Aula 03 - Equações Diferenciais de Segunda Ordem

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Resolução de equações diferenciais de segunda ordem.
PROPÓSITO
Identificar, classificar e solucionar equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer as soluções gerais para resolução de uma EDO de segunda ordem
MÓDULO 2
Solucionar as equações lineares de segunda ordem homogêneas
MÓDULO 3
Solucionar as equações lineares de segunda ordem não homogêneas
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
MÓDULO 1
 Reconhecer as soluções gerais para resolução de uma EDO de segunda ordem
SOLUÇÃO GERAL DA EDO DE SEGUNDA ORDEM
INTRODUÇÃO
Em nossa vida prática, iremos nos deparar com problemas que serão modelados por uma equação diferencial de segunda ordem.
Não existe um método único que resolva qualquer equação diferencial de segunda ordem. Assim, precisamos definir algumas ferramentas que
nos permitam garantir a existência e a unicidade de uma solução e, até mesmo, um caminho de como obtê-las.
Neste módulo, analisaremos alguns teoremas que nos garantirão a obtenção de soluções para uma equação diferencial linear de segunda
ordem.
TEOREMA DE SOLUÇÕES GERAIS
Neste tema, estamos tratando de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem.
Inicialmente, vamos lembrar os conceitos de equações diferenciais quanto as suas classificações.
Uma equação diferencial será ordinária se apresentar apenas uma variável independente. Em outras palavras, na equação aparecerão apenas
as derivadas da incógnita, em suas diversas ordens, em relação a uma única variável independente. Por exemplo:
2
D2Y
DX2 - X2
DY
DX = 3Y
 
Onde a incógnita y só depende da variável independente x.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A ORDEM SERÁ DADA PELA DERIVADA DE MAIS ALTA ORDEM QUE
APARECE NA EQUAÇÃO. COMO ESTAMOS TRABALHANDO COM
EQUAÇÕES DE SEGUNDA ORDEM, OBRIGATORIAMENTE TEREMOS UMA
DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM E NENHUMA DERIVADA DE ORDEM
SUPERIOR À SEGUNDA.
A equação diferencial será linear se:
A variável dependente e suas derivadas só podem aparecer na forma simples, isto é, elevadas ao expoente um.

Os coeficientes da equação diferencial, isto é, os termos que multiplicam a incógnita ou suas derivadas, só podem apenas depender da variável
independente ou serem números reais.
Por exemplo:
A equação diferencial 2x
d2y
dx2
- x2
dy
dx = 3y é linear.
A equação 2y
d2y
dx2
- x2
dy
dx
2
= 3y não é linear por dois motivos: aparece um coeficiente, que multiplica a derivada de segunda ordem, que
depende da incógnita y, e a derivada de primeira ordem aparece elevada ao quadrado.
Desta forma, pode-se dizer que uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem terá a forma:
D2Y
DX2
+ A(X)
DY
DX + B(X)Y = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde A(x), B(x) e C(x) são funções que dependem apenas da variável independente. O primeiro teorema que analisaremos para este tipo de
equação será o teorema da existência e unicidade.
TEOREMA DA EXISTÊNCIA E UNICIDADE
Seja a equação linear de segunda ordem:
D2Y
DX2
+ A(X)
DY
DX + B(X)Y = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se as funções A(x), B(x) e C(x) forem contínuas em um intervalo xa < x < xb e x0 pertence a este intervalo, a equação diferencial terá
solução, e somente uma solução, neste intervalo que atenda às duas condições iniciais de y x0 = y0 e y' x0 = y0'.
( )
( ) ( )
ESTE TEOREMA É IMPORTANTE, POIS GARANTE A EXISTÊNCIA DA
SOLUÇÃO E, APÓS OBTÊ-LA, INDEPENDENTEMENTE DO MÉTODO, ELE
GARANTE QUE NÃO EXISTIRÁ OUTRA QUE ATENDA ÀS CONDIÇÕES
INICIAIS.
Em outras palavras, mesmo que consigamos obter a solução simplesmente por observação e substituição, você garante que ela será única.
EXEMPLO 1
Mostre que é possível resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial y'' +
3
x - 2 y' + 6y = senx - 1 que atenda as condições 
y(3) = 2 e y'(3) = 2. Determine o intervalo dessa solução.
Observe que as funções de x que são os coeficientes da equação diferencial serão:
A(x) =
3
x - 2 → que é contínua para todo x com x ≠ 2.
B(x) = 6 → que é contínua para todo x.
C(x) = sen x - 1 → que é contínua para todo x.
Assim, pelo teorema da unicidade e existência, sempre teremos uma única solução no intervalo que os coeficientes forem contínuos. Desta
forma, podemos garantir a existência e a unicidade da solução para os intervalos - ∞ < x < 2 ou 2 < x < ∞.
Como x0 = 3, que é o ponto do problema de valor inicial, pertence a um deste intervalos, vai existir a solução do problema que atende às duas
condições iniciais y(3) = 2 e y'(3) = 2, e ela será única.
EXEMPLO 2
Determine a solução da equação diferencial y'' – 2xy' + 3y = 0 e que atenda ao problema de valor inicial y(3) = 0 e y'(3) = 0.
Não estudamos ainda nenhum método para resolução de equação diferencial de segunda ordem, mas já conhecemos o teorema da existência
e unicidade.
Repare que todos os coeficientes da equação diferencial são contínuos para todos os valores de x. Assim, podemos garantir que sempre
existirá uma solução única para o problema de valor inicial, sendo o caso, portanto, para x = 3, que é dado no enunciado.
Observando a equação pode se verificar que a função y = 0 é uma solução da equação. Veja que, se y = 0, y' = 0 e y'' = 0
A solução y = 0 atende às condições iniciais. Desta forma, pelo teorema da existência e unicidade, esta será a única solução possível para este
problema inicial dado no enunciado.
A solução do exemplo anterior é denominada por alguns autores como solução zero. Fica claro que se conseguimos determinar a solução por
observação, podemos usar o teorema estudado e garantir que ela é única.
O fato é que, na maioria das vezes, não é simples obter a solução apenas pela observação, faz-se necessário o estudo de outros métodos de
resolução, como veremos nos próximos módulos.
 ATENÇÃO
A solução para o problema de valor inicial y x0 = y0 e y' x0 = y0', atendendo a continuidade das funções que estão nos coeficientes, existe
e é única, mas uma condição do tipo y x1 = y0 e y' x2 = y0', com x1 ≠ x2, pode não existir ou até mesmo não ser única.
Quando as duas condições iniciais envolvem y x0 = y0 e y' x0 = y0' para o mesmo ponto x0, diz-se que é um problema de valor inicial. Se
as duas condições envolverem dados de pontos diferentes, dizemos que se trata de um problema de valor de contorno.
ASSIM, O TEOREMA GARANTE A EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL, MAS NÃO GARANTE A EXISTÊNCIA E
UNICIDADE DE PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO.
 ATENÇÃO
Uma outra observação importante: como a equação diferencial de segunda ordem tem uma derivada segunda, a sua solução geral dependerá
sempre de duas constantes, necessitando, portanto, de duas condições para se obter uma solução particular.
A resolução de uma equação diferencial de segunda ordem começa, na maioria das vezes, pelo cálculo da equação diferencial homogênea, isto
é, com C(x) = 0. Portanto, vamos iniciar nossos estudos pela equação homogênea.
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Esse teorema permite obter uma solução da equação diferencial baseada no conhecimento de pelo menos duas soluções particulares.
SE Y1(X) E Y2 X SÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
DE SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA E M1 E M2 SÃO CONSTANTES
REAIS, ENTÃO A SEGUINTE EQUAÇÃO TAMBÉM SERÁ SOLUÇÃO DA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL: 
 
