)
2
 = 22 = 4 
vi. √(−6)2 = | − 6| = 6 
vii. √(−6)3
3
 = −6 
Muitas vezes podemos encontrar frações contendo radicais no 
denominador. E um processo para que possamos reescrever essa fração para 
 
 
6 
que ela possua radicais apenas no numerador chama-se processo de 
racionalização, que é aplicado quando ocorrerem frações com radicais no 
denominador. Para que haja radicais apenas no denominador, devemos obter o 
denominador na forma √(𝑢𝑘)
𝑛
, multiplicar o numerador e o denominador por 
√(𝑢𝑛−𝑘)
𝑛
, ou seja: 
√(𝑢𝑘)
𝑛
∙ √(𝑢𝑛−𝑘)
𝑛
 = √𝑢𝑘 ∙ 𝑢𝑛−𝑘
𝑛
 = √𝑢𝑘+𝑛−𝑘
𝑛
 = √𝑢𝑛
𝑛
 = 𝑢 
Veja isso no seguinte exemplo: 
1
√𝑥
4⁄ = (1
√𝑥
4⁄ ) ∗ (√
𝑥4−1
4
√𝑥4−1
4⁄ ) 
= 1 ∗ √𝑥
34
√𝑥
4
∗ √𝑥3
4⁄ 
= √𝑥
34
√𝑥4
4⁄ = √
𝑥3
4
|𝑥|⁄ 
TEMA 2 – POLINÔMIOS 
Para calcularmos a área de um retângulo de base 𝑥 + 5 e altura 𝑥, 
conforme a figura abaixo 
 
 
 𝑥 
 
 𝑥 + 5 
utilizamos a fórmula 𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ, portanto, 𝐴 = (𝑥 + 5) ∗ 𝑥, ou seja, 𝑥2 + 5𝑥. 
A expressão da área desse retângulo é um de polinômio. 
 Por definição dizemos que um polinômio em 𝒙 é qualquer expressão que 
pode ser escrita da forma: 
𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
em que 𝑛 é um inteiro não negativo e 𝑎𝑛 ≠ 0. Os números 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1, ⋯ , 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 
são números reais chamados de coeficientes. O grau do polinômio não nulo é o 
maior expoente da variável (𝑛), e o coeficiente principal é o número real 𝑎𝑛. 
Polinômios com um, dois e três termos são chamados de monômios, binômios e 
trinômios, respectivamente. Vejamos alguns exemplos de polinômios: 
i. 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 − 2 em que o grau do polinômio é 3; 
ii. 𝑆(𝑡) = 𝑡7 − 9𝑡6 + 𝑡 − 𝑡2 + 2 com grau do polinômio 7; 
 
 
7 
iii. 𝑅(𝑥) = 5 o grau do polinômio é 0; 
iv. 𝑄(𝑦) = 3𝑦4 aqui temos um monômio e o polinômio é de grau 4; 
v. 𝑇(𝑥) = 𝑥3+ 1 temos um binômio de grau 3. 
Os polinômios podem apresentar valor numérico quando associamos a 
variável a um valor e o substituímos na sua lei de formação, por exemplo: 𝑓(𝑥) =
4𝑥2 − 7𝑥 + 5 e 𝑥 = 3, então 
𝑓(3) = 4 ∗ (3)2 − 7 ∗ (3) + 5 
= 4 ∗ 9 − 7 ∗ 3 + 5 
= 36 − 21 + 5 = 20 
Ou seja, 20 é o valor numérico que o polinômio assume quando 𝑥 = 3. 
O valor numérico que o polinômio 𝑃(𝑥) assume para 𝑥 = 𝛼 é o número 
que se obtém substituindo 𝑥 por 𝛼. 
 O valor numérico para o qual o polinômio se anula é chamada raiz ou zero 
do polinômio, assim dizemos que: 
𝛼 é raiz do polinômio se 𝑃(𝛼) = 0. 
As operações de subtração e adição são operadas apenas aos termos 
semelhantes, que são as variáveis elevadas a mesma potência, ou seja: 
(2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 1) + (𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 3) 
aplicando a distributiva no segundo polinômio: 
 = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 1 + 𝑥3 + 2𝑥2 + (−5𝑥) + 3 
agrupando os termos semelhantes (de mesma potência): 
= (2𝑥3 + 𝑥3) + (−3𝑥2 + 2𝑥2) + (4𝑥 + (−5𝑥)) + (−1 + 3) 
= (2 + 1)𝑥3 + (−3 + 2)𝑥2 + (4 − 5)𝑥 + (−1 + 3) 
= 3𝑥3 − 1𝑥2 − 1𝑥 + 2 
= 3𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 2 
 A multiplicação é efetuada de acordo com a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição, ou seja, o produto de dois polinômios se dá 
pela adição dos resultados do produto de cada termo de um polinômio pelo outro 
polinômio. 
 Vamos multiplicar os polinômios 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 1 e 𝑄(𝑥) = 2𝑥2 + 3. 
 
