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Exercícios de Sinais e Sistema

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE SINAIS E SISTEMAS 
 
Nome: Emily Silva Viana Matrícula: 201933840031 
 
1.1-1 
a) E = ∫ (1)2𝑑𝑡 + ∫ (−1)2
3
2
2
0
𝑑𝑡 = 3 
Mudar o sinal de um sinal não muda sua energia. 
b) E = ∫ (−1)2𝑑𝑡 + ∫ (1)2
3
2
2
0
𝑑𝑡 = 3 
Dobrando um sinal quadruplica sua energia 
c) E = ∫ (2)2𝑑𝑡 + ∫ (−2)2
3
2
2
0
𝑑𝑡 = 12 
Mudar um sinal não muda sua energia. 
d) E = ∫ (1)2𝑑𝑡 + ∫ (−1)2
6
5
5
3
𝑑𝑡 = 3 
Multiplicando um sinal por uma constante K aumenta sua energia por um fator 
K2. 
 
1.1-3 
a) 
 
 
Portanto, 𝑬𝒙±𝒚 = 𝑬𝑿 + 𝑬𝒚. 
 
1.1-4 
𝑃𝑥 =
1
4
∫ (𝑡3)2𝑑𝑡 = 64/7
2
−2
 
a) 𝑃−𝑥 =
1
4
∫ (−𝑡3)2𝑑𝑡 = 64/7
2
−2
 
b) 𝑃2𝑥 =
1
4
∫ (2𝑡3)2𝑑𝑡 = 4(64/7) = 256/7
2
−2
 
c) 𝑃𝑐𝑥 =
1
4
∫ (𝑐𝑡3)2𝑑𝑡 =
64𝑐2
7
2
−2
 
Comentários: Alterar o sinal de um sinal não afeta sua potência. Multiplicar um 
sinal por uma constante c aumenta a potência por um fator c². 
1.2-4 
 
Multiplicando um sinal por uma constante a aumenta a energia do sinal por um 
fator a2. 
 
1.3-1 
a) Falso. A Figura 1.11b é um exemplo de um sinal de tempo contínuo, mas 
digital. 
b) Falso. A Figura 1.11c é de tempo discreto, mas analógico. 
c) Falso. e-t não é um sinal de energia nem de potência. 
d) Falso. e-t u(t) tem duração infinita, mas é um sinal de energia. 
e) Falso. u(t) é um sinal de potência causal. 
f) Verdadeiro. Um sinal periódico, por definição, existe para todo t. 
 
1.3- 
a) Verdadeiro. Cada sinal periódico limitado é um sinal de potência. 
b) Falso. Os sinais com potência limitada não são necessariamente periódicos. 
Por exemplo x (t) = cos (t) u (t) não é periódico, mas tem uma potência limitada 
de P = 0,25. 
c) Verdadeiro. Se um sinal de energia r (t) tem energia E, então a energia de r 
(at) é (areal e positiva). 
d) Falso. Se um sinal de potência x (t) tem potência P, então a potência de x 
(at) geralmente não é E. 
 
1.4-2 
a) X1(t) = (4t + 1) [u(t + 1) - u(t)] + (−2t + 4) [u(t) - u(t - 2)] 
 = (4t + 1) u( t + 1) - 6tu(t) + 3u(t) + (2t - 4) u(t - 2) 
 
b) X2(t) = t²[u(t) - u(t-2)] + (2t - 8) [u(t - 2) - u(t - 4)] 
 = t² u(t) - (t² - 2t + 8) u(t - 2) - (2t - 8) u(t-4) 
 
1.7-10 
Usando a propriedade de peneiração, esta operação do sistema é reescrita 
como y (t)0,5 (x (t) -x (-t)). 
a) Este sistema extrai a parte ímpar da entrada. 
b) Sim, o sistema é BIBO estável. Se a entrada for limitada, a saída será 
necessariamente limitada. Ou seja, se | x (t) | ≤ M₂ <oo, então ly (t)] = | 0,5 (x (t) 
- x (−t)) | ≤0,5 (x (t)] + x (−t) |) ≤ M₁ <0. 
d) Não, o sistema não é sem memória. Por exemplo, no tempo t = 1, a saída y 
(1)= 0,5 (x (1) - z (-1)) depende de um valor passado da entrada, r (-1). 
e) Não, o sistema não é causal. Por exemplo, no tempo t = -1, a saída y (-1) = 
0,5(x (-1) - (1)) depende de um valor futuro da entrada, 7 (1). 
f) Não, o sistema não é invariante no tempo. Por exemplo, seja a entrada r (t) = 
H t(u(t + 1) -u (t-1)). Como essa entrada já é ímpar, a saída é apenas a entrada, 
y (t) = x(t). Deslocando por um 7 diferente de zero, x (t - 7) não é ímpar e a saída 
não é y (t-1)= x (t - 7). Portanto, o sistema não pode ser invariável no tempo. 
 
1.7-11 
a) Não, o sistema não é BIBO estável. O sistema retorna a derivada retardada, 
ou inclinação, do sinal de entrada. Uma onda quadrada é um sinal limitado que, 
devido a descontinuidades pontuais, tem inclinação infinita em certos instantes 
no tempo. Assim, uma entrada limitada pode não resultar em uma saída limitada 
e o sistema não pode ser BIBO estável. 
c) Não, o sistema não está sem memória. Pela inspeção, fica claro que o sistema 
depende de um valor anterior da entrada. Por exemplo, em t = 0, a saída y(0) 
depende da derivada no tempo de x (-1), um valor passado. 
d) Sim, o sistema é causal. Pela inspeção, fica claro que o sistema não depende 
de valores futuros. 
e) Sim, o sistema é invariante no tempo. Para verificar explicitamente, seja y (t) 
= x (t-1). Em seguida, atrase r (t) por r para obter uma nova entrada x₂ = x (t-7). 
Aplicar 2 (t) ao sistema resulta em y2 (t) = ₂ (t) = x (t-1-T) = y (t - T). Visto que o 
operador do sistema e o operador do turno trabalham comutam, o sistema é 
invariável no tempo. Em termos mais flexíveis, o operador derivativo retorna a 
inclinação atrasada de um sinal independente de quando esse sinal é aplicado.