Y(X) = M1Y1(X) + M2 Y2 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos demonstrar juntos este teorema.
Suponha que conhecemos a solução y1 e y2 da equação diferencial, assim:
Y1'' + A(X)Y1' + B(X)Y1 = 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y2'' + A(X)Y2' + B(X)Y2 = 0
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora testar se a função y = m1 y1 + m2 y2 será solução. Usando as propriedades da diferenciação, se
Y = M1Y1 + M2Y2 → Y' = M1Y1' + M2Y2' → Y'' = M1Y1'' + M2Y2''
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = M1Y1'' + M2Y2'' + A(X) M1Y1' + M2Y2' + B(X) M1Y1 + M2Y2 = 
 
= M1 Y1'' + A(X)Y1' + B X Y1 + M2 Y1'' + A(X)Y1' + B X Y1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como y1 e y2 são soluções, as equações dentro dos parênteses serão nulas. Assim:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = M1. 0 + M2. 0 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, y(x) será também solução da equação diferencial dada.
O TEOREMA NOS MOSTRA SE CONHECEMOS DUAS SOLUÇÕES
PARTICULARES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL. PODEMOS CRIAR UMA
FAMÍLIA DE SOLUÇÕES FAZENDO UMA COMBINAÇÃO LINEAR ENTRE
AS SOLUÇÕES CONHECIDAS.
EXEMPLO
Seja a equação diferencial y'' - 3y' - 4y = 0. Descubra algumas soluções para esta equação diferencial sabendo que y = e - x e e y = e4x são
soluções da equação diferencial.
Vamos inicialmente verificar se as funções dadas são realmente solução da equação diferencial.
Se
Y = E - X → Y' = - E - X → Y'' = E - X
( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Y'' - 3Y' - 4Y = E - X - 3( - E - X - 4E - X = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo solução:
Se
Y = E4X → Y' = 4E4X → Y'' = 16E4X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Y'' - 3Y' - 4Y = 16E4X - 3 4E4X - 4E4X = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo solução.
Pelo teorema estudado, qualquer função que é combinação linear das duas soluções também será solução da equação. Assim: 
y = m1e
- x + m2e
4x, com m1 e m2 reais.
Assim:
y3 = 2e
- x - e4x é uma possível solução.
y4 =
4 + 3e5x
ex
 também é uma possível solução, pois
Y4 =
4 + 3E5X
EX
=
4
EX
+ 3
E5X
EX
= 4E - X + 3E4X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
O princípio da superposição só é válido para equações diferenciais lineares homogêneas. No caso de uma equação linear não homogênea, ou
até mesmo de uma equação diferencial não linear, o teorema pode falhar.
TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
HOMOGÊNEA
)
( )
Agora vamos ver um teorema mais poderoso ainda. A demonstração deste teorema é bastante complexa e não será objeto deste módulo.
O TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
HOMOGÊNEA NOS DIZ QUE A SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL LINEAR DE SEGUNDA ORDEM PODE SER OBTIDA
ATRAVÉS DE UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE DUAS SOLUÇÕES
LINEARMENTE INDEPENDENTES.
Este teorema é mais poderoso, pois nos permite não obter apenas um conjunto de soluções, mas definir uma solução geral para equação
diferencial, isso é, uma solução que englobe todas as soluções possíveis.
Inicialmente, vamos definir o que são soluções linearmente independentes. Duas soluções são linearmente independentes se uma não pode
ser obtida através da outra por uma multiplicação por um número real.
Por exemplo, y1 = 3x e y2 = - 2x são linearmente dependentes, pois, a partir de uma solução, obtemos a outra multiplicando apenas por um
número real. Agora y1 = x
2 e y2 = 2x são linearmente independentes, uma vez que não existe nenhum número real que possamos multiplicar
na primeira para obter a segunda e vice-versa.
 ATENÇÃO
Uma equação diferencial linear de segunda ordem sempre terá duas funções linearmente independentes que serão solução da equação. Estas
soluções são denominadas de funções ou soluções fundamentais.
Vamos agora descrever o teorema de uma forma precisa.
SE Y1 X E Y2 X SÃO SOLUÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES
DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA:
 
