Distribuição Normal e Probabilidade

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
APLICADA À ENGENHARIA
MODELO CONTÍNUO DE PROBABILIDADE – 
NORMAL
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Olá!
Nesta aula, aprenderemos a trabalhar e aplicar o modelo contínuo de probabilidade: a Distribuição Normal.
Estudaremos como consultar os valores de probabilidades em uma Tabela de Curva Normal e a usar as funções
do Excel para estes cálculos.
Objetivos
1. Aplicar o modelo contínuo de probabilidade (Distribuição Normal);
2. Resolver problemas de probabilidade que envolvem a Distribuição Normal;
3. Interpretar o gráfico da Distribuição Normal.
1 Distribuição Normal
Conforme vimos anteriormente, uma variável pode ser categórica (qualitativa) ou numérica (quantitativa).
Dentre as variáveis numéricas, podemos encontrar as discretas e as contínuas.
O foco da nossa última aula está nas variáveis contínuas, que, como sabemos, são aquelas obtidas por meio de
medições, podendo gerar infinitos números ou valores em intervalos.
Como exemplos de experimentos que geram variáveis aleatórias contínuas, podemos citar o peso de 100
pessoas, o tempo entre as chegadas de carros de corrida, as horas trabalhadas por dia ou a despesa com
alimentação ao longo de um ano.
Vimos nas últimas aulas alguns modelos de distribuição discreta e agora veremos um modelo de distribuição
contínua de probabilidade, a , também conhecida por Distribuição Gaussiana.Distribuição Normal
A é a base da Inferência Estatística e pode descrever diversos processos e fenômenos,Distribuição Normal 
sendo também utilizada para aproximar algumas distribuições discretas.
Vamos lá!
2 Probabilidade de uma variável aleatória contínua
FUNÇÃO DENSIDADE:
A função densidade de probabilidade correlaciona cada valor x à sua frequência correspondente f(x):
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CÁLCULO DA PROBABILIDADE:
Como x varia de um valor a até um valor b, a integral de f(x) em relação a x, variando de a até b, é igual a área
total sob a curva: ∫ f(x)dx = 1 para f(x) ≥ 0 e a ≤ x ≤ b.
A probabilidade de uma variável contínua é dada pela área sob a curva, conforme ilustrado na figura abaixo:
3 Probabilidade de uma variável aleatória contínua - A 
curva normal
A função densidade que define a curva da Distribuição Normal é dada por:
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A seguir, iremos analisar cada parte da função.
Função de densidade da Normal
A curva característica da Distribuição Normal tem forma de sino e é simétrica em relação à média, que se
encontra na mesma posição que a moda e a mediana.
Desvio-padrão e a média
À direita da posição central, onde é marcado o valor da média, encontra-se o desvio-padrão somado à mesma, e à
esquerda, encontra-se o desvio-padrão subtraído da média.
Se a média aumentar ou diminuir, vemos a curva transladando (“andando”) respectivamente para a esquerda ou
para a direita.
Já o desvio-padrão é responsável pelo espalhamento da curva. Se o valor do desvio-padrão aumentar, a curva fica
mais aberta, caso contrário, mais fechada.
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Variação da média e do desvio-padrão sobre a curva normal
Podemos observar na figura os efeitos da variação da média e do desvio-padrão sobre a curva normal.
As curvas A e B representam distribuições com a mesma média, pois estão localizadas exatamente no mesmo
ponto do eixo x, e essa média é menor do que a da distribuição representada pela curva C, uma vez que a média
de C está depois do ponto onde estão A e B.
Já o desvio-padrão de A e C são iguais, pois a abertura das curvas é a mesma em ambos os casos e, ao mesmo
tempo, maior do que da curva B, indicando que o desvio-padrão da distribuição representada pela curva B é
menor do que das outras duas.
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4 Transformada Z
Você deve estar se perguntando: como é possível existir uma tabela que contenha os valores dessas
probabilidades, pois, se para cada par de valores de média e desvio-padrão, existe uma curva diferente. Assim,
teriam que existir infinitas tabelas com diferentes resultados para a área sob cada curva, não é mesmo?
A solução encontrada para esse problema foi a utilização de uma fórmula para transformar qualquer curva
normal em uma curva normal padronizada, com média igual a zero e desvio-padrão igual a 1, resultando em uma
única tabela com as probabilidades referentes à essa distribuição padronizada.
Damos o nome de Transformada Z a esta fórmula para se calcular o valor de Z.
Mas, o que isso significa? Veremos...
Para qualquer valor de x, média e desvio-padrão, a informação resultante de Z nos diz quantos desvios-padrões
existem entre a média e o valor de x.
Saiba mais
Como vimos, a probabilidade de uma distribuição contínua é obtida pelo cálculo da área sob a
curva definida por sua função densidade, cálculo esse efetuado com auxílio de integrais.
Para facilitar o processo, foi criada uma tabela em que pode-se encontrar valores já calculados
para essas probabilidades.
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RESUMO
A partir de agora, trabalharemos com todos os exemplos sempre partido de uma Distribuição Normal com média
5 e desvio-padrão 10.
