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113 - Exercícios / Progressão geométrica Soma de infinitos termos

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e 
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ol
og
ia
s
EM
I-1
5-
10
0
 03. PUC-RS
Um pêndulo simples de 
comprimento L é colocado 
em movimento e tem sua pri-
meira oscilação formando um 
arco que mede 2 000 centí-
metros, conforme a figura.
O comprimento do arco 
que correspondente à segun-
da oscilação será de 
3
4 do comprimento do arco que corres-
ponde à primeira. O comprimento do arco da oscilação seguinte 
será de 3
4
 do comprimento do arco anterior e assim por diante. 
Supondo que o movimento do pêndulo não seja interrompido, 
a soma dos comprimentos de todos os arcos percorridos será 
de ________ metros.
a. 50 
b. 80 
c. 160
d. 80 000
e. 160 000
 01. UFPA
A soma da série infinita 1 1
5
1
25
1
125
...é :+ + + +
a. 6
5
b. 
7
5
c. 
5
4
d. 2
e. 74
Módulo 59
Progressão geométrica – Soma de infinitos termos
Exercícios de Aplicação
L
 02. UFPI
O valor de x na equação 2x
3
x
6
x
24
x
96
... 4 é:+ + + + + =
a. 4,0
b. 4,5
c. 5,0
d. 5,5
e. 6,0
Resolução
2 000 cm = 20 m
Oscilação Comprimento do arco em metros
1o 20 m
2o 34
·20 m
3o 34
·3
4
·20 m
.
.
.
.
.
.
Soma dos comprimentos dos arcos:
+ ⋅ + ⋅ ⋅ +…
= =
= −
=
−
⇒ = = =
=
∞
∞ ∞
∞
20 3
4
20 3
4
3
4
20
Soma de PG infinita:
PG: a 20; q 3
4
S
a
1 q
S 20
1 3
4
S 201
4
20·4
1
80
S 80 m
1
1
Alternativa correta: B
Habilidade
Resolver problemas que envolvam progressões geomé-
tricas.
Resolução
q
a
a
1
5
1
1
5
S
a
1 q
S 14
5
S 5
4
2
1
1
= − =
= −
=
=
∞
∞
∞
Alternativa correta: C
Resolução
A soma é de uma PG infinita de razão 1
4
.
S
2x
3
1 1
4
4=
−
=∞
 
2x
3
4 1= −
x = 4,5 
Alternativa correta: B
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0
Exercícios Extras
 04. PUC-RS
O limite da soma dos termos da progressão geométrica 
1, 1
x
, 1
x
,2 ( ) , em que x > 1, é 4. Então, o valor de x é:
a. 4
3
b. 5
3
c. 7
3
d. 8
3
e. 10
3
 05. 
A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-
-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um segundo 
triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados 
deste novo triângulo equilátero, obtém-se um terceiro e as-
sim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos períme-
tros de todos esses triângulos.
Seu espaço
Sobre o módulo
Este módulo desenvolve um estudo sobre a soma infinita dos termos de uma PG.
Se possível, induzir os alunos a perceberem que potências de base entre –1 e 1 têm, no limite, potência igual a zero. Utilize 
o exemplo das potências de base 1
2
 indicado na teoria. Com base nisso, pode-se auxiliar os alunos a entenderem a fórmula da 
soma dos infinitos termos substituindo “qn “ por zero, quando houver tendência ao infinito, na fórmula da soma finita.
Bom trabalho!
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0
Exercícios Propostos
Da teoria, leia o tópico 1J.
Exercícios de tarefa reforço aprofundamento
 06. 
A dízima periódica 3,2222... pode ser decomposta em 
uma soma de infinitas parcelas, sendo a primeira igual a 3 
e as demais formando uma PG infinita de razão 110. Sendo 
assim, temos:
3,2222.... = 3 + 0,2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ...
Calcule a fração geratriz da dízima periódica mostrada.
 07. UFSC
Determine a soma dos números associados à(s) proposi-
ção(ões) verdadeira(s).
01 A razão da PA em que a1 = – 8 e a20 = 30 é r = 2.
02. A soma dos termos da PA (5, 8, ..., 41) é 299.
04. O primeiro termo da PG em que a3 = 3 e a7 = 
3
16
 é 12.
08. A soma dos termos da PG (5, 5
2
 , 5
4
, ...) é 10.