D2Y
DX2
+ A(X)
DY
DX + B(X)Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ENTÃO, COM M1 E M2 REAIS, SERÁ A SOLUÇÃO GERAL DESTA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL:
 
( ) ( )
Y(X) = M1Y1(X) + M2Y2 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se que y1 e y2 sempre vão existir. Temos apenas que descobrir quem elas são. As funções y1 e y2 serão as funções fundamentais
desta equação e, através delas, será definida uma solução geral que contém todas as soluções da equação diferencial fornecida.
EXEMPLO
Seja a equação diferencial 3y'' = 12y. Sabendo que e2x e e - 2x são soluções da equação, determine uma solução particular que atenda 
y(0) = 2 e y'(0) = 0.
A EDO fornecida é linear e homogênea.
Repare que as soluções dadas são linearmente independentes. Assim, podemos montar a solução geral na forma:
y = ae2x + be - 2x, a e b reais
Como os coeficientes são constantes, podemos garantir pelo teorema da existência e unicidade que o problema de valor inicial sempre terá
solução única.
Substituindo as duas condições:
X = 0 → Y = AE0 + BE0 = A + B = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se y = ae2x + be - 2x → y' = 2ae2x - 2be - 2x
X = 0 → Y' = 2AE0 - 2BE0 = 2A - 2B = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim 
a + b = 2
a - b = 0 , então a = b = 1.
A solução particular será y = e2x + e - 2x.
Neste módulo, estudamos teoremas que nos garantem e nos mostram como definir soluções gerais para equação diferencial linear de segunda
ordem. No próximo módulo, vamos estudar métodos que nos permitam resolver e obter a solução de equações diferenciais de segunda ordem
homogêneas.
Agora, você está pronto para fixar o conteúdo através dos exercícios.
TEORIA NA PRÁTICA
Um determinado problema prático foi modelado através de uma equação diferencial denominada de equação de Euler de segunda ordem:
2x2y'' - 4xy' - 8y = 0
Determine:
( )
{
a) Para que intervalo podemos garantir que sempre existirá uma solução única para um problema de valor inicial para esta equação.
b) Sabendo que y =
1
x e y = x
4 são solução desta EDO, determine a solução geral da equação dada.
c) Determine uma solução particular que atenda y(1) = 2 e y'(1) = 3.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDA ORDEM
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Solucionar as equações lineares de segunda ordem homogêneas
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM
HOMOGÊNEA
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, apontamos alguns teoremas que garantem a existência e unicidade de uma solução para equação diferencial linear de
segunda ordem. Também obtivemos uma solução geral a partir do conhecimento de soluções particulares da equação.
Neste módulo, apresentaremos métodos de resolução da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES HOMOGÊNEAS DE
COEFICIENTES CONSTANTES
O primeiro passo é a revisão dos conceitos de coeficientes constantes e de coeficientes variáveis de uma equação diferencial para
reconhecermos em que caso está a equação estudada.
Os coeficientes da equação diferencial são as funções que multiplicam a variável independente e/ou suas derivadas. Se os coeficientes são
todos números reais, a equação tem coeficientes constantes. Caso algum destes termos dependa da variável independente, a equação
diferencial será de coeficientes variáveis.
Veja os exemplos:
3y'' - 2y' + 3y = 0 é uma equação linear de coeficientes constantes.

y'' - y' + 8y = cosx é uma equação linear de coeficientes constantes.

y'' - xy' + 8x y = 4 é uma equação linear de coeficientes variáveis.