 
8 
De acordo com a definição, devemos aplicar a distributiva, então: 
𝑃(𝑥)𝑄(𝑥) = (2𝑥3 + 𝑥2 − 1 )(2𝑥2 + 3) 
= 2𝑥3 ∗ (2𝑥2 + 3) + 𝑥2 ∗ (2𝑥2 + 3) − 1 ∗ (2𝑥2 + 3) 
= 4𝑥5 + 3𝑥3 + 2𝑥4 + 6𝑥2 − 2𝑥2 − 3 
= 4𝑥5 + 2𝑥4 + 3𝑥3 + 4𝑥2 − 3 
Observe que se 𝑃 e 𝑄 são dois polinômios não nulos, então, o grau do 
polinômio 𝑃 ∙ 𝑄 é igual a soma dos graus de 𝑃 e 𝑄. 
Na divisão de polinômios, podemos utilizar várias técnicas, e aqui vamos 
tratar apenas a técnica do Briot-Ruffini. 
Por definição, dados dois polinômios 𝑃(𝑥) e 𝐷(𝑥), com 𝐷(𝑥) não nulo, 
dividir 𝑃(𝑥) por 𝐷(𝑥) significa encontrar outros dois polinômios 𝑄(𝑥) e 𝑅(𝑥), tais 
que: 
𝑃(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝑃(𝑥) = 𝐷(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
 𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥) 
Para 𝑃(𝑥) o dividendo, 𝐷(𝑥) o divisor, 𝑄(𝑥) o quociente e 𝑅(𝑥) o resto. 
Na divisão de 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥3 + 6𝑥2 + 5𝑥 − 3 por 𝐷(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3, o 
quociente será 𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 9𝑥 + 27 e o resto 𝑅(𝑥) = −76𝑥 + 78. Veja por quê: 
𝑥4 − 7𝑥3 + 6𝑥2 + 5𝑥 − 3 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
Devemos pensar em um número que multiplicado por 𝑥2 resulte em 𝑥4, e 
este é 𝑥2, e por último multiplicar por −1. 
𝑥4 − 7𝑥3 + 6𝑥2 + 5𝑥 − 3 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
−𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 𝑥2 − 9𝑥 + 27 
0 − 9𝑥3 + 9𝑥2 + 5𝑥 − 3 devemos multiplicar por −9𝑥, para obtermos −9𝑥3: 
+9𝑥3 + 18𝑥2 − 27𝑥 
0 + 27𝑥2 − 22𝑥 − 3 multiplicando por 27, obteremos 27𝑥2 
−27𝑥2 − 54𝑥 + 81 
0 − 76𝑥 + 78 
como o grau do resto é menor que o grau do divisor, então, a divisão chegou ao 
fim. 
 O método de Briot-Ruffini é utilizado apenas nos casos em que o divisor 
é de primeiro grau, 𝑥 + 𝑎 ou 𝑥 − 𝑎. Dado o polinômio cúbico do tipo 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 +
𝑐𝑥 + 𝑑 e queremos dividi-lo por 𝑥 − 𝑘, então, o esquema a ser utilizado é: 
 
 
9 
 
 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 
 𝑘𝑎 Operação diagonal: soma dos termos 
 Operação vertical: multiplicação pelo termo 𝑘 
 𝑎 resto 
 quociente 
Vejamos um exemplo de como aplicar este método: vamos dividir o 
polinômio 𝑥4 − 10𝑥2 − 2𝑥 + 4 por 𝑥 − 3: 
 −3 1 0 − 10 − 2 4 
 −3 9 3 − 3 
 1 − 3 − 1 1 1 
Assim, o 𝑥4 − 10𝑥2 − 2𝑥 + 4 = (𝑥 − 3)(𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 1) + 1. 
Quando escrevemos um polinômio como um produto de dois ou mais 
fatores, estamos fatorando um polinômio. Um polinômio que não pode ser 
fatorado é um polinômio irredutível. 
Um polinômio está fatorado se estiver escrito como um produto de seus 
fatores irredutíveis. Uma das ferramentas mais utilizadas são os produtos para 
fatorar os polinômios. Segue uma lista de alguns produtos notáveis. Sejam 𝑎 e 𝑏 
números reais, variáveis ou expressões algébricas: 
 Produto de um soma e diferença: (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
 Quadrado da soma: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 Quadrado da diferença: (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 Cubo da soma: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎2 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
 Cubo da diferença: (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎2 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
 Soma de cubos: (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 + 𝑏3 
 Diferença de cubos: (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3 
Vejamos alguns exemplos de fatoração: 
1. Agrupamento do tipo (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑: 
3𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 − 2 = (3𝑥3 + 𝑥2) − (6𝑥 + 2) 
= 𝑥2(3𝑥 + 1) − 2(3𝑥 + 1) 
= (3𝑥 + 1)(𝑥2 − 2) 
 
 
 
