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Página 1 de 8 @prof.aruadias LISTA DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA – ENEM – GEOMETRIA ESPACIAL 1. (Enem 2019) Um grupo de países criou uma instituição responsável por organizar o Programa Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca oficial do programa, em três dimensões, que é formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura. Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir. Ao meio-dia, com o sol a pino, as letras que formam essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre o solo. A sombra projetada no solo é a) b) c) d) Página 2 de 8 @prof.aruadias e) 2. (Enem PPL 2019) Para decorar sua casa, uma pessoa comprou um vaso de vidro em forma de um paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são: 40 𝑐𝑚 de comprimento, 35 𝑐𝑚 de largura e 60 𝑐𝑚 de altura. Em seguida, foi até uma floricultura e escolheu uma planta aquática para colocar nesse vaso. Segundo uma proposta do gerente do local, essa pessoa avaliou a possibilidade de enfeitar o vaso colocando uma certa quantidade de pedrinhas artificiais brancas, de volume igual a 100 𝑐𝑚3 cada uma delas, que ficarão totalmente imersas na água que será colocada no vaso. O gerente alertou que seria adequado, em função da planta escolhida, que metade do volume do vaso fosse preenchido com água e que, após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 𝑐𝑚 do topo do vaso, dando um razoável espaço para o crescimento da planta. A pessoa aceitou as sugestões apresentadas, adquirindo, além da planta, uma quantidade mínima de pedrinhas, satisfazendo as indicações do gerente. Nas condições apresentadas, a quantidade de pedrinhas compradas foi a) 140. b) 280. c) 350. d) 420. e) 700. 3. (Enem 2020) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 𝑐𝑚 e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 𝑐𝑚. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 𝑐𝑚3 cada, que ficarão totalmente submersas O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de a) 14. Página 3 de 8 @prof.aruadias b) 16. c) 18. d) 30. e) 34. 4. (Enem 2019) As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura. Essa luminária terá por faces a) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. b) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. c) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. d) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. e) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 5. (Enem 2020) Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d’água do tipo A. Se 𝑅 denota o raio da caixa-d’água do tipo A, então o raio da caixa-d’água do tipo B é a) 𝑅 2 b) 2𝑅 c) 4𝑅 d) 5𝑅 e) 16𝑅 6. (Enem PPL 2019) No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (𝐹), arestas (𝐴) e vértices (𝑉): 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares. Página 4 de 8 @prof.aruadias Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura? a) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 b) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 − 1 c) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 1 d) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 e) 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 3 7. (Enem 2020) Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura. Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento 𝑐 e largura 𝐿, e a base de T2 tem comprimento 𝑐 2 e largura 2𝐿. Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, denotada por 𝑥, e a altura da coluna de líquido que chegou a T2, denotada por 𝑦. Disponível em: www.dec.ufcg.edu.br. Acesso em: 21 abr. 2015. A equação que relaciona as medidas das alturas 𝑦 e 𝑥 é dada por a) 𝑦 = 1,265𝑥 b) 𝑦 = 1,250𝑥 c) 𝑦 = 1,150𝑥 d) 𝑦 = 1,125𝑥 e) 𝑦 = 𝑥 8. (Enem 2020) No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em Página 5 de 8 @prof.aruadias um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2. A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 𝑚 de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão. Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 𝑚 de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 𝑚 e deixar o restante como reserva. Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de a) 4,00. b) 4,87. c) 5,00. d) 5,83. e) 6,26. 9. (Enem PPL 2019) Uma empresa especializou-se no aluguel de contêineres que são utilizados como unidades comerciais móveis. O modelo padrão alugado pela empresa tem altura de 2,4 𝑚 e as outras duas dimensões (largura e comprimento), 3,0 m e 7,0 𝑚, respectivamente. Página 6 de 8 @prof.aruadias Um cliente solicitou um contêiner com altura padrão, porém, com largura 40% maior e comprimento 20% menor que as correspondentes medidas do modelo padrão. Para atender às necessidades de mercado, a empresa também disponibiliza um estoque de outros modelos de contêineres, conforme o quadro. Modelos com altura de 2,4 𝑚 Largura (em metro) Comprimento (em metro) I 4,2 8,4 II 4,2 5,6 III 4,2 5,8 IV 5,0 5,6 V 5,0 8,4 Dos modelos disponíveis, qual atende às necessidades do cliente? a) I b) II c) III d) IV e) V 10. (Enem PPL 2020) Um piscicultor cria uma espécie de peixe em um tanque cilíndrico. Devido às características dessa espécie, o tanque deve ter, exatamente, 2 metros de profundidade e ser dimensionado de forma a comportar 5 peixes para cada metro cúbico de água. Atualmente, o tanque comporta um total de 750 peixes. O piscicultor deseja aumentar acapacidade do tanque para que ele comporte 900 peixes, mas sem alterar a sua profundidade. Considere 3 como aproximação para 𝜋. O aumento da medida do raio do tanque, em metro, deve ser de a) √30 − 5 b) √30−5 2 c) √5 d) 5 2 e) 15 2 Página 7 de 8 @prof.aruadias Gabarito: Resposta da questão 1: [E] A única alternativa que exibe espaçamentos iguais entre as letras é a [E]. Resposta da questão 2: [B] Sabendo que o volume é proporcional à altura, podemos afirmar que o volume ocupado pelas pedrinhas corresponde à altura de 60 − 30 − 10 = 20𝑐𝑚. Assim, o volume ocupado pelas pedrinhas corresponde a 40 ⋅ 35 ⋅ 20 = 28000 𝑐𝑚3. A resposta é 28000 100 = 280. Resposta da questão 3: [A] Lembrando do Princípio de Arquimedes, segue que o volume total das bolinhas deve corresponder ao volume de líquido que sobe. Portanto, se 𝑛 é o número de bolinhas que devem ser colocadas no recipiente, então 6𝑛 ≥ 7 ⋅ 3 ⋅ 4 ⇔ 𝑛 ≥ 14. A resposta é 14. Resposta da questão 4: [A] Após a retirada dos tetraedros de aresta 𝑎 3 , restarão por faces 4 hexágonos regulares de lado 𝑎 3 e 4 triângulos equiláteros de lado 𝑎 3 . Resposta da questão 5: [B] Se 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 e ℎ𝐵 = 1 4 ℎ𝐴, então 𝜋 ⋅ 𝑅𝐴 2 ⋅ ℎ𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝑅𝐵 2 ⋅ ℎ𝐵 ⇒ 𝑅 2 ⋅ ℎ𝐴 = 𝑅𝐵 2 ⋅ 1 4 ℎ𝐴 ⇒ 𝑅𝐵 = √4𝑅 2 ⇒ 𝑅𝐵 = 2𝑅. Resposta da questão 6: [E] Desde que 𝑉 = 16, 𝐹 = 11 e 𝐴 = 24, temos 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 3. Resposta da questão 7: [A] Página 8 de 8 @prof.aruadias O volume que saiu de 𝑇1 é dado por 𝑐 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑥, enquanto que o volume que chegou em 𝑇2 é igual a 𝑐 2 ⋅ 2𝐿 ⋅ 𝑦 = 𝑐 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑦. Portanto, segue que 1,1 ⋅ 1,15 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑥 = 𝑐 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑦 ⇔ 𝑦 = 1,265𝑥. Resposta da questão 8: [A] Seja ℓ o comprimento de uma mangueira de iluminação. Logo, devemos ter 20 ⋅ ℓ = 100 ⇔ ℓ = 5 m. Desde que uma mangueira, a altura do cone e o raio da base constituem um triângulo retângulo de hipotenusa 5 𝑚 e cateto 3 𝑚, podemos concluir que o outro cateto (raio da base) mede 4 𝑚. Com efeito, pois trata-se do triângulo retângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5. Resposta da questão 9: [B] Desde que 1,4 ⋅ 3 = 4,2 𝑚 e 0,8 ⋅ 7 = 5,6 𝑚, podemos concluir que o modelo que atende ŕs necessidades do cliente é o II. Resposta da questão 10: [A] O raio inicial 𝑟0 do tanque ? tal que 750 5 = 𝜋 ⋅ 𝑟0 2 ⋅ 2 ⇒ 𝑟0 2 ≅ 25 ⇒ 𝑟0 ≅ 5 𝑚. Se 𝑟 ? a medida do raio do tanque ap髎 o aumento, ent鉶 900 5 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ 2 ⇒ 𝑟2 ≅ 30 ⇒ 𝑟 ≅ √30 𝑚. A resposta ? (√30 − 5) 𝑚.
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