y'' - exy' + 8lnx y = x2 é uma equação linear de coeficientes variáveis.
Neste item, o método que estudaremos é aplicado em uma equação linear de coeficientes constantes homogênea. Estas equações serão do
tipo ay'' + by' + cy = 0, com a, b e c reais.
Pelo teoremada existência e unicidade, como as funções coeficientes serão constantes, sendo contínuas para todo x, as soluções da EDO
serão sempre válidas, e não é necessário definir o intervalo de sua solução.
Da mesma forma, podemos concluir que:
UMA EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA DE
COEFICIENTES CONSTANTES SEMPRE TERÁ DUAS SOLUÇÕES
LINEARMENTE INDEPENDENTES Y1 E Y2, APLICÁVEIS EM QUALQUER
INTERVALO. SUA SOLUÇÃO GERAL PODERÁ SER EXPRESSA COMO 
Y = M1Y1 + M2Y2, COM M1 E M2 REAIS.
O problema agora se restringe a obter as soluções y1 e y2 para uma equação do tipo:
AY'' + BY' + CY = 0, COM A, B E C REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se analisarmos os possíveis candidatos, acharemos alguns tipos de funções que atendem à equação. Repare que estamos procurando uma
função em que uma constante vezes sua segunda derivada, mais uma outra constante vezes sua primeira derivada, mais uma constante vezes
a função resulte em zero.
Uma função que atende a este caso é a função exponencial y = ekx, k real.
Veja, se
Y = EKX → Y' = KEKX → Y'' = K2EKX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, substituindo:
AK2EKX + BKEKX + CEKX = 0 → EKX AK2 + BK + C = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim a função y = ekx será solução se e somente se:
 