 
10 
 
2. Fatoração de trinômios de quadrado perfeito: 
4𝑥2 − (𝑦 + 3)2 
= (2𝑥)2 − (𝑦 + 3)2 
= (2𝑥 + (𝑦 + 3)) ∗ (2𝑥 − (𝑦 + 3)) 
3. Fatoração de soma e produto de dois cubos: 
𝑥3 − 64 
= 𝑥3 − 43 
= (𝑥 − 4)(𝑥2 + 4𝑥 + 16) 
 TEMA 3 – EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS E COMPOSTAS 
3.1 Expressões fracionárias 
Um quociente de duas expressões algébricas, além de ser outra 
expressão algébrica, é uma expressão fracionária ou uma fração algébrica. 
Alguns exemplos de expressões fracionárias: 
i. 
𝑥2−5𝑥+2
√𝑥2+1
 
ii. 
2𝑥3+3𝑥2−1
5𝑥2+𝑥−7
 
Se o quociente pode ser escrito como uma razão de dois polinômios, 
então, temos uma expressão racional. Uma expressão racional é própria se o 
grau do numerador é menor ao do denominador. Por exemplo: 
i. 
𝑥
𝑥2+1
 
ii. 
𝑥−5
3𝑥3+2𝑥2−5
 
Agora se o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, 
então, a expressão racional é imprópria, por exemplo: 
i. 
𝑥2
𝑥2+1
 
ii. 
𝑥3+2𝑥−6
2𝑥−1
 
Nos exemplos acima, note que estamos trabalhando polinômios, 
entretanto, quando no denominador temos a operação de radiciação/raiz, temos 
 
 
11 
que tomar certos cuidados com o domínio, pois ele pode haver restrições para 
que faça sentido à operação, ao contrário dos polinômios que são definidos na 
reta real. Para entendermos melhor, vejamos o exemplo a seguir. 
Dada a expressão fracionária 
3𝑥2−𝑥+5
√𝑥−1
, para encontrar seu domínio, 
primeiro devemos analisar o domínio do denominador √𝑥 + 1: Pela definição 
temos que ter 𝑥 + 1 > 0. Sendo assim 𝑥 > −1 ou 𝑥 ∈ ]1,∞[ para que a expressão 
faça sentido. Agora, se olharmos os numerador 3𝑥2 − 𝑥 + 5, como se trata de 
um polinômio o domínio é o conjunto de todos os números reais. Combinando 
os dois domínios, temos que o domínio da expressão que atende às duas 
expressões é {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 1}. 
Dada a expressão 
1
𝑥2−1
, repare que não é preciso analisar o domínio do 
numerador, entretanto, para que o denominador faça sentido, devemos ter 𝑥2 −
1 > 0. Sendo assim, 𝑥2 ≠ 1 ⟺ 𝑥 ≠ ±1, ou seja, 𝑥 ≠ −1 e 𝑥 ≠ 1. Então, o 
domínio da expressão fracionária deve ser 𝑥 ∈ ℝ − {−1, 1}. 
Vejamos agora algumas operações com frações: sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 
quaisquer, onde 𝑏 ≠ 0 e 𝑑 ≠ 0. Então, valem: 
1. Soma de frações (com determinação de um denominador em comum): 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
∙ (
𝑑
𝑑
) +
𝑐
𝑑
∙ (
𝑏
𝑏
) = 
𝑎𝑑
𝑏𝑑
+
𝑐𝑏
𝑏𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑐𝑑
𝑏𝑑
 
2. Subtração de frações (com determinação de um denominador em 
comum): 
𝑎
𝑏
−
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
∙ (
𝑑
𝑑
) −
𝑐
𝑑
∙ (
𝑏
𝑏
) = 
𝑎𝑑
𝑏𝑑
−
𝑐𝑏
𝑏𝑑
=
𝑎𝑑 − 𝑐𝑑
𝑏𝑑
 
Observe que para a soma e subtração cujos denominadores não possuem 
fatores em comum, é conveniente pensarmos queestamos fazendo a seguinte 
operação de multiplicação cruzada: 
 
𝑎
𝑏
 + 
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑+𝑐𝑏
𝑏𝑑
 
1. Multiplicação de frações: 
(
𝑎
𝑏
) ∙ (
𝑐
𝑑
) =
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 
 
 
 
 
12 
2. Divisão de frações (inversão e multiplicação): 
𝑎
𝑏⁄
𝑐
𝑑⁄
= (
𝑎
𝑏
) ∙ (
𝑑
𝑐
) =
𝑎𝑑
𝑏𝑐
 
 Note que a fração do denominador 
inverte e multiplica a fração de numerador. 
Como consequência: 
𝑎
𝑏⁄
𝑐
= 
𝑎
𝑏⁄
𝑐
1⁄
=
𝑎
𝑏
∙
1
𝑐
=
𝑎
𝑏𝑐
 