Vamos entender como essa fórmula deve ser utilizada através de um exemplo apresentado a seguir.
Valor entre 5 e 6,2
Imagine que você tem uma Distribuição Normal, cuja média seja igual a 5 e desvio-padrão igual a 10, e seja
necessário calcular a probabilidade de se encontrar um valor entre 5 e 6,2.
Ao se substituir 6,2 no lugar de x, 5 no lugar de µ e 10 no lugar de σ, vamos calcular o valor de z:
A nova área a ser calculada estará compreendida entre 0 e 0,12, mas, na verdade, não precisará ser calculada,
pois o resultado já se encontra na tabela.
O valor dessa probabilidade pode ser encontrado na tabela, como observamos, a seguir:
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O valor encontrado para z foi 0,12.
1. Esse número deve ser desmembrado, fazendo-se um corte após o primeiro algarismo à direita da vírgula: 0,12
= 0,1 + 0,02.
2. Pega-se, então, a primeira parte do número (neste caso o 0,1) e percorre-se a primeira coluna até encontra-lo. 
3. Ao chegar na linha onde está localizado o 0,1, caminha-se sobre a mesma até chegar na direção do 0,02. 
4. O valor aí encontrado representa a área sob a curva entre 0 e 0,12, ou a probabilidade de se obter um valor 
entre 0 e 0,12, correspondentes a 5 e 6,12 no problema inicial.
Na tabela, as probabilidades são dadas em decimal. Neste exemplo, o resultado foi 0,0478 ou 4,78%.
ATENÇÃO
É importante destacar que mesmo que o valor de z seja um número negativo, a área sob a curva será
e encontrada da mesma maneira que acabamos de ver.positiva 
Valor entre 3,8 e 5
Ainda considerando o exemplo anterior, caso você queira calcular a probabilidade de se encontrar um valor
entre 3,8 e 5, ao substituir os dados na fórmula, encontrará z = - 0,12.
Contudo, você utilizaria apenas o módulo desse resultado para consultar a tabela (0,12) e acabaria encontrando
a mesma probabilidade de 0,0478.
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Valor entre 2,9 e 7,1
Vamos calcular agora a probabilidade de se encontrar um valor entre 2,9 e 7,1.
Observe que os valores encontrados na tabela são todos calculados em relação ao ponto central da curva, onde
se localiza a média. Dessa forma, não é possível calcular de uma só vez essa probabilidade.
Primeiro, devemos calcular a probabilidade de se encontrar um valor entre 2,9 e 5, e depois calcular a
probabilidade de se encontrar um valor entre 5 e 7,1, para, então, somar os dois resultados.
Valor maior do que 8
Vamos supor agora que seja necessário calcular a probabilidade de se obter valores maiores do que 8 nesta
distribuição.
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Lembrando que os valores da tabela são referências ao centro da curva, calcula-se, primeiramente, a
probabilidade de se obter um valor entre 5 e 8, para depois, então, subtrair esse valor de 0,5, correspondente à
metade da área sob a curva.
Para qual valor esta probabilidade existe?
Ainda pode existir uma situação inversa, em que se conhece a probabilidade e se deseja saber para que valor ela
existe: 
Neste caso, o que devemos fazer? Veremos, a seguir.
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Para isso, procuramos na tabela o valor de probabilidade informado. Encontramoso valor de z e o substituímos
na fórmula da Transformada Z. Em seguida, calculamos o valor de x.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendemos a trabalhar com a Distribuição Normal;
• Aprendemos a usar a Tabela Normal;
• Aprendemos a usar as fórmulas e funções do Excel para a Distribuição Normal;
• Aplicamos os conhecimentos de soma e multiplicação de variáveis aleatórias em situações, como, por 
exemplo, nos cálculos de risco e de lucro.
Referências
BALDI, Brigitte; MOORE, David S. . Rio de Janeiro: LTC, 2014.A Prática da Estatística nas Ciências da Vida
DEVORE, Jay L. : para engenharia e ciências. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,Probabilidade e Estatística
2006.
LAPPONI, Juan Carlos. . São Paulo: Lapponi Treinamento de Editora LTDA, 2000.Estatística usando o Excel
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L. Estatística – Teoria e
. Rio de Janeiro: LTC, 2008.Aplicações
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MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. . Ney Jersey:Satistics for Business and Economics
Pearson, 2005.
MOORE, David S; NOTZ, William I.; FLINGER, Michael A. . Rio de Janeiro: LTC,A Estatística Básica e sua Prática
2014.
MORETTIN, Pedro; BUSSAB, Wilton. . São Paulo: Saraiva, 2002.Estatística Básica
TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. . São Paulo: Atlas, 1985.Estatística Básica
TRIOLA, Mario F. . Rio de Janeiro: LTC, 2013.Introdução à Estatística
	Olá!
	1 Distribuição Normal
	2 Probabilidade de uma variável aleatória contínua
	3 Probabilidade de uma variável aleatória contínua - A curva normal
	4 Transformada Z
	CONCLUSÃO
	Referências