 08. UFPA
Um dos moluscos transmissores da esquistossomose é 
o biomphalaria amazonica paraense. Sua concha tem forma 
de uma espiral plana, como na figura:
B0 B1 B2 A3 A2 A1 A0
C
A interseção do diâmetro A0B0 com a concha determina 
pontos A0, B0, A1, B1, A2, B2 etc. A cada meia volta da espiral, a 
largura do diâmetro do canal da concha reduz na proporção 
de 2
3
, isto é, B0B1 = 
2
3
A0A1, A1A2 = 
2
3
B0B1, B1B2 = 
2
3
A1A2, 
A2A3 = 
2
3
B1B2 e assim sucessivamente. Seja o ponto C o limite 
da espiral, se A0B0 mede 6 mm, a medida de B0C é, em mm, 
igual a:
a. 6
5
b. 12
5
c. 3 
d. 11
5
e. 7
2
 09. 
Na figura abaixo, a aresta do cubo maior mede a, e os 
outros cubos foram construídos de modo que a medida da 
respectiva aresta seja a metade da aresta do cubo anterior. 
Imaginando que a construção continue indefinidamente, a 
soma dos volumes de todos os cubos será:
a. 0
b. 
a
2
3
c. 7a
8
3
d. 
8a
7
3
e. 2a3
 10. 
Determine a soma dos infinitos termos de uma PG de pri-
meiro termo igual a 5 e razão 
1
2 .
 11. Unesp
Uma partícula em movimento descreve sua trajetória 
sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto P0, 
localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sem-
pre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, 
até o ponto P3, em r. Na figura, O, O1 e O2 são os centros das 
três primeiras semicircunferências traçadas e R, R
2
, R
4
 seus 
respectivos raios. 
P0
O
R
O1 O2
P1 P2 P3R
2
R
4
r
A trajetória resultante do movimento da partícula será 
obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, 
sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados 
por On e R
R
2n n
= , respectivamente, até o ponto Pn , também 
em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita 
pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infini-
to, será igual a: 
a. 22 · p · R
b. 23 · p · R
c. 2n · p · R
d. 7
4
R)( ⋅ p ⋅
e. 2 · p · R
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 12. UEPB
Na figura a seguir, temos parte do gráfico da função 
f(x) 2
3
x)(= e uma sequência infinita de retângulos associa-
dos a esse gráfico
y
x0 1 2 3 4 5
(0,1)
f(x) = 2
3( )
x
A soma das áreas de todos os retângulos desta sequên-
cia infinita em unidade de área é:
a. 3
b. 1
2
c. 1
d. 2
e. 4
 13. Unifesp
No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo 
com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas 1, 
1
3
 , 1
9
, 1
27
 e assim por diante, conforme mostra a figura.
h
1
1
3
1
9
O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudes-
se ser feito indefinidamente, é:
a. 3
b. 5
2
c. 7
3
d. 2
e. 3
2
 14. UPE
Júnior marcou com Daniela às 15 horas para juntos as-
sistirem a um filme, cuja sessão se inicia às 16 horas. Como 
às 15 horas Daniela não chegou, Júnior resolveu esperar um 
tempo t1 igual a 15 minutos e, após isso, um tempo t2 igual a 
1
4 de t1 e, logo após, um tempo t3 igual a 
1
4
 de t2 e assim por 
diante. Daniela não chegou para o encontro.
Por quanto tempo Júnior esperou até ir embora?
a. 1 hora
b. 1 dia
c. 20 minutos
d. 30 minutos
e. 45 minutos
 15. Vunesp
Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado com medi-
da unitária em 9 quadrados iguais, traçando-se dois pares de 
retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-se o quadrado 
central. Repete-se este processo de divisão, para os quadra-
dos restantes, n vezes.
Observe o processo para as duas primeiras divisões:
Quadrado de
lado unitário 1a divisão 2a divisão
Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessi-
vas do quadrado inicial e qual é a soma das áreas dos quadra-
dos removidos, quando n cresce indefinidamente?
 16. UEL-PR
Na figura a seguir, o lado do quadrado maior mede 1 e os 
outros quadrados foram construídos de modo que a medida 
do respectivo lado seja a metade do lado do quadrado ante-
rior.
1 1
2
1
4
1
8
Imaginando que a construção continue indefinidamente, 
a soma das áreas de todos os quadrados será:
a. 2
b. 
4
3
c. 3
2
d. 3
e. 
15
8
2x
x
M
A
T
R
es
p
o
st
as
27
2
Ex
er
cí
ci
os
 E
xt
ra
s 
e 
Pr
op
os
to
s
EM
I-1
5-
10
0
M
A
T
21
1
Setor 211
Módulo 55 
04. C
Seja a PG 2,1,1
2
,1
4
,...
q 1
2
(razão)
a a q a 2 1
2
a 1
64
S log log log ... log
S log
S log
S log S log S 20
b S
5
b 20
5
4
Então, temos: f(x) x