3. Cancelamento de fatores iguais: 
𝑎𝑏
𝑎𝑐
=
𝑏
𝑐
 
 
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
𝑎𝑑
=
𝑎(𝑏 + 𝑐)
𝑎𝑑
=
𝑏 + 𝑐
𝑑
 
Vejamos alguns exemplos das operações que acabamos de ver: 
1. Some a expressão 𝑥 +
1
𝑥
: 
𝑥 +
1
𝑥
=
𝑥2
𝑥
+
1
𝑥
=
𝑥2 + 1
𝑥
 
2. Some a expressão 
1
𝑥+1
−
2
2𝑥−1
: 
1
𝑥 + 1
−
2
2𝑥 − 1
=
1
𝑥 + 1
∗
2𝑥 − 1
2𝑥 − 1
−
2
2𝑥 − 1
∗
𝑥 + 1
𝑥 + 1
 
=
2𝑥 − 1
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)
−
2(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)
 
=
2𝑥 − 1 − 2𝑥 − 2
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)
 
=
−3
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)
 
=
−3
2𝑥2 + 𝑥 − 1
 
3. Some a expressão: 
𝑥
𝑥2−1
+
3
𝑥+1
: 
𝑥
𝑥2 − 1
+
3
𝑥 + 1
=
𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
3
𝑥 + 1
 
= 
𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
∗
(𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)
+
3
(𝑥 + 1)
∗
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
= 
𝑥(𝑥 + 1) + 3(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
 
 
 
13 
=
(𝑥 + 1)[𝑥 + 3(𝑥 − 1)]
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
=
𝑥 + 3(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
=
𝑥 + 3𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
= 
4𝑥 − 3
𝑥2 − 1
 
Ou, se observarmos que 𝑥2 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1), é o mínimo 
denominador comum é 𝑥2 − 1, logo: 
𝑥
𝑥2 − 1
+
3
𝑥 + 1
=
𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
3
𝑥 + 1
 
= 
𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
3(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
=
𝑥 + 3(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= 
4𝑥 − 3
𝑥2 − 1
 
3.2 Expressões compostas 
Muitas vezes, uma expressão algébrica complicada precisa ser 
simplificada para uma forma mais fácil de ser trabalhada. Uma fração composta 
ou fração complexa nada mais é do que uma fração na qual os numeradores e 
denominadores podem conter frações. O resultado das simplificações da fração 
composta gera uma fração simples. Para poder simplificar uma fração composta 
em uma simples, devemos aplicar as propriedades que já vimos. Veja um 
exemplo: 
3 −
7
𝑥 + 2
1 −
1
𝑥 − 3
 
Esta é uma fração complexa. Antes de operarmos com ela ou de fazermos 
um estudo sobre o domínio, devemos transformá-la em uma fração simples: 
3 −
7
𝑥 + 2
1 −
1
𝑥 − 3
=
3(𝑥 + 2) − 7
𝑥 + 2
(𝑥 − 3) − 1
𝑥 − 3
 
=
3𝑥 − 1
𝑥 + 2
𝑥 − 4
𝑥 − 3
=
(3𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)
∗
(𝑥 − 3)
(𝑥 − 4)
 
 
 
14 
=
3𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑥2 − 2𝑥 − 8
 
para 𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ 4 e 𝑥 ≠ −2. 
O artifício que vimos nas propriedades de operações de inversão e 
multiplicação é um dos mais utilizados nesses casos. Veja mais um exemplo: 
𝑥 + ℎ
𝑥 + ℎ + 2 −
𝑥
𝑥 + 2
ℎ
=
(𝑥 + ℎ)(𝑥 + 2) − 𝑥(𝑥 + ℎ + 2)
(𝑥 + ℎ + 2)(𝑥 + 2)
ℎ
 
=
𝑥2 + 2𝑥 + ℎ𝑥 + 2ℎ − (𝑥2 + ℎ𝑥 + 2𝑥)
(𝑥 + ℎ + 2)(𝑥 + 2)
ℎ
1
 
=
2ℎ
(𝑥 + ℎ + 2)(𝑥 + 2)
∗
1
ℎ
 
=
2
(𝑥 + ℎ + 2)(𝑥 + 2)
 
=
2
𝑥2 + (4 + ℎ)𝑥 + 2(ℎ + 2)
 
para 𝑥 ≠ −(ℎ + 2) e 𝑥 ≠ −2. 
Outro caso que é uma expressão composta é quando envolvemos 
radicais. Vejamos alguns casos: 
i. 
√𝑥+1−
𝑥
2√𝑥+1
𝑥+1
 
ii. (
1
𝑥+√𝑥2+1
) (1 +
2𝑥
2√𝑥2+1
) 
Vamos simplificar a primeira expressão: 
√𝑥 + 1 −
𝑥
2√𝑥 + 1
𝑥 + 1
=
(𝑥 + 1)2√𝑥 + 1
2√𝑥 + 1
−
𝑥
2√𝑥 + 1
𝑥 + 1
1
 