AK2 + BK + C = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESTA EQUAÇÃO É DENOMINADA DE EQUAÇÃO AUXILIAR OU EQUAÇÃO
CARACTERÍSTICA.
Será uma equação do segundo grau que pode obter três possibilidades quanto as suas raízes: duas raízes reais e diferentes, duas raízes reais
iguais ou duas raízes complexas conjugadas.
Assim, são obtidas duas raízes reais e diferentes obtidas pela equação:
( )
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar cada caso. Observe que, obtendo estas duas soluções, elas serão linearmente independentes e poderão definir a solução geral
da equação diferencial.
Caso 1: raízes reais e diferentes k1 ≠ k2
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for maior ou igual a zero:
∆ = B2 - 4AC > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para este caso, as duas funções fundamentais soluções da equação serão as funções ek1x e ek2x, onde k1 e k2 são as raízes reais da equação
característica.
Estas funções serão linearmente independentes. Assim, a solução geral da equação diferencial será dada por:
Y = M1E
K1X + M2E
K2X, COM M1 E M2 REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso 2: raízes reais e iguais k1 = k2
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for igual a zero:
∆ = B2 - 4AC = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para este caso, as duas soluções fundamentais serão ekx e xekx , onde k é a raiz real da equação característica. As duas funções serão
linearmente independentes. A solução geral da equação diferencial será dada por:
Y = M1EKX + M2XEKX, COM M1 E M2 REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso 3: raízes complexas (k = α ± jβ)
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for menor que zero:
∆ = B2 - 4AC < 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, as duas raízes serão números complexos conjugados k1 = α + jβ e k2 = α - jβ.
( )
( )
Neste caso, as duas funções fundamentais serão eαxcos βx e eαxsen βx , onde α ± jβ são as raízes complexas da equação característica.
As duas funções serão linearmente independentes. A solução geral da equação diferencial será dada por:
y = m1e
αxcos βx e m2e
αxsen βx , com m1 e m2 reais
Para o caso particular em que as raízes são imaginários puros, isto é, α = 0, a solução geral será dada por:
y = m1 cos βx + m2sen βx , com m1 e m2 reais
Vamos ver um exemplo para cada caso:
EXEMPLO 1
Determine a solução geral da equação diferencial 2y '' + 2y ' - 4y = 0.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
2Y'' + 2Y' - 4Y = 0 → 2K2 + 2K - 4 = 0 → K2 + K - 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante da equação será
∆ = 12 – 4. 1. ( - 2) = 9 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, terá duas raízes reais e distintas.
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A =
- 1 ±√9
2 =
- 1 ± 3
2 =
1
-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções fundamentais serão ex e e - 2x.
Portanto, a solução geral será dada por:
y = m1e
x + m2e
- 2x
EXEMPLO 2
Determine a solução geral da equação diferencial y '' - 6y ' + 9y = 0.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{
Y'' - 6Y' + 9Y = 0 → K2 - 6K + 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante da equação será ∆ = 62 – 4. 1. 9 = 0.
Logo, terá uma raiz real dupla.
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A =
6 ±√0
2 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções fundamentais serão e3x e xe3x.
Portanto, a solução geral será dada por:
y = m1e
x + m2xe
3x
Uma observação importante: as condições iniciais ou as condições de contorno devem ser aplicadas à solução geral da EDO, isso é, à solução
homogênea mais solução particular.
EXEMPLO 3
Determine a solução da equação diferencial y '' - 2y ' + 5y = 0 que atenda às condições y(0) = 2 e y'(0) = 2 
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
Y'' - 2Y' + 5Y = 0 → K2 - 2K + 5 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante da equação será
∆ = – 2)2– 4. 1. 5 = – 16 < 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, terá duas raízes complexas.
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A =
2 ±√ - 16
2 =
2 ± 4J
2 = 1 ± 2J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
(
As funções fundamentais serão excos(2x) e exsen 2x . Veja que α = 1 e β = 2.
Portanto, a solução geral será dada por:
Y = M1E
XCOS(2X) + M2E
XSEN 2X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando as condições para obter a solução particular:
X = 0 → Y = M1. 1. COS(0) + M2. 1. SEN(0) = M1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
Y = M1E
XCOS(2X) + M2E
XSEN(2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
então:
Y' = M1EXCOS(2X) - 2M1EXSEN(2X) + M2EXSEN(2X) + 2M2EXCOS(2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
X = 0 → Y' = M1. 1. COS(0) - 2M1. 1. SEN(0) + M2. 1. SEN(0) + 2M2. 1. COS(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y' = M1 + 2M2 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como m1 = 2, então
2M2 = 8 – 2 = 6 E M2 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a solução particular será
( )
( )
Y = 2EXCOS(2X) + 3EXSEN 2X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA COEFICIENTES VARIÁVEIS NÃO EXISTE MÉTODOS SIMPLES DE
RESOLUÇÃO, A NÃO SER EM CASOS PARTICULARES.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES HOMOGÊNEAS DE
COEFICIENTES VARIÁVEIS
Como já informado, não existe um método simples para obtenção de solução de uma equação linear homogênea de coeficientes variáveis.
Uma primeira formaé tentar verificar por observação duas soluções independentes da equação diferencial. Se y1 e y2 são soluções
independentes da equação diferencial, a solução geral será dada por y(x) = m1y1(x) + m2 y2 x , com m1 e m2 reais.
Neste tópico, veremos o caso de algumas equações particulares. O primeiro caso será para equação do tipo y '' + A(x)y' = 0, isto é, não existe
termo B(x)y.
Faremos uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será v(x) = y'. Assim:
v ' + A(x)v = 0
Então:
V' = - A(X)V →
V'
V = - A(X) → ∫
1
V DV = - ∫A(X)DX + K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LN|V| = - ∫A(X)DX + K → V = CE - ∫ A ( X ) DX, ONDE C É UM NÚMERO REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como y' = v, então:
y = C∫e - ∫ A ( u ) dudx
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação y '' -
1
x y
' = 0, para x > 0.
Faremos uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será v(x) = y’. Assim:
v ' -
1
x v = 0
Então:
( )
( )
V' =
1
X V →
V'
V =
1
X → ∫
1
V DV = ∫
1
X DX + K = LN X + K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim ln|v| = ln(x) + k
Dessa forma:
v = Cx, onde C é um número real
Como y' = v, então:
y = C∫x dx = C x2 + K, C e K reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outro método estudado será para um tipo de equação diferencial ordinária linear homogênea com constante variáveis denominada equação de
Euler.
A equação de Euler terá a forma x2y'' + bxy' + cy = 0.
Em sua forma padrão, y '' +
b
x y
' +
c
x2
= 0, para x diferente de zero.
Limitaremos o intervalo de solução da equação de Euler para x > 0 ou para x < 0. Escolheremos o intervalo x > 0.
Para resolver a esta equação, vamos usar uma mudança de variável de forma que x = et. Portanto, lnx = t
Assim:
Y' =
DY
DX =
DY
DT
DT
DX =
1
X
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y'' =
D2Y
DX2
=
D
DX
DY
DX =
D
DX
1
X
DY
DT =
1
X
D
DX
DY
DT -
1
X2
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y'' =
1
X
D
DT
DY
DT
DT
DX -
1
X2
DY
DT =
1
X
D
DT
DY
DT
1
X -
1
X2
DY
DT =
1
X2
D2Y
DT2
-
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
X2
D2Y
DT2
-
DY
DT +
B
X
1
X
DY
DT +
C