= (
2(𝑥 + 1)
1
2⁄ (𝑥 + 1)
1
2⁄
2√𝑥 + 1
−
𝑥
2√𝑥 + 1
) ∗ (
1
𝑥 + 1
) 
= (
2(𝑥 + 1)
1
2
+
1
2
2√𝑥 + 1
−
𝑥
2√𝑥 + 1
) ∗ (
1
𝑥 + 1
) 
= (
2(𝑥 + 1)
2√𝑥 + 1
−
𝑥
2√𝑥 + 1
) ∗ (
1
𝑥 + 1
) 
 
 
 
15 
= (
2𝑥 + 2 − 𝑥
2√𝑥 + 1
) ∗ (
1
𝑥 + 1
) =
𝑥 + 2
2(𝑥 + 1)
3
2⁄
 
Quando vamos simplificar expressões que envolvem radicais, devemos 
utilizar as propriedades de potenciação, assim como as técnicas de 
racionalização, que são: 
1. Se o denominador é √𝑎, multiplica-se por 
√𝑎
√𝑎
. 
2. Se o denominador é √𝑎 − √𝑏, multiplica-se por 
√𝑎+√𝑏
√𝑎+√𝑏
. 
3. Se o denominador é √𝑎 + √𝑏, multiplica-se por 
√𝑎−√𝑏
√𝑎−√𝑏
. 
Essas mesmas instruções aplicam-se à racionalização de numeradores. 
Vejamos alguns exemplos numéricos: 
1) 
3
√12
=
3
2√3
=
3
2√3
∗
√3
√3
=
3√3
2∗3
=
√3
2
 
2) 
1
√5+√2
=
1
√5+√2
∗
√5−√2
√5−√2
= 
√5−√2
5−2
=
√5−√2
3
 
3) 
1
√𝑥−√𝑥+1
=
1
√𝑥−√𝑥+1
∗
√𝑥+√𝑥+1
√𝑥+√𝑥+1
= 
√𝑥+√𝑥+1
𝑥−(𝑥+1)
= √𝑥 + √𝑥 + 1 
TEMA 4 – EQUAÇÕES 
 As afirmações que fazemos a partir das igualdades de expressões 
algébricas são chamadas de equações. Essas equações obedecem às 
seguintes propriedades: sejam 𝑢, 𝑣, 𝑤 e 𝑧 números reais, variáveis ou expressões 
algébricas, então 
1. Reflexiva: 𝑢 = 𝑢. 
2. Simétrica: se 𝑢 = 𝑣, então, 𝑣 = 𝑢. 
3. Transitiva: se 𝑢 = 𝑣 e 𝑣 = 𝑤, então, 𝑢 = 𝑤. 
4. Adição: se 𝑢 = 𝑣 e 𝑤 = 𝑧, então, 𝑢 + 𝑤 = 𝑣 + 𝑧. 
5. Multiplicação: se 𝑢 = 𝑣 e 𝑤 = 𝑧, então, 𝑢 ∙ 𝑤 = 𝑣 ∙ 𝑧. 
Uma solução de uma equação em 𝑥 é um valor de 𝑥 para o qual a equação 
seja verdadeira. Resolver uma equação em 𝑥 significa encontrar todos os valores 
possíveis de 𝑥 para que a equação seja verdadeira. 
Vamos verificar que 𝑥 = −2 é uma solução da equação 𝑥3 − 𝑥 + 6 = 0. 
De fato, se substituirmos o valor de 𝑥 = −2 na equação, temos: 
(−2)3 − (−2) + 6 =? 0 
 
 
16 
−8 + 2 + 6 =?0 
0 = 0 
 Podemos ainda classificar as equações de acordo com a sua potência. 
Essas equações fazem parte da família de equações polinomiais. Vejamos os 
casos onde a potência é de primeiro e segundo grau. 
4.1 Equações lineares 
Uma equação linear ou de primeira ordem é aquela que pode ser escrita 
na forma: 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
em que 𝑎 e 𝑏 são números reais com 𝑎 ≠ 0. Uma equação linear em uma variável 
tem exatamente uma única solução. E para encontrar a solução devemos fazer 
operações elementares de maneira a obter uma equação equivalente que 
produza os mesmos resultados, por exemplo: 
1. Equação dada: 2𝑥 + 𝑥 =
3
9
 agrupando os termos semelhantes e realizando 
simplificações a equação equivalente é 3𝑥 =
1
3
. 
2. Equação: 𝑥 + 3 = 7 se somarmos (−3) em ambos os lados da igualdade 
obtemos a equação equivalente 𝑥 = 4 
3. Equação: 3𝑥 = 12 se multiplicarmos pela constante 1 3⁄ em ambos os 
lados da igualdade obtemos a equação equivalente 𝑥 = 4. 
Para obter a equação equivalente, basta realizar manipulações 
algébricas. 
4.2 Equações quadráticas 
Uma equação quadrática ou de segunda ordem é aquela que pode ser 
escrita na forma 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
em que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais e 𝑎 ≠ 0. 
Aqui todas as técnicas de fatoração são válidas para manipular a equação 
e encontrar a equação equivalente de maneira a encontrar as raízes. Uma 
segunda técnica é para o caso de quando a equação é do tipo 
 
 
17 
(𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 𝑐 
em que, para resolvermos este caso, usamos a definição de radiciação: se 𝑏2 =
𝑎 então 𝑏 = √𝑎 ou 𝑏 = −√𝑎. Sendo assim 
(𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 𝑐 ⇔ (𝑎𝑥 + 𝑏) = ±√𝑐 
⇔ 𝑎𝑥 = ±√𝑐 − 𝑏 ⇔ 𝑥 =
±√𝑐 − 𝑏
𝑎
 
Exemplo: 
Resolva (2𝑥 − 1)2 = 9 
(2𝑥 − 1)2 = 9 
2𝑥 − 1 = √9 
2𝑥 − 1 = ±3 
 2𝑥 − 1 = 3 ou 2𝑥 − 1 = −3 
 2𝑥 = 3 + 1 ou 2𝑥 = −3 + 1 
 2𝑥 = 4 ou 2𝑥 = −2 
 𝑥 = 2 ou 𝑥 = −1 
Lembre-se de que se 𝑎 e 𝑏 são números reais e se 𝑎 ∗ 𝑏 = 0, então, 𝑎 = 0 
ou 𝑏 = 0. 
Essa técnica é mais genérica do que parece, pois toda equação 
quadrática pode ser escrita como (𝑥 + 𝑏)2 = 𝑐. Vamos relembrar o procedimento 
de completar quadrados. Para resolver a equação 𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐 por essa técnica, 
devemos adicionar (𝑏 2⁄ )
2
 em ambos os lados da igualdade e fatorando o lado 
esquerdo: 
𝑥2 + 𝑏𝑥 + (
𝑏
2
)
2
= 𝑐 + (
𝑏
2
)
2
 
⟺ (𝑥 +
𝑏
2
)
2
= 𝑐 +
𝑏2
4
 
ou 
𝑥2 + 2 ∙ 𝑥 ∙
𝑏
2
+ (
𝑏
2
)
2
= 𝑐 + (
𝑏
2
)
2
 
⟺ (𝑥 +
𝑏
2
)
2
= 𝑐 +
𝑏2
4
 
Obs.: a estratégiaé pensarmos na seguinte frase enquanto estamos 
realizando o processo: quadrado do primeiro (𝑥2) menos duas vezes o primeiro 
pela metade do segundo (−2 ∙ 𝑥 ∙
𝑏
2
) mais o quadrado da metade do segundo 
 
 
18 
(
𝑏
2
)
2
, menos o quadrado da metade do segundo −(
𝑏
2
)
2
 mais o termo 
independente 𝑐. 
Vamos resolver a equação 4𝑥2 − 20𝑥 + 17 = 0 pelo método de completar 
quadrados: 
4𝑥2 − 20𝑥 + 17 = 0 
𝑥2 − 5𝑥 +
17
4
= 0 
𝑥2 − 5𝑥 = −
17
4
 
𝑥2 − 5𝑥 + (
−5
2
)
2
= −
17
4
+ (
−5
2
)
2
 
(𝑥 −
5
2
)
2
= −
17
4
+
25
4
 
(𝑥 −
5
2
)
2
=
8
4
 
(𝑥 −
5
2
)
2
= 2 
𝑥 −
5
2
= ±√2 
𝑥 =
5
2
± √2 
então as raízes são 𝑥 =
5
2
+ √2 ou 𝑥 =
5
2
− √2. 
4.3 Fórmula de Bhaskara 
Agora, se estamos com a equação geral 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, podemos 
utilizar a fórmula conhecida como Fórmula de Bhaskara: 
As soluções da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, em que 𝑎 ≠ 0, são dadas pela 
fórmula: 
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
Vamos resolver a equação 2𝑥2 − 10𝑥 = −8. 
Colocando a equação da maneira padrão, podemos identificar os 
coeficientes para então aplicar a fórmula de Bhaskara: 2𝑥2 − 10𝑥 + 8 = 0, então, 
𝑎 = 2, 𝑏 = −10 e 𝑐 = 8. 
 
 
19 
𝑥 =
−(−10) ± √(−10)2 − 4(2)(8)
2(2)
 
=
10 ± √100 − 64
4
 
= 
10 ± √36
4
 
=
10 ± 6
4
 
𝑥 =
10 + 6
4
 𝑜𝑢 𝑥 =
10 − 6
4
 
𝑥 =
16
4
 𝑜𝑢 𝑥 =
4
4
 
𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = 1 
Assim, as raízes são 𝑥 = 4 e 𝑥 = 1. 
4.4 Soluções geométricas 
Além do artifício da manipulação algébrica, podemos também encontrar 
soluções para as equações geometricamente. 
Para isso, devemos encontrar os valores de 𝑥 por onde a reta intercepta 
o eixo horizontal 𝑥. Esses valores podem ser chamados de raízes e existem 
várias técnicas para isso. 
No caso de equações de primeira ordem, temos apenas uma solução, 
então, o gráfico irá encontrar o eixo das abscissas (eixo 𝑥) apenas uma vez, ou 
seja, o gráfico de uma equação de primeira ordem é do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 é do tipo: 
 