X2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D2Y
DT2
+ (B - 1)
DY
DT + CY = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Repare que foi transformada em uma equação de coeficientes constantes, e pode ser resolvida pelo método estudado anteriormente.
EXEMPLO
Determine a solução da equação diferencial x2y '' + 3xy ' + y = 0 para x > 0.
Observando a equação, podemos verificar que trata-se de equação de Euler.
Colocando na forma padrão y '' +
3
x y
' +
1
x2
= 0
Fazendo a substituição de variável x = et
Y' =
1
X
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y'' =
1
X2
D2Y
DT2
-
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
1
X2
D2Y
DT2
-
DY
DT +
3
X
1
X
DY
DT +
1
X2
= 0
( ) ( )
( )
( ) ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D2Y
DT2
+ (3 - 1)
DY
DT + Y = 0 →
D2Y
DT2
+ 2
DY
DT + Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformou-se em uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes.
A equação característica será
X2 + 2X + 1 = 0 → X = - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que é uma raiz real dupla.
Assim, y = k1e
- t + k2te
- t
Mas t = lnx
Y = K1E - LNX + K2(LNX)E - LNX = K1ELNX
- 1
+ K2(LNX)ELNX
- 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y =
k1
x + k2
1
x ln x, k1 e k2 reais
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o movimento de uma mola com um corpo de massa m preso em sua extremidade que está sujeita a uma força de atrito. Esta força
de resistência é denominada força de amortecimento.
Pode-se modelar o movimento através da equação: m
d2x
dx2
+ p
dx
dt + kx = 0
K é a constante da mola e p é a constante de amortecimento. O movimento foi modelado através da seguinte equação:
2
d2x
dx2
+ 8
dx
dt + 26x = 0
Determine a equação do movimento da mola.
RESOLUÇÃO
EDO LINEAR HOMOGÊNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Solucionar as equações lineares de segunda ordem não homogêneas
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM NÃO
HOMOGÊNEA
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, estudamos o método de resolução de equações lineares homogêneas.
Neste módulo, estudaremos o método para resolução de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares não homogêneas.
A solução geral da equação não homogênea é definida pela soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Neste módulo, também abordaremos dois métodos para obter a equação particular para uma equação diferencial não homogênea: método dos
parâmetros a serem determinados e o método das variações dos parâmetros.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS
O primeiro ponto importante é que a solução da equação não homogênea está diretamente relacionada à solução da equação homogênea
correspondente, que denominamos equação homogênea associada.
Para solução da equação não homogênea, o primeiro passo é resolver a equação associada y '' + A x y ' + B x y = 0. Esta solução, que pode
ser obtida pelos métodos estudados no módulo anterior, é denominada solução homogênea ou complementar.
Para complementar esta solução de forma que atenda à equação diferencial não homogênea utilizaremos o teorema da solução geral da EDO
linear não homogênea.
TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EDO LINEAR NÃO
HOMOGÊNEA
SE YP É UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
NÃO HOMOGÊNEA
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = C X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COM A(X), B(X) E C(X), AS FUNÇÕES CONTÍNUAS EM UM INTERVALO 
XA < X0 < XBE YH COMPÕEM A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO
HOMOGÊNEA ASSOCIADA, ENTÃO, A SOLUÇÃO GERAL PARA ESSA
EQUAÇÃO NÃO HOMOGÊNEA NESTE INTERVALO É:
Y = YH + YP = M1Y1 + M2Y2 + YP , M1 E M2 REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ONDE Y1 E Y2 SÃO SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DA EQUAÇÃO
HOMOGÊNEA.
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
( )
Desta forma, basta obter uma solução particular, mesmo por inspeção e juntar à solução homogênea associada para chegar à solução geral
para equação não homogênea.
 ATENÇÃO
Um ponto importante: existem várias soluções particulares, qualquer uma pode ser usada na composição da solução geral
EXEMPLO
Determinar a solução da equação y'' – y' = 8.
Necessitamos resolver inicialmente a equação homogênea associada.
Y'' - Y' = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos a equação característica
K2 - K = 0 → K K - 1 = 0 → K = 0 OU K = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tem-se duas raízes reais e diferentes. Portanto, a solução da equação homogênea será:
YH = AE0X + BEX = A + BEX, A E B REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, é necessário definir uma solução particular que atenda a EDO não homogênea.
Por inspeção, necessitamos de uma função em que a diferença da segunda e primeira derivadas resulte no número 8. Vamos tentar a função 
yP = am + nx + p, m, n e p reais.
Para tentar encontrar os valores da constante, substituiremos na EDO.
Se
YP = MX
2 + NX + P →YP' = 2MX + N → YP'' = 2M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
( )
Y'' – Y' = 2M - (2MX + N) = - 2MX + (2M - N) = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na comparação termo a termo, temos:
2M = 0 → M = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2M – N = 8 → N = - 8 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim: yp = - 8x
Repare que se
YP = - 8X → YP' = - 8 → YP'' = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto: yp'' - yp' = 8, satisfazendo a EDO não homogênea.
Obtivemos a solução geral da equação não homogênea:
Y = YH + YP = A + BE
X - 8X, A E B REAIS
 ATENÇÃO
Outro ponto importante é que, quando o termo não homogêneo for uma combinação de vários termos, podemos usar o princípio da
superposição, determinar uma solução particular para cada termo e usar a soma deles como a solução particular a ser utilizada.
Em outras palavras, se yp1 é a solução particular para equação diferencial:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = C1 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E se yp2 é a solução particular para equação diferencial:
( )
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = C2 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então yp = yp1 + yp2 é solução particular para equação diferencial:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = C1(X) + C2 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usaremos este teorema na resolução de um exemplo do próximo item.
A obtenção da solução particular por inspeção nem sempre é simples. Existem métodos que ajudam a obtenção de uma solução particular para
a equação não homogênea, os quais veremos a seguir.
MÉTODO DOS PARÂMETROS A SEREM DETERMINADOS
Como estudado, a solução geral de uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem combina a solução geral da equação
homogênea associada a uma solução particular.
A solução particular pode, às vezes, ser obtida por pura inspeção, mas este procedimento nem sempre é simples. Existe um método
denominado parâmetros a serem determinados, ou parâmetros indeterminados, que permite obter a solução particular para alguns tipos de
equações não homogêneas.
O PRIMEIRO PASSO DESTE MÉTODO É FAZER UMA HIPÓTESE INICIAL
COMO SOLUÇÃO PARTICULAR. ESTA SOLUÇÃO PARTICULAR ENVOLVE
ALGUNS PARÂMETROS NUMÉRICOS A SEREM DETERMINADOS. TAIS
PARÂMETROS SERÃO DETERMINADOS DE FORMA QUE A SOLUÇÃO
ATENDA À SOLUÇÃO NÃO HOMOGÊNEA.
Este método deve ser utilizado para uma equação do tipo y '' + A(x)y ' + B(x)y = C x quando C(x) for do tipo ou um produto finito das seguintes
funções:
UMA CONSTANTE REAL