 Se 𝑎 > 0: Se 𝑎 < 0: 
 
 
 
20 
Nas imagens, podemos identificar a localização da raiz da equação. Note 
que o sinal do coeficiente 𝑎, determina se o gráfico começa do lado direito ou 
esquerdo. 
Vejamos a equação 𝑦 = 2𝑥 − 5. 
Para encontrar a raiz devemos fazer 𝑦 = 0 e isolar o 𝑥, ou seja, 2𝑥 − 5 =
0 ⇔ 𝑥 = 5 2⁄ é raiz, então, construindo o gráfico podemos ver o comportamento 
da raiz encontrada. 
 
Já para o caso de uma equação de segunda ordem, do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, como ela tem duas raízes, então, o gráfico deve encontrar o eixo das 
abscissas duas vezes, como temos na figura a seguir. 
 
Se as duas raízes são iguais, então o gráfico encontrará o eixo das 
abscissas apenas uma vez. 
Vamos resolver a equação 3𝑥2 − 6𝑥 = 5. 
Resolvendo por qualquer uma dos métodos apresentados acima, 
encontramos as raízes 𝑥1 =
(6 + √96)
6
⁄ ≈ 2,63 e 𝑥2 =
(6 − √96)
6
⁄ ≈ −0,63. 
 
 
21 
 
Dados os pontos de solução, chamados de pontos de intersecção, 
podemos reescrever a equação de origem, utilizando das ferramentas de 
fatoração que vimos. Por exemplo, para a equação de segundo grau, se dados 
os pontos de solução, 𝑥1 e 𝑥2, a equação 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, pode ser encontrada 
como (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
TEMA 5 – INEQUAÇÕES 
 Resolver uma inequação em 𝑥 significa encontrar todos os valores de 𝑥 
para os quais a inequação é verdadeira. Logo, uma solução de uma inequação 
é um valor de 𝑥 que satisfaz a lei de formação da inequação. Resolver uma 
inequação significa encontrar o seu conjunto solução, que é o conjunto de todas 
as soluções encontradas. Formalmente, uma inequação linear em x pode ser 
escrita da forma 
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0 
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 
para 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ com 𝑎 ≠ 0. 
 Vejamos as propriedades que regem nas inequações: sejam 𝑢, 𝑣,𝑤 e 𝑧 
números reais, variáveis ou expressões algébricas e 𝑐 um número real. 
1. Transitiva: se 𝑢 < 𝑣 e 𝑣 < 𝑤, então, 𝑢 < 𝑤. 
2. Adição: se 𝑢 < 𝑣, então, 𝑢 + 𝑤 < 𝑣 + 𝑤. 
Se 𝑢 < 𝑣 e 𝑤 < 𝑧, então, 𝑢 + 𝑤 < 𝑣 + 𝑧. 
3. Multiplicação: se 𝑢 < 𝑣 e 𝑐 > 0, então, 𝑢 ∙ 𝑐 < 𝑣 ∙ 𝑐 
Se 𝑢 < 𝑣 e 𝑐 < 0, então, 𝑢 ∙ 𝑐 > 𝑣 ∙ 𝑐 
As propriedades listadas são verdadeiras quando trocamos a 
desigualdade > por ≥. Entretanto, devemos ter cuidado para os casos em que 
trocamos < por ≤. Note ainda que na propriedade da multiplicação a 
 
 
22 
desigualdade se mantém quando multiplicamos a inequação por um número 
positivo, mas ela inverte quando o número é negativo. 
Para encontrar o conjunto solução de inequação, também vamos 
trabalhar com equivalência, mas neste caso de inequações, vamos realizar 
operações elementares para então encontrar o conjunto solução da inequação. 
Resolvendo 3(𝑥 − 1) + 2 ≤ 5𝑥 + 6. 
3(𝑥 − 1) + 2 ≤ 5𝑥 + 6 
3𝑥 − 3 + 2 ≤ 5𝑥 + 6 
3𝑥 − 1 ≤ 5𝑥 + 6 
3𝑥 − 1 + 1 ≤ 5𝑥 + 6 + 1 
3𝑥 ≤ 5𝑥 + 7 
3𝑥 − 5𝑥 ≤ 5𝑥 − 5𝑥 + 7 
−2𝑥 ≤ 7 
−2𝑥 (
1
−2
) ≥ 7 ∙ (
1
−2
) 
𝑥 ≥ −
7
2
 
Logo, o conjunto solução é [−3.5,∞[. Observe que o conjunto solução são 
intervalos. 
Resolvendo a inequação dupla: 
−3 <
2𝑥 + 5
3
≤ 5 
−3 <
2𝑥 + 5
3
≤ 5 
(−3) ∙ 3 < (
2𝑥 + 5
3
) ∙ 3 ≤ 5 ∙ 3 
−9 < 2𝑥 + 5 ≤ 15 
−9 − 5 < 2𝑥 + 5 − 5 ≤ 15 − 5 
−14 < 2𝑥 ≤ 10 
−14 ∙ (
1
2
) < 2𝑥 ∙ (
1
2
) ≤ 10 ∙ (
1
2
) 
−7 < 𝑥 ≤ 5 
Portanto o conjunto solução é ]−7, 5]. 
 Note que uma inequação dupla é a combinação de duas inequações. 
 Para inequações quadráticas, como do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 < 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 ou 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, primeiramente resolvemos a 
 
 
23 
equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 e, então, combinados com a análise gráfica fazendo 
o estudo de sinal, determinamos o conjunto solução. Vejamos os exemplos 
abaixo para que possamos entender melhor. 
 Resolvendo 2𝑥2 + 3𝑥 ≤ 20. 
Passo 1: reorganizar a inequação 2𝑥2 + 3𝑥 − 20 ≤ 0 
Passo 2: resolver a equação 2𝑥2 + 3𝑥 − 20 = 0 
 Usando as técnicas vistas anteriormente encontramos as soluções 𝑥1 =
−4 e 𝑥2 =
5
2⁄ . 
Passo 3: análise gráfica/análise de sinal: 
 
Note que dentro do intervalo [−4, 2.5] os valores da equação que estamos 
analisando são negativos, e isso se dá porque a região do gráfico 
correspondente está abaixo do eixo das abscissas. Mas fora do intervalo, os 
valores do gráfico são positivos. 
Passo 4: determinação do conjunto solução: 
Como queremos valores aos quais 2𝑥2 + 3𝑥 − 20 ≤ 0, então estamos 
procurando todos os valores de 𝑥 onde a equação seja negativa. E isso se dá 
exatamente no intervalo [−4, 2.5]. 
 Resolvendo 𝑥2 − 𝑥 − 12 > 0. 
Passo 1: a inequação já está organizada. 
Passo 2: resolver a equação 𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0. 
As soluções desta equação são 𝑥1 = 4 e 𝑥2 = −3. 
Passo 3: análise gráfica 
 
 
24 
 
No intervalo [−3, 4] os valores da equação que estamos analisando são 
negativos. Mas fora do intervalo os valores do gráfico são positivos. 
Passo 4: determinação do conjunto solução: 
Como queremos valores aos quais 𝑥2 − 𝑥 − 12 > 0, então, estamos 
procurando todos os valores de 𝑥 onde a equação seja positiva. E de acordo 
com a análise realizada anteriormente, o conjunto solução será ] −
∞,−3[ ∪ ]4,∞[. 
Os casos em que não existe solução para a inequação são aqueles em 
que o gráfico não encontra nenhuma vez o eixo das abscissas, ou que não há 
solução real para a equação correspondente, ou seja, quando 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, da 
fórmula de Bhaskara. 
As inequações com valor absoluto devem obedecer à definição: seja 𝑢 
uma expressão algébrica em 𝑥 e 𝑎 um número com 𝑎 ≥ 0. 
1) |𝑢| < 𝑎 se e somente se – 𝑎 < 𝑢 < 𝑎. 
2) |𝑢| > 𝑎 se e somente se 𝑢 < −𝑎 ou 𝑢 > 𝑎. 
Se trocarmos as desigualdades < e > por ≤ e ≥, a definição se mantém. 
Resolvendo |𝑥 − 4| < 8. 
Vamos usar a definição apresentada: 
|𝑥 − 4| < 8−8 < 𝑥 − 4 < 8 
−8 + 4 < 𝑥 < 8 + 4 
−4 < 𝑥 < 12 
Portanto, o conjunto solução é ] − 4,12[. 
Resolvendo |3𝑥 − 2| ≥ 5 
Aplicando a definição: 
|3𝑥 − 2| ≥ 5 
3𝑥 − 2 ≤ −5 ou 3𝑥 − 2 ≥ 5 
 
 
25 
3𝑥 ≤ −5 + 2 ou 3𝑥 ≥ 5 + 2 
3𝑥 ≤ −3 ou 3𝑥 ≥ 7 
𝑥 ≤ −1 ou 𝑥 ≥ 3 7⁄ 
Assim, o conjunto solução é ] − ∞,−1] ∪ [3 7⁄ , ∞[. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, relembramos algumas operações básicas e manipulações 
algébricas essenciais para a resolução de alguns problemas. A fatoração de 
polinômios e a simplificação de expressões algébricas também foram vistas, 
deixando clara a necessidade do uso desses recursos para facilitar as contas. 
Por fim, as equações e inequações foram apresentadas. Essas, por sua 
vez, podem ser muito utilizadas no decorrer dos seus estudos. 
 
 
 
 
26 
REFERÊNCIAS 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil Ltda, 2009.