UM POLINÔMIO

( )
( )
( )
UMA EXPONENCIAL

UMA FUNÇÃO DO TIPO COS(KX) OU SEN(KX)
Repare que é bem semelhante à forma por intuição no exemplo do item anterior.
Pode-se definir uma forma geral para o termo não homogêneo no qual podemos usar este método epxPn(x) cos kx e/ou e
pxPn(x) sen kx ,
onde Pn(x) é um polinômio de grau n, k e p números reais e n é um inteiro não negativo.
O método, portanto, consiste em substituir o termo em sua forma geral na equação diferencial e obter os valores dos parâmetros. Veja os
exemplos a seguir.
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação y'' + 3y' + 2y = x2.
Inicialmente, necessitamos achar a solução para equação homogênea associada:
y'' + 3 y' + 2y = 0
Trata-se de uma EDO linear de coeficientes constantes. Resolvendo a equação característica:
k2 + 3k + 2 = 0
Assim:
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A =
- 3 ±√32 - 4.1 . 2
2 =
- 3 ± 1
2 =
-1
-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a solução da equação homogênea será:
yH = ae
- x + be - 2x, a e b reais
Agora necessitamos de uma solução particular para atender a equação diferencial não homogênea.
A forma geral a ser utilizada será yP = e
pxPn(x) cos kx .
Observe que no termo não homogêneo só temos um polinômio. Assim, tanto a parte exponencial como a parte do cos(x) podem ser retiradas.
Como o termo homogêneo é um polinômio, x2, vamos tentar como solução particular um polinômio também. Por hipótese tentaremos 
yP = mx
2 + nx + p, m, n e p reais
No caso, quando o termo não homogêneo é um polinômio, devemos nos preocupar em não definirmos Pn x com número insuficiente de
termo. De forma contrária, ter número excedente de termo não representa problema, pois o próprio processo matemático irá zerar os termos em
excesso, como pode ser visto no exemplo realizado no item anterior.
Para tentar encontrar os valores da constante, substituiremos na EDO.
Se
( ) ( )
{
( )
( )
YP = MX2 + NX + P → YP' = 2MX + N → YP'' = 2M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Y'' + 3Y' + 2Y = 2M + 3 2MX + N + 2 MX2 + NX + P =
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
= 2MX2 + X(6M + 2N) + (2M + 3N + 2P) = X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na comparação termo a termo, temos:
2M = 1 → M =
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6M + 2N = 0 → 3M + N = 0 → N = - 3M = -
3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2M + 3N + 2P = 0 → P = - M -
3
2 N = -
1
2 -
3
2 -
3
2 = -
1
2 +
9
4 =
7
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O polinômio obtido foi yP =
1
2 x
2 -
3
2 x +
7
4 .
Teste novamente na equação diferencial e chegará ao resultado será x2.
Portanto, a solução geral da equação diferencial não homogênea será:
Y = YH + YP = AE - X + BE - 2X +
1
2 X
2 -
3
2 X +
7
4 , A E B REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
( )
Quando o termo não homogêneo for uma soma de funções, devemos usar o princípio da superposição estudado no item anterior. Vide o
exemplo a seguir.
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação y '' + 3y ' + 2y = x2 + cosx.
A equação homogênea associada é y '' + 3y ' + 2y = 0
A solução da equação homogênea foi calculada no exemplo anterior dada por:
yH = ae
- x + be - 2x, a e b reais
Agora o termo não homogêneo é composto por duas funções, x2 e cos (x).
A solução particular que atende a parte do x2 também já foi calculada no exemplo anterior.
yP1 =
1
2 x
2 -
3
2 x +
7
4
Precisamos obter a solução particular que atende ao termo não homogêneo cos (x)
Analisando o termo geral e como só se tem termo em cos (x), vamos tentar a função yP2 = mcos(x) + n sen x , m e n reais.
Se:
YP2 = MCOS(X) + N SEN(X) → YP2' = - MSEN(X) + NCOS(X) → YP2'' = - MCOS(X) - NSEN X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
-MCOS(X) - NSEN(X) + 3(-MSEN(X) + NCOS(X)) + 2(MCOS(X) + N SEN(X)) =
= (-M + 3N + 2M)COS(X) + (-N - 3M + 2N)SEN X = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
-M + 3N + 2M = 3N + M = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
-N - 3M + 2N = N - 3M = 0 → N = 3M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
( )
( )
3N + M = 1 → 3(3M) + M = 10M = 1 → M = 1/10 → N = 3/10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma
YP2 =
1
10 COS(X) +
3
10 SEN X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teste novamente na equação diferencial e verá que o resultado será cos(x).
De acordo com o teorema da superposição:
Y = YH + YP1 + YP2 = AE
- X + BE - 2X +
1
2 X
2 -
3
2 X +
7
4 +
1
10 COS(X) +
3
10 SEN X , A E B REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalO método dos parâmetros a serem determinados terá uma limitação quando a função C(x) for uma solução da equação homogênea associada.
Neste caso, o método sofre uma alteração: a forma da solução particular deve ser multiplicada por x. Caso xC(x) também seja solução da
equação homogênea, devemos multiplicar por x2.
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação diferencial y '' - 4y = e2x.
Agora veremos o método denominado método das variações dos parâmetros.
MÉTODO DAS VARIAÇÕES DOS PARÂMETROS
O método anterior geralmente é utilizado no caso de uma equação linear de coeficientes constantes e quando os termos não homogêneos
tiverem a forma epxPn(x) cos kx ou e
kxPn(x) sen kx .
Um outro método que pode ser empregado é o método das variações dos parâmetros. Este método também é denominado método de
Lagrange, que pode ser empregado em equações com coeficientes constantes ou variáveis.
ENTRETANTO, A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA ASSOCIADA À
EDO NÃO HOMOGÊNEA ANALISADA DEVE SER CONHECIDA
PREVIAMENTE.
No caso das equações de coeficientes constantes, já conhecemos método para obter a solução da equação homogênea. Para o caso das
equações lineares com coeficientes variáveis, o conhecimento desta solução homogênea pode ser mais complexo.
Retornando à EDO linear não homogênea:
( )
( )
( ) ( )
D2Y
DX2
+ A(X)
DY
DX + B(X)Y = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com A(x), B(x) e C(x) como funções contínuas no intervalo de interesse.
Considere a equação homogênea associada 
d2y
dx2
+ A(x)
dy
dx + B(x)y = 0, com y1 e y2 duas soluções linearmente independentes desta equação.
Assim a solução da equação homogênea será dada por:
YH = M1Y1 + M2Y2, COM M1 E M2 REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será do tipo:
YP = U1(X)Y1 + U2 X Y2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde u1 e u2 são duas funções arbitrárias.
Como as funções são arbitrárias, impomos às funções duas condições:
Atender a equação diferencial.

Atender uma solução imposta pelo método de u1'(x)y1 + u2'(x)y2 = 0.
Assim:
Se
YP = U1(X)Y1 + U2(X)Y2 → YP' = U1'Y1 + U1Y1' + U2'Y2 + U2Y2'
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a segunda condição, teremos yp' = u1y1' + u2y2'.
Calculando a segunda derivada, yp'' = u1'y1' + u1y1'' + u2'y2' + u2y2''.
Substituindo na equação diferencial:
U1'Y1' + U1Y1'' + U2'Y2' + U2Y2'' + A X U1Y1' + U2Y2' + B X U1Y1 + U2Y2 = C X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reorganizando:
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
U1 Y1'' + A X BY1' + B X Y1 + U2 Y2'' + A X Y2' + B X Y2 + U1'Y1' + U2'Y2' = C X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, como y1 e y2 são soluções da equação complementar, os dois primeiros parênteses são nulos. Dessa forma:
U1'Y1' + U2'Y2' = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, teremos que resolver o seguinte sistema para obter as funções arbitrárias:
U1'Y1 + U2'Y2 = 0
U1'Y1' + U2'Y2' = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter u1' e u2', basta integrar para obter u1 e u2 e, então, obter a solução particular desejada.
EXEMPLO
Determine a solução geral para equação diferencial y '' - 2y ' + y =
ex
x2
 , com x > 0.
A solução da parte homogênea será dada pela função yh = ay1 + by2 = ae
x + bxex, a e b reais.
Você já sabe calcular esta solução da homogênea associada? Faça como exercício.
Vamos agora nos concentrar na obtenção da solução particular.
Ela será do tipo yP = u1(x)y1 + u2(x)y2.
Pelo método, necessitamos resolver o sistema a seguir para obter as funções auxiliares u1 e u2.
U1'Y1 + U2'Y2 = 0
U1'Y1' + U2'Y2' = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Y1 = EX → Y1' = EX E Y2 = XEX → Y2' = EX + XEX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )
{
{
Além disso
C(X) =
EX
X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
U1'Y1 + U2'Y2 = 0
U1'Y1' + U2'Y2' = C(X)
→
U1'E
X + U2'XEX = 0
U1'E
X + U2' E
X + XEX =
EX
X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
→
U1'(X) + U2'(X)X = 0
U1' + U2' 1 + X =
1
X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da primeira equação u1'(x) = - xu2'(x).
Substituindo na segunda:
U1' + U2'(1 + X) =
1
X2
→ U1' -
1
X U1'(1 + X) =
1
X2
→ -
1
X U1' =
1
X2
→ U1' = -
1
X → U2' =
1
X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
U1' = -
1
X → U1 = ∫-
1
X DX = - LN X E U2' =
1
X2
→ U2 = ∫
1
X2
DX = -
1
X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a solução particular será:
YP = U1(X)Y1 + U2(X)Y2 = - LN(X) EX -
1
X XE
X = LN
1
X E
X - EX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{ { ( )
{ ( )
( )
( ) ( )
Assim:
Y = YH + YP = AEX + BXEX + LN
1
X E
X - EX, A E B REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
A corrente elétrica em um circuito RLC da figura a seguir pode ser obtida através de uma equação diferencial de segunda ordem.
O modelo utilizado é:
L
d2i
dt2
+ R
di
dt +
1
C i = v' t
Determine a função geral para corrente elétrica do circuito com os seguintes dados:
R=40Ω
C=1600 μF
L = 1 H
v(t)=100 cos(10t)
Sabendo que t = 0, temos i = 0 e t = πs se tem i = 10 A.
RESOLUÇÃO
EDO LINEAR NÃO HOMOGÊNEA
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
( )
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito das equações diferenciais de segunda ordem.
No primeiro módulo, estudamos os principais teoremas relacionados à resolução de equações diferenciais de segunda ordem, como o teorema
de soluções gerais, o teorema da existência e unicidade. o teorema da superposição e o teorema da solução geral da equação diferencial linear
homogênea.
Em seguida, apresentamos métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas de coeficientes
constantes e variáveis.
Por fim, no terceiro módulo, abordamos os métodos para equações não homogêneas como teorema da solução geral da EDO linear não
homogênea e os métodos dos parâmetros a serem determinados e das variações dos parâmetros.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações Diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012. cap. 3, p. 99-186.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 11, p. 226-277, cap.13, p.335-362.
STEWART, J. Cálculo, Volume 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 17, p. 1137-1163.
EXPLORE+
Para compreender um pouco mais sobre as aplicações das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, leia o artigo científico
Determinação de funções aproximadas para a solução numérica de uma equação diferencial ordinária.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);